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学习本章知识，让我们经历了观察、实验、归纳、类比等数学活动，探索了基本图形的一些性质，在探索性质的同时，我们又学会了推理，下面是本章学习的一些知识点，让我们来共同认识一下吧！
一、 定义与命题
1. 定义
对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义.
【注解】定义的规则：（1） 应相称，即定义概念和定义概念外延相等；（2） 不循环；（3） 一般不是否定判断；（4） 应清楚确切.
例1 下列属于定义的是（ ）.
A. 两点之间线段最短
B. 两直线平行，同位角相等
C. 三边相等或三角相等的三角形为等边三角形
D. 等角的余角相等
【分析】A、B、D选项不是在进行描述或做出规定，而是对一件事做出了一个判断，因此A、B、D错误；C选项对等边三角形做出了明确的规定，是定义，故选C.
【答案】C.
【点评】判断一句话是不是定义，主要依据定义的含义.
2. 命题
（1） 对某一件事情做出判断的句子叫作命题.
【注解】①定义是命题，命题不一定是定义；②判断一句话是不是命题，要看是否能进行判断，即是肯定还是否定，命题必须是一个完整的带有判断性语句的句子，通常是陈述句，而疑问句和命令性语句都不是命题；③错误的判断也是一个命题.
例2 下列语句中，属于命题的是（ ）.
A. 这个问题 B. 这支笔是黑色的
C. 一定相等 D. 画一条线段
【分析】能够判断一件事情的句子就是命题，句子中往往含有“是”“不是”“能”“不能”等表示判断的词语.没有对一件事情做出判断的句子就不是命题.
【答案】B.
【点评】看这句话是不是命题的关键就是：是不是对一件事情做出判断.
（2） 在数学中命题一般由条件和结论两部分组成.
【注解】①每个命题都是由条件和结论两部分组成的，命题常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论；②命题的条件部分是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.
例3 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________.
【分析】分清楚这句话中的条件和结论即可.条件是：这两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
【答案】如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.
【点评】一个命题要改写成“如果……，那么……”的形式，务必要弄清楚命题中的条件和结论.
3. 真命题、假命题
（1） 真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫真命题.
（2） 假命题：如果条件成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题.
【注解】（1） 如果题设成立，真命题的判断总是正确的；而假命题的判断不能保证总是正确的.
（2） 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了；而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子，都无法保证这个命题的正确性，要说明它的正确性，就需要说理论证的过程，说理论证过程中的每一步都要有依据，前一步的条件与后一步的结论必须吻合，且推理要严密，要有逻辑性.
例4 下列命题是假命题的是 （ ）.
A. 若x B. 单项式-的系数是-4
C. 若x-1 （y-3）2=0，则x=1，y=3
D. 平移不改变图形的形状和大小
【分析】B的系数是-，所以是错误的.
【答案】B.
【点评】本题涉及很多知识，如果有的知识点记得不是很全面，可以用排除法来进行选择，但是这四个选项的知识都需要熟练掌握.
二、 证明
1. 事件的判断
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验得到的结论常常是正确的，但是仅凭观察、操作、实验得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的.
【注解】（1） 通过观察、操作、实验探索发现的一些结论不一定正确.
（2） 数学中探索发现的结论如果是错误的，只要举一个例子说明它是假的即可；如果探索的结论是正确的，那么需要加以证明或用已有的数学工具进行具体的测量.
例5 ①图1中，直线AB和直线CD平行吗？请你先观察，再用推平行线的方法验证一下.
②如图2，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪个大些？
【分析】要完成本题，不能只靠目测，要使用一些测量工具来进行验证，①中可以利用直尺平移来验证两条直线是否平行；②中用直尺和圆规来验证即可. ∵∠ADC=75°（已知），
∴∠BAC=75°（等量代换）.
【点评】解决此类问题的关键是正确判断出角之间的位置关系，从而运用推论来做.
三、 互逆命题
1. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的逆命题.
