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【摘 要】解二次函数解析式是中学数学综合应用题的重点内容。本文通过举例分析、归纳了如何灵活运用待定系数法快速、准确地求二次函数解析式的五种方法：一般式法、交点式法、顶点式法、平移法、旋转法。
【关键词】二次函数 解析式 解法技巧
【中图分类号】 G 【文献标识码】 A
【文章编号】0450-9889（2015）03B-0075-02
二次函数在中学数学中占据重要地位。历年来，二次函数综合题都作为重要的题目出现在考试中。解决这类综合题关键一步是求二次函数解析式。求二次函数解析式是难点，求法也错综复杂，无论采用哪种方法求解，都可归纳为待定系数法。根据笔者的教学经验，在此讲解求二次函数解析式的五种常用的方法：一般式法、顶点式法、交点式法、平移法、旋转法。
首先要记住二次函数解析式有三种表达式：
1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）。
2.顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），顶点（h，k）。
3.交点式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）（其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标）。
下面以实例说明，如何快、准、狠求出二次函数解析。
一、灵活运用一般式解题
例1 已知二次函数的图象经过（1，0），（-2，3），（-1， 4），求这个函数的解析式。
〖技巧点拨〗
本题给出二次函数图象经过不同三点的坐标，通常可设一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）， 其中a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。因为满足二次函数解析式的点，一定在这个二次函数的图象上，反过来，二次函数图象上点的坐标一定满足这个二次函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入一般式，构成三元一次方程组，解方程组得a，b，c 的值，再代回所设的函数关系式，即为所求的二次函数解析式。
二、灵活运用顶点式解题
例2 已知二次函数图象顶点为（1，3），且过点（2，4），求该二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，解题时通常可设顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，把顶点坐标和经过的点的坐标分别代入顶点式，即可求出 a 的值，从而求得二次函数的解析式。
当然，顶点式有时也可转换为一般式，如本题中给出了顶点坐标，从而得出函数的对称轴为直线x=1，根据二次函数图象的对称性，很容易求出点（2，4）关于对称轴为对称的对称点（0，4）。顶点加上两个对称点，就得到了三点，也就满足了二次函数一般式的条件了，这样也可用一般式求解。显然，用二次函数顶点式解答比用一般式解答简便多了。
通常已知两点的坐标是不能求出 a，b，c 的值的，也就是说不能用一般式来求解析式。由于顶点式中要确定a，h，k 的值，而已知顶点坐标就是h和k 的值。用顶点式时，只要给出另一点的坐标就能确定 a 的值，即可求出二次函数解析式。所以，当已知抛物线的顶点坐标，或能够先求出抛物线的顶点坐标，对称轴，最大值或最小值，图象与x 轴截得的线段长等条件时，设顶点式解题十分简洁，这样用已经的点的坐标就能确定未知数 a ，从而求得解析式。在应用题中，有关隧道、桥拱、投篮、弹道曲线等问题，一般用二次函数顶点式求解比较简便。
三、灵活运用交点式解题
例3 已知抛物线与 x 轴交点坐标为（-1，0），（2，0），且过点（1，2），求二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
本题已知三点坐标，可用一般式求二次函数解析式；又因为已知有两点是抛物线与x轴的两个交点，也可用交点式求二次函数解析式，经比较用交点式解答，比较简便.
