文艺复兴时期人们是如何解三次方程式的

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  数学问题很少一开始就以抽象的形式出现,但解三次方程式(三次方程)却是以一种抽象形式出现的,问题最初出现在公元前400年左右,但完整的解决方案却在2000年之后才得到,之后,有人就尝试将代数应用于解三次方程式,阿尔一海亚米(1048年-1131年)也是其中之一,西方人多称他为欧玛尔·海亚姆,阿尔一海亚米是当时著名的数学家、科学家和哲学家,由于阿拉伯数学家不使用负数,也不允许零作为系数,所以阿尔一海亚米必须考虑许多不同的情况,对他来说,x2+ax=b和x3=ax+b是不同类型的方程式,阿拉伯代数完全用文字表达,因此他将它们分别描述为“立方和根等于数”和“立方等于根和数”,这样,就有了14种不同的三次方程式,对于每一类方程式,阿尔一海亚米都找到了对应的几何解:用几何作图方式找出满足方程式的线段,这些几何图大多涉及了相交的圆锥曲线,许多都有额外条件来保证正解的存在,阿尔一海亚米的研究成果令人印象深刻,但他自己也承认,用一个数表示一个方程的解是一个难度很大的问题,这个问题要留给后人去解决。
  代数在13世纪传播到了意大利,比萨的列奥纳多在他所著的《算盘全书》中,用阿拉伯数字讨论了代数和算术问题,在接下来的几个世纪里,算术和代数在意大利发展起来了,随着意大利商业活动的不断发展,人们越来越需要简单的代数计算方法,意大利的“计算师傅”试图通过撰写关于算术和代数的书来满足这一需要,其中有几个讨论解三次方程式的例子,有些例子是为了便于求解方程,或者是根据答案而建立题目的,有些作者提出了错误的解法,但仍然没有人能完全解出一般的三次方程式。
  这个问题的研究一直没有得到什么实质性的进展,直到16世纪上半叶,西皮奥·德尔·费罗和被称为塔塔利亚(Tartaglia)的尼科洛·丰塔纳有了新的突破,两人都发现了解某些三次方程式的方法,但他们都没有将他们的解答方法对外公布,当时,意大利学者大多得到有钱人的支持,而学者们不得不通过公开比赛击败其他学者来证明他们的才华,这个竞赛制度鼓励人们保守秘密。
  1535年,塔塔利亚吹嘘他可以解三次方程,但他不告诉任何人他是如何做到的,西皮奥·德尔·费罗此时已经去世了,他把自己的秘密解法传给了他的学生安东尼奥·玛丽亚·菲奥雷,不久,菲奥雷向塔塔利亚提出了挑战,事实证明,费罗知道如何解答题型为3+cx=d的方程式,而塔塔利亚已经发现了如何求解x3+cx2=d的方程式,在比赛时,塔塔利亚向菲奥雷给出了一系列不同领域的数学问题,但菲奥雷给出的每一个问题都归结为他可以解的三次方程式,出于这一点,塔塔利亚也设法找到了这种方程式的解法,并轻而易举地赢得了比赛,菲奥雷的知识并没有超出解三次方程的范围,塔塔利亚获胜的消息最终传到了16世纪意大利最有趣的人物之一吉罗拉莫·卡尔达诺耳中,卡尔达诺是一名医生、哲学家、占星家和数学家,在这些领域中,他在整个欧洲都是知名的,并受到人们的尊敬。
  在听说塔塔利亚的解题方法后,卡尔达诺在1539年联系了他,试图说服他分享这个秘密,卡尔达诺多次恳求,并承诺保密,最终塔塔利亚来到米兰向卡尔达诺传授他的解法,当掌握了两种解三次方程的方法后,卡尔达诺开始研究一般方程式的解法,经过6年坚持不懈的工作,他终于找到了所有三次方程的完整解法,他的助手罗多维科·法拉利(Lodovieo Ferrari)将相同的观点应用于一般的四次方程,并設法找到了相应的解法,这时,卡尔达诺才知道他对数学作出了巨大的贡献,但是,他要怎样做才能不违背诺言把它出版呢?他找到了办法,他发现,德尔·费罗在塔塔利亚之前就已经找到了关键案例的解法,因为他没有答应对费罗承诺保守他的秘密,他觉得他可以发表,即使这种解法与他从塔塔利亚那里学到的一样,最终他出版了一本被称为《大技术》的书,大技术(The Great Art)意思就是代数,它完整描述了关于如何求解任意三次方程的方法,并从几何角度说明了这些解法是正确的原因,这本书中还记载了费拉里四次方程的解法,该书是用拉丁文写的,广泛影响了欧洲各地的学者,当然,它也传到了塔塔利亚手中,塔塔利亚怒火中烧,但他能做什么呢?秘密已经泄露了,他将卡尔达诺的背叛公之于世,但卡尔达诺无意纠缠此事,相反,费拉里联系了塔塔利亚并发起了挑战,塔塔利亚认为费拉里是个无名小卒,所以他一开始无意应战,除非卡尔达诺也能接受挑战,但是在1548年,塔塔利亚被安排了一个教授职位,条件是他要在比赛中击败费拉里,他觉得能轻易获胜,于是便同意了,然而,费拉里知道如何求解一般的三次和四次方程,塔塔利亚却并没有学会《大技术》中的这部分内容,所以输掉了比赛,
  卡尔达诺在写《大技术》之前注意到了这一问题,他询问过塔塔利亚,但塔塔利亚似乎没有回答,他只是认为,卡尔达诺根本没有理解如何解决这类问题,解决这一问题的责任落在了拉斐罗·邦贝利身上,邦贝利首先讨论了上面给出的方程式,然后,他以几何方式证明,无论p和g的(正)值如何,x3=px+q总是有一个正解,另一方面,他还说明了,当p和g取值哪些时,解这个方程会出现负数平方根,邦贝利在这件事上表现出了他的才华,他证明了用负数的平方根进行运算是可能的,而且仍然可以得到合理的答案。
  三次和四次方程问题被解决,自然地,人们的下一个目标是解五次方程,而事实上,找到解一般五次方程的公式是不可能的,证明这一点需要彻底改变观点,这最终导致了抽象代数的产生。
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