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实变函数论（real function theory）是十九世纪末二十世纪初形成的数学分支，它起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展，因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究了更为一般的函数，并且得到了比微积分中相应理论更为深刻、更为一般而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。
一、实变函数论的产生
微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了，数学家深入地研究并建立起许多小分支，使它很快成为数学中的一大分支，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础理论本身还存在着许多问题，比如，什么是函数？这是一个看上去简单且十分重要的问题，但数学家们并没有给出统一的、标准的答案。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的，1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了，人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微的;有的函数的有限导数并不黎曼可积;有些函数连续但是不分段单调;等等情况，这些都促使数学家考虑：要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深人研究各种函数的性质，比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的……
对上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数论。
二、实变函数的内容
实变函数论就是研究一般实变函数的理论，实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
在高中，我们已经初步了解了微积分，我们知道，微积分学主要是从连续性、可微性、可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数），如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，它所得到的有关结论自然也适用于性质“良好”的函数，实变函数论是微积分学的发展和深入。
而实变函数论是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中一些最基本的概念和性质的，比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等，实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的积分理论主要研究各种积分的推广方法和它们的运算规则，由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量的概念，这个概念叫作测度，集合的测度这个概念是由法国数学家勒贝格提出来的。
勒贝格在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成的一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题，勒贝格积分可以推广到无界函数的情形当中，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的，从这些就可以看出，勒贝格积分研究的范围比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义更广，这说明，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以用解析式表示出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近，这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论，逼近论就是研究哪一类函数可以用另一类函数来逼近，以及逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数，和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
从总体上来讲，讨论函数的可积性是实变函数论中最主要的内容，它包括勒贝格（Henri Leon Lebe-sgue）的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更为普遍适用的勒贝格——斯蒂尔杰斯测度（Lebesgue-Stieltjes Measure）和积分的理论（见勒贝格积分），实变函数论中的积分是比黎曼積分更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序，精美的调和分析理论（见傅里叶分析）就是建立在勒贝格积分的基础上的，此外，还适用于一些特殊的积分，例如为讨论牛顿一莱布尼茨公式而发现的佩隆积分（Perron integral）。
在函数连续性方面，实变函数论研究了定义在直线的子集（不必是区间）上函数不连续点的特征，还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入了半连续函数，还引入贝尔函数（Baire func，tion），并讨论它们的结构。
贝尔函数是由数学家R，L，贝尔于1899年提出的，他提出了如下的函数分类方法：以区间[031上的函数为例，[0.1]上的连续函数称为0类函数，0类函数是序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时，就称为1类函数，1类函数也是序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时，便称为2类函数，这样依次对每一个自然数n定义函数，可以引人n类函数的概念。
它们分别称为x在f（x）处的右方上（下）导数，左方上（下）导数（统称为Dini derivative），，这几个数（可以是无限大）都相等且有限时，就称[n，b]在x处是可导的。
在实变函数论中还需要考虑可导点集的特征、多元函数的微分问题以及其它的一些导数概念和不同导数之间的关系。
实变函数论不仅在现代数学，尤其是分析数学中有着广泛的应用，而且它的理论和方法对于形成近代数学的其它分支，例如拓扑学、泛函分析有着直接的影响。
一、实变函数论的产生
微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了，数学家深入地研究并建立起许多小分支，使它很快成为数学中的一大分支，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础理论本身还存在着许多问题，比如，什么是函数？这是一个看上去简单且十分重要的问题，但数学家们并没有给出统一的、标准的答案。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的，1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了，人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微的;有的函数的有限导数并不黎曼可积;有些函数连续但是不分段单调;等等情况，这些都促使数学家考虑：要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深人研究各种函数的性质，比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的……
对上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数论。
二、实变函数的内容
实变函数论就是研究一般实变函数的理论，实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
在高中，我们已经初步了解了微积分，我们知道，微积分学主要是从连续性、可微性、可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数），如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，它所得到的有关结论自然也适用于性质“良好”的函数，实变函数论是微积分学的发展和深入。
而实变函数论是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中一些最基本的概念和性质的，比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等，实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的积分理论主要研究各种积分的推广方法和它们的运算规则，由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量的概念，这个概念叫作测度，集合的测度这个概念是由法国数学家勒贝格提出来的。
勒贝格在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成的一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题，勒贝格积分可以推广到无界函数的情形当中，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的，从这些就可以看出，勒贝格积分研究的范围比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义更广，这说明，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以用解析式表示出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近，这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论，逼近论就是研究哪一类函数可以用另一类函数来逼近，以及逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数，和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
从总体上来讲，讨论函数的可积性是实变函数论中最主要的内容，它包括勒贝格（Henri Leon Lebe-sgue）的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更为普遍适用的勒贝格——斯蒂尔杰斯测度（Lebesgue-Stieltjes Measure）和积分的理论（见勒贝格积分），实变函数论中的积分是比黎曼積分更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序，精美的调和分析理论（见傅里叶分析）就是建立在勒贝格积分的基础上的，此外，还适用于一些特殊的积分，例如为讨论牛顿一莱布尼茨公式而发现的佩隆积分（Perron integral）。
在函数连续性方面，实变函数论研究了定义在直线的子集（不必是区间）上函数不连续点的特征，还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入了半连续函数，还引入贝尔函数（Baire func，tion），并讨论它们的结构。
贝尔函数是由数学家R，L，贝尔于1899年提出的，他提出了如下的函数分类方法：以区间[031上的函数为例，[0.1]上的连续函数称为0类函数，0类函数是序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时，就称为1类函数，1类函数也是序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时，便称为2类函数，这样依次对每一个自然数n定义函数，可以引人n类函数的概念。
它们分别称为x在f（x）处的右方上（下）导数，左方上（下）导数（统称为Dini derivative），，这几个数（可以是无限大）都相等且有限时，就称[n，b]在x处是可导的。
在实变函数论中还需要考虑可导点集的特征、多元函数的微分问题以及其它的一些导数概念和不同导数之间的关系。
实变函数论不仅在现代数学，尤其是分析数学中有着广泛的应用，而且它的理论和方法对于形成近代数学的其它分支，例如拓扑学、泛函分析有着直接的影响。