例4 已知二次函数图象经过A（-2，0），B（4，0），C（0，-2）三点，求此二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
很多同学看到此例，会想到用二次函数一般式求解，将已知三点坐标分别代入一般式去，通过解三元一次方程组，求得a，b，c 的值，即可得所求的二次函数解析式。而往往忽略了 A和B 两点的坐标是二次函数图象与x轴的交点坐标这个特点，如果利用这个特点，用交点式来求解就相对比较简单、容易。
例5 若二次函数经过点（2，0），（4，0）且函数最小值是-2，求函数解析式。
〖技巧点拨〗
方法一：本题可直接设为交点式y=a（x-2）（x-4），然后根据最小值为-2，求得顶点坐标为（3，-2），再把顶点坐标代入交点式得a=2，从而得出二次函数解析式为y=2（x-2）（x-4），即y=2x2-12x+16。
方法二：本题也可以（下转第82页）（上接第75页）根据已知条件的两个交点坐标，求出对称轴x=3，从而求出顶点坐标（3，-2），可设二次函数顶点式解题，较为简便。
方法三：从上面两种方法可知顶点坐标是容易求出来的，因有三点坐标，可用一般式求解，但这种解法太麻烦。
通常，若已知抛物线与x轴有两个交点，或对称轴时，选交点式解答比较简单。
四、用平移法解题
例6 把函数y=x 2+4x-5的图象向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位，求平移后抛物线的解析式。
〖技巧点拨〗
先把函数y=x 2+4x-5 进行配方，得到顶点式：y=（x+2）2-9，把图象向右平移2 个单位，得到y=（x+2-2）2-9，再向上平移3 个单位，得到y=（x+2-2）2-9+3，化简得二次函数解析式为y=x2-6 。
用平移法求二次函数解析式时，要先通过配方把解析式化为顶点式，牢记：在平移过程中，二次项的系数不变，只是抛物线的顶点位置发生改变。在平移过程中，按左加，右减，上加，下减的方法进行。
五、用180°旋转法解题
〖技巧点拨〗
记住： 旋转180°，只是抛物线的开口方向发生了变化，由开口向上（下）变为开口向下（上），但抛物线的顶点位置没有改变，所以可用顶点式：y=a（x-h）2+k求解，只要将 a 的符号改变，即可求出二次函数解析式。
上面介绍了五种求二次函数解析式的方法。这五种求法有利有弊，用顶点式和交点式解题比较简单，但是受条件限制，不是所有题目都能用。如果题目出现顶点或与顶点有关的条件时，用顶点式解题，比较简便；如果题目出现与x轴相交的交点坐标，或隐含与交点坐标有关的条件时，就用交点式解答比较简便；如果条件是给出经过不同的三点的坐标时，则用一般式解答，比较明了，但解题时要用到三元一次方程组的解法（在初中阶段是选学内容），很多同学不掌握。虽然用一般式求二次函数解析式是易掌握易理解运用，但三元一次方程组难解，也成为学生的难点。
总之，求二次函数解析式的方法比较灵活，在解答有关二次函数的综合题时，采用哪种方法解答比较简便，就必须仔细分析题目给出的已知条件，结合图形以及二次函数的有关性质来选择解法。平时训练时要注意总结解题规律，看有多少种基本解法，要做到心中有数。只有这样才能选择适当方法来解答，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。这就是快、准、狠求二次函数解析式的技巧。
（责编 卢建龙）
【关键词】二次函数 解析式 解法技巧
【中图分类号】 G 【文献标识码】 A
【文章编号】0450-9889（2015）03B-0075-02
二次函数在中学数学中占据重要地位。历年来，二次函数综合题都作为重要的题目出现在考试中。解决这类综合题关键一步是求二次函数解析式。求二次函数解析式是难点，求法也错综复杂，无论采用哪种方法求解，都可归纳为待定系数法。根据笔者的教学经验，在此讲解求二次函数解析式的五种常用的方法：一般式法、顶点式法、交点式法、平移法、旋转法。
首先要记住二次函数解析式有三种表达式：
1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）。
2.顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），顶点（h，k）。
3.交点式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）（其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标）。
下面以实例说明，如何快、准、狠求出二次函数解析。
一、灵活运用一般式解题
例1 已知二次函数的图象经过（1，0），（-2，3），（-1， 4），求这个函数的解析式。
〖技巧点拨〗
本题给出二次函数图象经过不同三点的坐标，通常可设一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）， 其中a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。因为满足二次函数解析式的点，一定在这个二次函数的图象上，反过来，二次函数图象上点的坐标一定满足这个二次函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入一般式，构成三元一次方程组，解方程组得a，b，c 的值，再代回所设的函数关系式，即为所求的二次函数解析式。
二、灵活运用顶点式解题
例2 已知二次函数图象顶点为（1，3），且过点（2，4），求该二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，解题时通常可设顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，把顶点坐标和经过的点的坐标分别代入顶点式，即可求出 a 的值，从而求得二次函数的解析式。
当然，顶点式有时也可转换为一般式，如本题中给出了顶点坐标，从而得出函数的对称轴为直线x=1，根据二次函数图象的对称性，很容易求出点（2，4）关于对称轴为对称的对称点（0，4）。顶点加上两个对称点，就得到了三点，也就满足了二次函数一般式的条件了，这样也可用一般式求解。显然，用二次函数顶点式解答比用一般式解答简便多了。
通常已知两点的坐标是不能求出 a，b，c 的值的，也就是说不能用一般式来求解析式。由于顶点式中要确定a，h，k 的值，而已知顶点坐标就是h和k 的值。用顶点式时，只要给出另一点的坐标就能确定 a 的值，即可求出二次函数解析式。所以，当已知抛物线的顶点坐标，或能够先求出抛物线的顶点坐标，对称轴，最大值或最小值，图象与x 轴截得的线段长等条件时，设顶点式解题十分简洁，这样用已经的点的坐标就能确定未知数 a ，从而求得解析式。在应用题中，有关隧道、桥拱、投篮、弹道曲线等问题，一般用二次函数顶点式求解比较简便。
三、灵活运用交点式解题
例3 已知抛物线与 x 轴交点坐标为（-1，0），（2，0），且过点（1，2），求二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
本题已知三点坐标，可用一般式求二次函数解析式；又因为已知有两点是抛物线与x轴的两个交点，也可用交点式求二次函数解析式，经比较用交点式解答，比较简便.
