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摘 要：从一位农村学生观察到蔬菜栽植问题开始，到全体学生对蔬菜栽植方式进行建模、解模、用模的探究，师生很好地经历了一次用数学解决农业问题的拓展过程.农村数学拓展性课程实施就是要将“农村性”和“数学性”有机地结合起来.
关键词：拓展性课程；农村性；数学性
一、 来自农村学生的问题
农村学校的学生，放学后、节假日总会帮助父母做一些农活，挖挖地、拔拔草、种种菜等等.有一天，一位细心的学生来问笔者：我在田地里种菜时发现，村子里的大伯、大妈在种菜时，经常会有这样两种种植方式（如图1）.为什么大多会出现这两种方式呢？这两种方式中谁又好一些呢？
笔者看了看他画的图，想了想，一时也不能回答.但还是首先肯定了这位学生对蔬菜栽植方式进行抽象、分析的合理性.接着说，能不能在蔬菜田地里多拍些照片，以便于我们研究得更全面，更合理？能不能再深入调查一下，农民选择用这两种种植方式，究竟是有意识的，还是无意识？目的是什么呢？这时，班里有几个学生凑了过来，有的说是为了美观，有的说是农民各自的习惯，有的说是让菜长得更大些，还有的说为了尽可能大地利用土地……一石激起千层浪，农村学生的话匣子打开了，精气神来了.
看见学生来劲了，又一时没有结果，笔者顺势说：“今天这位同学的问题，就是农业给数学提出的一个问题——比较两种蔬菜的种植方式，哪种更好？为什么？请同学们回去后先进行田间调查，再问一问父母、左邻右舍，两个星期后，我们大家一起来进行分析、归纳、总结，给出一个合理的解释.”
二、对蔬菜种植方式的探究
两个星期后的课堂上，学生分别展示了自己在田间拍摄的照片，分组进行了讨论、交流，最后请学生进行了展示.
生1：我们调查发现，父母在栽培农作物时，为了充分利用土地，同时既要根据历年来作物的生长情况恰当安排种植密度，又要选取合适的栽植方式，归纳起来，在种蔬菜时，有如下栽植法，我况且称为菱形法（图2）和正方形法（图3）.
图2中，A、B、C、D四株顺次连接成一个使BD=AB的菱形；图3中A1、B1、C1、D1四株顺次连接成一个正方形.这两者在株距相同的条件下，究竟哪种栽植法好呢？要判断哪种种植方法好，就要看看哪种方法能充分利用土地.
师：生1分析、抽象得精当、简练，她从那么复杂的种植图形中抽象出了基本图形——菱形与正方形，并给出了种植方式好与不好的标准——就是能否充分利用有限的土地.大家有没有要补充的？
生2：我非常认同生1这种调查结果，针对她画的图，在这里还要补充两个与农业有关的概念，一个是行距，一个是株距.所谓行距是农作物栽成一行行时，行与行的距离；株距是指行内或行间每一株之间的距离，比如B与D之间、A与B之间、A1与 D1之间等等的距离.
生1：生2补充得很好，在株、行距相同的情况下，我的做法就是要看看哪种方法能充分利用土地.也就是要看两种栽植中作物所占的土地面积大.
因为AB=BD，则△ABD为正三角形，于是菱形ABCD的面积为：
即图1中菱形ABCD的面积，相当于图2中正方形A1B1C1D1面积的86.6%.这样看，显然菱形的种植方式占地少，土地的种用率要高.
师：生1同学直接计算出两种种植方式所占面积大小，比较土地利用率的高低，得出了结论，给出了一个很好的解释.还有没有其他的解释？
生3：受生1启发，我认为只要从行距就可以比较出两种种植方式的土地利用率大小.
从它们的行距来看，图2中菱形种植法的行距为（注：它们的株距都相等）：AO=■AB=■A1B1≈0.866A1B1；图3中正方形种植法的行距为A1B1，显然有A1B1-AO=0.134A1B1.即图2中的菱形种植法较图3中的正方形种植法每行小0.134倍，亦即图3中正方形种植7行的距离，按图2中菱形种植法可种8行，显然，菱形的种植法土地利用率高.