【注解】（1） 任何命题都有逆命题，互逆命题是成对出现的，是相互的.（2） 写逆命题前必须找准原命题的条件和结论，然后互换条件和结论.（3） 原命题的真假性与逆命题的真假性之间没有必然联系，它们的真假性是孤立的.
例10 写出下列命题的逆命题.
（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2） 如果ab=0，那么a=0，b=0；
（3） 一个角的补角一定大于这个角.
【分析】第（1）（2）两个命题的条件和结论比较容易找出，互换一下条件和结论就得到原命题的逆命题；第（3）个命题条件是：一个角的补角，结论是：这个角的补角一定大于这个角，互换条件和结论时，注意语句的通顺.
【答案】（1） 逆命题是：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
（2） 逆命题是：如果a=0，b=0，那么ab=0.
（3） 逆命题是：如果一个角大于另一个角，那么它一定是这个角的补角.
【点评】在写一个命题的逆命题时，可以先把这个命题用“如果……那么……”的形式表示出来，然后把“那么……”放到前面，把“那么”变成“如果”，把“如果……”变成“那么……”放到后面.
2. 互逆命题的真假性
数学中，判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可.要说明一个命题是真命题，就必须用推理论证的方法，而不能只凭一个例子.
【注解】（1） 反例的特点：它具备命题的条件，而不具备命题的结论；
（2） 要说明一个命题是真命题，根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证，并完成证明过程.
例11 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2） 三角形的外角和是360°；
（3） 含有一个未知数的整式方程是一元一次方程.
【分析】三个命题中，命题（3）是假命题，因未强调未知数的次数是1；命题（2）的逆命题是假命题，因多边形的外角和都是360°.
【答案】命题（1）的逆命题是：等腰三角形有两条边相等.原命题与逆命题均是真命题.
命题（2）的逆命题是：外角和是360°的是三角形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.
命题（3）的逆命题是：一元一次方程是含有一个未知数的整式方程.原命题是假命题，而逆命题是真命题.
【点评】一个原命题的真假性与逆命题的真假性不存在必然联系.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）
一、 定义与命题
1. 定义
对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义.
【注解】定义的规则：（1） 应相称，即定义概念和定义概念外延相等；（2） 不循环；（3） 一般不是否定判断；（4） 应清楚确切.
例1 下列属于定义的是（ ）.
A. 两点之间线段最短
B. 两直线平行，同位角相等
C. 三边相等或三角相等的三角形为等边三角形
D. 等角的余角相等
【分析】A、B、D选项不是在进行描述或做出规定，而是对一件事做出了一个判断，因此A、B、D错误；C选项对等边三角形做出了明确的规定，是定义，故选C.
【答案】C.
【点评】判断一句话是不是定义，主要依据定义的含义.
2. 命题
（1） 对某一件事情做出判断的句子叫作命题.
【注解】①定义是命题，命题不一定是定义；②判断一句话是不是命题，要看是否能进行判断，即是肯定还是否定，命题必须是一个完整的带有判断性语句的句子，通常是陈述句，而疑问句和命令性语句都不是命题；③错误的判断也是一个命题.
例2 下列语句中，属于命题的是（ ）.
A. 这个问题 B. 这支笔是黑色的
C. 一定相等 D. 画一条线段
【分析】能够判断一件事情的句子就是命题，句子中往往含有“是”“不是”“能”“不能”等表示判断的词语.没有对一件事情做出判断的句子就不是命题.
【答案】B.
【点评】看这句话是不是命题的关键就是：是不是对一件事情做出判断.
（2） 在数学中命题一般由条件和结论两部分组成.
【注解】①每个命题都是由条件和结论两部分组成的，命题常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论；②命题的条件部分是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.
例3 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________.
【分析】分清楚这句话中的条件和结论即可.条件是：这两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
【答案】如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.
【点评】一个命题要改写成“如果……，那么……”的形式，务必要弄清楚命题中的条件和结论.