例4 已知二次函数图象经过A（-2，0），B（4，0），C（0，-2）三点，求此二次函数的解析式。
〖技巧点拨〗
很多同学看到此例，会想到用二次函数一般式求解，将已知三点坐标分别代入一般式去，通过解三元一次方程组，求得a，b，c 的值，即可得所求的二次函数解析式。而往往忽略了 A和B 两点的坐标是二次函数图象与x轴的交点坐标这个特点，如果利用这个特点，用交点式来求解就相对比较简单、容易。
例5 若二次函数经过点（2，0），（4，0）且函数最小值是-2，求函数解析式。
〖技巧点拨〗
方法一：本题可直接设为交点式y=a（x-2）（x-4），然后根据最小值为-2，求得顶点坐标为（3，-2），再把顶点坐标代入交点式得a=2，从而得出二次函数解析式为y=2（x-2）（x-4），即y=2x2-12x+16。
方法二：本题也可以（下转第82页）（上接第75页）根据已知条件的两个交点坐标，求出对称轴x=3，从而求出顶点坐标（3，-2），可设二次函数顶点式解题，较为简便。
方法三：从上面两种方法可知顶点坐标是容易求出来的，因有三点坐标，可用一般式求解，但这种解法太麻烦。
通常，若已知抛物线与x轴有两个交点，或对称轴时，选交点式解答比较简单。
四、用平移法解题
例6 把函数y=x 2+4x-5的图象向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位，求平移后抛物线的解析式。
〖技巧点拨〗
先把函数y=x 2+4x-5 进行配方，得到顶点式：y=（x+2）2-9，把图象向右平移2 个单位，得到y=（x+2-2）2-9，再向上平移3 个单位，得到y=（x+2-2）2-9+3，化简得二次函数解析式为y=x2-6 。
用平移法求二次函数解析式时，要先通过配方把解析式化为顶点式，牢记：在平移过程中，二次项的系数不变，只是抛物线的顶点位置发生改变。在平移过程中，按左加，右减，上加，下减的方法进行。
五、用180°旋转法解题
〖技巧点拨〗
记住： 旋转180°，只是抛物线的开口方向发生了变化，由开口向上（下）变为开口向下（上），但抛物线的顶点位置没有改变，所以可用顶点式：y=a（x-h）2+k求解，只要将 a 的符号改变，即可求出二次函数解析式。
上面介绍了五种求二次函数解析式的方法。这五种求法有利有弊，用顶点式和交点式解题比较简单，但是受条件限制，不是所有题目都能用。如果题目出现顶点或与顶点有关的条件时，用顶点式解题，比较简便；如果题目出现与x轴相交的交点坐标，或隐含与交点坐标有关的条件时，就用交点式解答比较简便；如果条件是给出经过不同的三点的坐标时，则用一般式解答，比较明了，但解题时要用到三元一次方程组的解法（在初中阶段是选学内容），很多同学不掌握。虽然用一般式求二次函数解析式是易掌握易理解运用，但三元一次方程组难解，也成为学生的难点。
总之，求二次函数解析式的方法比较灵活，在解答有关二次函数的综合题时，采用哪种方法解答比较简便，就必须仔细分析题目给出的已知条件，结合图形以及二次函数的有关性质来选择解法。平时训练时要注意总结解题规律，看有多少种基本解法，要做到心中有数。只有这样才能选择适当方法来解答，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。这就是快、准、狠求二次函数解析式的技巧。
（责编 卢建龙）