师：生3从行距这一角度又给出了一个直观又接地气的回答，还有其他的解释吗？
生4：我是用间接的方式算出，菱形种植法好，土地的空置少的，相应的土地利用率就高.
我是这样看的：从菜生长以后的空隙面积来看，由于菜生长以后，它们的叶子把一棵的周围围成一近似圆形.
即用菱形种植法，四株菜形成图4的形状，其中⊙A、⊙B、⊙D均两两外切，⊙B、⊙C、⊙D均两两外切；用正方形种植法，则四株菜形成图5的形状，其中以每相邻两顶点为圆心的圆外切.图4、图5中阴影部分的面积是菜长大后的空隙面积，由于它们的株距相等，所以这些圆的半径也相等.
设它们的半径为R，则AB=BD=B1C1=2R.从图4中可以看出：从菱形ABCD的面积中减去一个圆的面积，恰等于空隙地（阴影部分）的面积；而菱形ABCD的面积
在图5中，从正方形面积中减去一个圆的面积，恰等于空隙地的面积（阴影部分），即（2R）2-πR2=4R2-πR2=（4-π）R2.
即在图5正方形种植法中，空隙地的面积相当于图4菱形种植法的两倍多.显然，正方形的空地多，这样土地的利用率不高；这也就间接证明了菱形种植法的土地利用率高.
师：生4从空隙地的角度，也得出了正方形种植法空地多，菱形种植法空地少，土地利用率高的结论，这种思考问题的方法在数学上就是间接法，今天在这里得到了很好的运用.大家还有没有其他解释？
（停一会儿，学生没再发言，教师继续总结）大家从数学的角度对蔬菜栽植方式进行了抽象，模拟、运算，最后得出结论：菱形种植法比正方形种植法的栽法要好，原因是：在株距相等的条件下，菱形种植法空地少，能充分利用土地，挖掘增产潜力.你们可以将这一结论告诉父母，让他们有意识地利用菱形种植法，充分利用土地，获得最大产量. 但同学们也要知道，在农业生产中，农作物要获得最大产量，除了土地利用率要高的同时，还要综合考虑阳光、肥力、空气等因素的影响.也就是说，我们用数学模型解决农业问题的时候，要考虑到农业的实际.
其实，在我们生活的农村，数学有很大的用武之地，我们要像本次探讨一样，用数学的知识、方法去解决农业中的问题，拓展数学视野.
三、对农村学校开展数学拓展性课程的启示
2015年浙江省教育厅在《关于深化义务教育课程改革的指导意见》中指出，拓展性课程是指学校提供给学生自主选择的学习内容，同时明确要求，各地和学校要积极探索拓展课程的开发、实施、评价和共享机制，体现地域和学校特色，突破拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求，初中数学拓展性课程肩负着实现素质教育的责任和义务，是实现数学教学向数学教育转变的重要途径之一[1].
但农村学校数学教师对“数学拓展课程”认识上还存在很大的偏差和误解.例如“数学拓展课程”目的是加大学生解题训练，提高中考分数；“数学拓展课程”是专为数学的优秀生而开发出来，提高他们的竞赛成绩；“数学拓展课程”拓展的内容不仅在中考范围内，还要超过新课标；数学拓展课程就是“难题+趣题”等等.出现这些偏差和误解的原因，是农村教师未能很好地领会数学拓展性课程的精神实质，未能深入地了解农村实际，未能很好地找到“农村”与“数学”的有机结合点.本次对蔬菜栽植方式的探究为农村学校开展数学拓展性课程提供了一个思路和方向.