3. 真命题、假命题
（1） 真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫真命题.
（2） 假命题：如果条件成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题.
【注解】（1） 如果题设成立，真命题的判断总是正确的；而假命题的判断不能保证总是正确的.
（2） 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了；而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子，都无法保证这个命题的正确性，要说明它的正确性，就需要说理论证的过程，说理论证过程中的每一步都要有依据，前一步的条件与后一步的结论必须吻合，且推理要严密，要有逻辑性.
例4 下列命题是假命题的是 （ ）.
A. 若x
C. 若x-1 （y-3）2=0，则x=1，y=3
D. 平移不改变图形的形状和大小
【分析】B的系数是-，所以是错误的.
【答案】B.
【点评】本题涉及很多知识，如果有的知识点记得不是很全面，可以用排除法来进行选择，但是这四个选项的知识都需要熟练掌握.
二、 证明
1. 事件的判断
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验得到的结论常常是正确的，但是仅凭观察、操作、实验得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的.
【注解】（1） 通过观察、操作、实验探索发现的一些结论不一定正确.
（2） 数学中探索发现的结论如果是错误的，只要举一个例子说明它是假的即可；如果探索的结论是正确的，那么需要加以证明或用已有的数学工具进行具体的测量.
例5 ①图1中，直线AB和直线CD平行吗？请你先观察，再用推平行线的方法验证一下.
②如图2，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪个大些？
【分析】要完成本题，不能只靠目测，要使用一些测量工具来进行验证，①中可以利用直尺平移来验证两条直线是否平行；②中用直尺和圆规来验证即可. ∵∠ADC=75°（已知），
∴∠BAC=75°（等量代换）.
【点评】解决此类问题的关键是正确判断出角之间的位置关系，从而运用推论来做.
三、 互逆命题
1. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的逆命题.
【注解】（1） 任何命题都有逆命题，互逆命题是成对出现的，是相互的.（2） 写逆命题前必须找准原命题的条件和结论，然后互换条件和结论.（3） 原命题的真假性与逆命题的真假性之间没有必然联系，它们的真假性是孤立的.
例10 写出下列命题的逆命题.
（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2） 如果ab=0，那么a=0，b=0；
（3） 一个角的补角一定大于这个角.
【分析】第（1）（2）两个命题的条件和结论比较容易找出，互换一下条件和结论就得到原命题的逆命题；第（3）个命题条件是：一个角的补角，结论是：这个角的补角一定大于这个角，互换条件和结论时，注意语句的通顺.
【答案】（1） 逆命题是：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
（2） 逆命题是：如果a=0，b=0，那么ab=0.
（3） 逆命题是：如果一个角大于另一个角，那么它一定是这个角的补角.
【点评】在写一个命题的逆命题时，可以先把这个命题用“如果……那么……”的形式表示出来，然后把“那么……”放到前面，把“那么”变成“如果”，把“如果……”变成“那么……”放到后面.
2. 互逆命题的真假性
数学中，判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可.要说明一个命题是真命题，就必须用推理论证的方法，而不能只凭一个例子.
【注解】（1） 反例的特点：它具备命题的条件，而不具备命题的结论；
（2） 要说明一个命题是真命题，根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证，并完成证明过程.
例11 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2） 三角形的外角和是360°；
（3） 含有一个未知数的整式方程是一元一次方程.
【分析】三个命题中，命题（3）是假命题，因未强调未知数的次数是1；命题（2）的逆命题是假命题，因多边形的外角和都是360°.
【答案】命题（1）的逆命题是：等腰三角形有两条边相等.原命题与逆命题均是真命题.
命题（2）的逆命题是：外角和是360°的是三角形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.
命题（3）的逆命题是：一元一次方程是含有一个未知数的整式方程.原命题是假命题，而逆命题是真命题.
【点评】一个原命题的真假性与逆命题的真假性不存在必然联系.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）