笔者认为，农村学校的数学拓展性课程就要体现“农村性”和“数学性”这两点.“农村性”就要引导学生从自己生活的农村生活中，从父母农业生产活动中去发现问题、思考问题、解决问题，这才是农村学校拓展性课程的源头活水，才能激发农村学生的探究兴趣.例如本次对蔬菜种植方式的探究，就来自于学生的农村生活和田间观察，学生感觉到拓展充满乐趣，拓展的成功又让学生自信满满.其实，细心观察一下，农村中这样的问题还很多，例如：谷仓设计问题；种子发芽率问题；水资源利用问题；家畜的估重问题；干旱对小麦的株数、穗数、粒数影响的估算问题；农产品包装盒的设计问题等.这些农村问题对学生来说鲜活而有意义，是农村学校很好的拓展性课程内容.这种立足于农村、自然生发出的数学问题，追根溯源，培养学生勇于质疑、探究的理性精神；也让学生通过田间劳作，学会思考，领会数学学习的方法.
“数学性”就是农村学校的数学拓展性课程中要有“数学味”，要能很好地利用数学的知识、方法、思想来思考或解决农村生活中的问题.本次对蔬菜种植方式的探究，实际上是一个建立数学模型（将蔬菜种植方式抽象成菱形与正方形），解这个模型（计算菱形和正方形面积或空隙地的面积），应用这个模型（推广菱形种植法）的过程，在这个过程中又很好地用到了两种数学方法——直接法与间接法.其实，数学拓展性课程就是要在活动中体现出抽象化、符号化的过程，脱离学生实际的抽象化、符号化就会让学生难以理解与深入.因此，在拓展性课程中，强调学习者的现实生活世界，强调真实的学习情境，从生活实际出发来引入数学，隐含的一个原理就是在大量的生活经验的支持下，数学学习会更具体、更真实、更容易理解.主体认知受制于现实真实[2].没有现实、真实的支撑，数学学习就变得非常机械、死板和教条，这也是长期以来我国农村数学课程中存在的问题：农村数学课程脱离农村生活实际，与农村现实生活的关系不密切，学生理解时缺乏生活经验的支持，导致农村学生数学学习困难，失去数学学习兴趣，造成许多农村学生最终放弃数学学习.
数学拓展课程作为基础教育的补充，在发展和完善人中，在形成人们认识世界的态度和方法上，在满足差异化、个性化的发展中起着重要的作用.学生因为课程而生发，教师因课程的开设而成长，开设拓展性课程也是开创我们的未来.
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书数学（七年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2012：23.
[2]涂荣豹，等.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：65.
关键词：拓展性课程；农村性；数学性
一、 来自农村学生的问题
农村学校的学生，放学后、节假日总会帮助父母做一些农活，挖挖地、拔拔草、种种菜等等.有一天，一位细心的学生来问笔者：我在田地里种菜时发现，村子里的大伯、大妈在种菜时，经常会有这样两种种植方式（如图1）.为什么大多会出现这两种方式呢？这两种方式中谁又好一些呢？
笔者看了看他画的图，想了想，一时也不能回答.但还是首先肯定了这位学生对蔬菜栽植方式进行抽象、分析的合理性.接着说，能不能在蔬菜田地里多拍些照片，以便于我们研究得更全面，更合理？能不能再深入调查一下，农民选择用这两种种植方式，究竟是有意识的，还是无意识？目的是什么呢？这时，班里有几个学生凑了过来，有的说是为了美观，有的说是农民各自的习惯，有的说是让菜长得更大些，还有的说为了尽可能大地利用土地……一石激起千层浪，农村学生的话匣子打开了，精气神来了.
看见学生来劲了，又一时没有结果，笔者顺势说：“今天这位同学的问题，就是农业给数学提出的一个问题——比较两种蔬菜的种植方式，哪种更好？为什么？请同学们回去后先进行田间调查，再问一问父母、左邻右舍，两个星期后，我们大家一起来进行分析、归纳、总结，给出一个合理的解释.”
二、对蔬菜种植方式的探究
两个星期后的课堂上，学生分别展示了自己在田间拍摄的照片，分组进行了讨论、交流，最后请学生进行了展示.
生1：我们调查发现，父母在栽培农作物时，为了充分利用土地，同时既要根据历年来作物的生长情况恰当安排种植密度，又要选取合适的栽植方式，归纳起来，在种蔬菜时，有如下栽植法，我况且称为菱形法（图2）和正方形法（图3）.
图2中，A、B、C、D四株顺次连接成一个使BD=AB的菱形；图3中A1、B1、C1、D1四株顺次连接成一个正方形.这两者在株距相同的条件下，究竟哪种栽植法好呢？要判断哪种种植方法好，就要看看哪种方法能充分利用土地.
师：生1分析、抽象得精当、简练，她从那么复杂的种植图形中抽象出了基本图形——菱形与正方形，并给出了种植方式好与不好的标准——就是能否充分利用有限的土地.大家有没有要补充的？
生2：我非常认同生1这种调查结果，针对她画的图，在这里还要补充两个与农业有关的概念，一个是行距，一个是株距.所谓行距是农作物栽成一行行时，行与行的距离；株距是指行内或行间每一株之间的距离，比如B与D之间、A与B之间、A1与 D1之间等等的距离.
生1：生2补充得很好，在株、行距相同的情况下，我的做法就是要看看哪种方法能充分利用土地.也就是要看两种栽植中作物所占的土地面积大.
因为AB=BD，则△ABD为正三角形，于是菱形ABCD的面积为：
即图1中菱形ABCD的面积，相当于图2中正方形A1B1C1D1面积的86.6%.这样看，显然菱形的种植方式占地少，土地的种用率要高.
师：生1同学直接计算出两种种植方式所占面积大小，比较土地利用率的高低，得出了结论，给出了一个很好的解释.还有没有其他的解释？
生3：受生1启发，我认为只要从行距就可以比较出两种种植方式的土地利用率大小.
从它们的行距来看，图2中菱形种植法的行距为（注：它们的株距都相等）：AO=■AB=■A1B1≈0.866A1B1；图3中正方形种植法的行距为A1B1，显然有A1B1-AO=0.134A1B1.即图2中的菱形种植法较图3中的正方形种植法每行小0.134倍，亦即图3中正方形种植7行的距离，按图2中菱形种植法可种8行，显然，菱形的种植法土地利用率高.
师：生3从行距这一角度又给出了一个直观又接地气的回答，还有其他的解释吗？
生4：我是用间接的方式算出，菱形种植法好，土地的空置少的，相应的土地利用率就高.
我是这样看的：从菜生长以后的空隙面积来看，由于菜生长以后，它们的叶子把一棵的周围围成一近似圆形.
即用菱形种植法，四株菜形成图4的形状，其中⊙A、⊙B、⊙D均两两外切，⊙B、⊙C、⊙D均两两外切；用正方形种植法，则四株菜形成图5的形状，其中以每相邻两顶点为圆心的圆外切.图4、图5中阴影部分的面积是菜长大后的空隙面积，由于它们的株距相等，所以这些圆的半径也相等.
设它们的半径为R，则AB=BD=B1C1=2R.从图4中可以看出：从菱形ABCD的面积中减去一个圆的面积，恰等于空隙地（阴影部分）的面积；而菱形ABCD的面积
在图5中，从正方形面积中减去一个圆的面积，恰等于空隙地的面积（阴影部分），即（2R）2-πR2=4R2-πR2=（4-π）R2.
即在图5正方形种植法中，空隙地的面积相当于图4菱形种植法的两倍多.显然，正方形的空地多，这样土地的利用率不高；这也就间接证明了菱形种植法的土地利用率高.
师：生4从空隙地的角度，也得出了正方形种植法空地多，菱形种植法空地少，土地利用率高的结论，这种思考问题的方法在数学上就是间接法，今天在这里得到了很好的运用.大家还有没有其他解释？
（停一会儿，学生没再发言，教师继续总结）大家从数学的角度对蔬菜栽植方式进行了抽象，模拟、运算，最后得出结论：菱形种植法比正方形种植法的栽法要好，原因是：在株距相等的条件下，菱形种植法空地少，能充分利用土地，挖掘增产潜力.你们可以将这一结论告诉父母，让他们有意识地利用菱形种植法，充分利用土地，获得最大产量. 但同学们也要知道，在农业生产中，农作物要获得最大产量，除了土地利用率要高的同时，还要综合考虑阳光、肥力、空气等因素的影响.也就是说，我们用数学模型解决农业问题的时候，要考虑到农业的实际.
其实，在我们生活的农村，数学有很大的用武之地，我们要像本次探讨一样，用数学的知识、方法去解决农业中的问题，拓展数学视野.
三、对农村学校开展数学拓展性课程的启示
2015年浙江省教育厅在《关于深化义务教育课程改革的指导意见》中指出，拓展性课程是指学校提供给学生自主选择的学习内容，同时明确要求，各地和学校要积极探索拓展课程的开发、实施、评价和共享机制，体现地域和学校特色，突破拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求，初中数学拓展性课程肩负着实现素质教育的责任和义务，是实现数学教学向数学教育转变的重要途径之一[1].
但农村学校数学教师对“数学拓展课程”认识上还存在很大的偏差和误解.例如“数学拓展课程”目的是加大学生解题训练，提高中考分数；“数学拓展课程”是专为数学的优秀生而开发出来，提高他们的竞赛成绩；“数学拓展课程”拓展的内容不仅在中考范围内，还要超过新课标；数学拓展课程就是“难题+趣题”等等.出现这些偏差和误解的原因，是农村教师未能很好地领会数学拓展性课程的精神实质，未能深入地了解农村实际，未能很好地找到“农村”与“数学”的有机结合点.本次对蔬菜栽植方式的探究为农村学校开展数学拓展性课程提供了一个思路和方向.
笔者认为，农村学校的数学拓展性课程就要体现“农村性”和“数学性”这两点.“农村性”就要引导学生从自己生活的农村生活中，从父母农业生产活动中去发现问题、思考问题、解决问题，这才是农村学校拓展性课程的源头活水，才能激发农村学生的探究兴趣.例如本次对蔬菜种植方式的探究，就来自于学生的农村生活和田间观察，学生感觉到拓展充满乐趣，拓展的成功又让学生自信满满.其实，细心观察一下，农村中这样的问题还很多，例如：谷仓设计问题；种子发芽率问题；水资源利用问题；家畜的估重问题；干旱对小麦的株数、穗数、粒数影响的估算问题；农产品包装盒的设计问题等.这些农村问题对学生来说鲜活而有意义，是农村学校很好的拓展性课程内容.这种立足于农村、自然生发出的数学问题，追根溯源，培养学生勇于质疑、探究的理性精神；也让学生通过田间劳作，学会思考，领会数学学习的方法.
“数学性”就是农村学校的数学拓展性课程中要有“数学味”，要能很好地利用数学的知识、方法、思想来思考或解决农村生活中的问题.本次对蔬菜种植方式的探究，实际上是一个建立数学模型（将蔬菜种植方式抽象成菱形与正方形），解这个模型（计算菱形和正方形面积或空隙地的面积），应用这个模型（推广菱形种植法）的过程，在这个过程中又很好地用到了两种数学方法——直接法与间接法.其实，数学拓展性课程就是要在活动中体现出抽象化、符号化的过程，脱离学生实际的抽象化、符号化就会让学生难以理解与深入.因此，在拓展性课程中，强调学习者的现实生活世界，强调真实的学习情境，从生活实际出发来引入数学，隐含的一个原理就是在大量的生活经验的支持下，数学学习会更具体、更真实、更容易理解.主体认知受制于现实真实[2].没有现实、真实的支撑，数学学习就变得非常机械、死板和教条，这也是长期以来我国农村数学课程中存在的问题：农村数学课程脱离农村生活实际，与农村现实生活的关系不密切，学生理解时缺乏生活经验的支持，导致农村学生数学学习困难，失去数学学习兴趣，造成许多农村学生最终放弃数学学习.
数学拓展课程作为基础教育的补充，在发展和完善人中，在形成人们认识世界的态度和方法上，在满足差异化、个性化的发展中起着重要的作用.学生因为课程而生发，教师因课程的开设而成长，开设拓展性课程也是开创我们的未来.
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书数学（七年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2012：23.
[2]涂荣豹，等.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：65.