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摘要：本文从美国和中国的航空业中分别选取了一家航空公司的股票作为配对，用Ornstein-Uhlenbeck过程模拟并度量这一配对的股票价差，并建立了配对交易的边界交易策略。将这种交易策略以两种不同的滚动期应用到两个不同国家的航空公司的股票后，本文分析了最优界位和各种情况下相应的收益率，并得出配对交易边界交易策略是一种盈利性强的策略，更适合处在成熟经济体中的行业，并且模型参数更新能提高收益率。
关键词：最优界位；配对交易；Ornstein-Uhlenbeck过程；航空业
一、介绍
配对交易在过去的三十年中被金融业广泛应用，这不仅仅是因为它相对而言容易操作，还因为它在很多实例中是一个有利可图的交易策略。很多学者对配对交易做了研究。Hong和Susmel（2004）研究了24种亚洲股票，发现配对交易利润颇丰，而且在不同的利润度量方法和持有期下此结论依然强劲。Gatev，Goetzmann，和Rouwenhorst（2006）在相对价值套利法则下测试了配对交易，其平均年收益率高达11%。Mudchanatongsuk，Primbs，和Wong（2008）提出将随机控制方法应用于Ornstein-Uhlenbeck过程（以下简称OU过程），建立出证券组合最优化。然而，Bolgun，Kurun，和Guven（2010）研究了伊斯坦布尔股票，发现交易佣金抵消了大部分的超额利润。
本文将分别从中国和美国的航空业分别选取一家航空公司的股票作为配对。之所以选取这两个国家，是因为中国市场是新兴市场的一个例子，而美国市场则代表成熟市场，在这两个国家间进行配对交易分析有助于比较此交易策略在两个不同类型的经济体之间的交易结果。同时，由于航空业所提供的服务一般在不同的公司稍有不同，却又由于服务质量和地理位置等原因不能完全相互替代，航空业在这两个国家都处在垄断竞争市场。此特征使得不同航空公司的业绩表现相互关联，而业绩表现又能体现在各自的股价之中，因此，本文所选取的配对股非常适合做配对交易。
基于以上原因，本文将选取中国南方航空公司的股票（NYSE：ZNH）和中国东方航空公司的股票（NYSE：CEA）作为一对配对股；选取美国西南航空公司的股票（NYSE：LUV）和美国捷蓝航空公司的股票（NYSE：JBLU）作为另一对配对股。数据选自纽约股票交易所股利调整后的每日收盘价，数据的时间跨度为2005年1月1日至2012年12月31日。
本文结构安排如下：第二部分将用过往表现策略对两个国家的配对股数据进行度量，找出4年期样本内数据的最优的N-值，并将N-值应用到4年期的样本外数据。第三部分将建立4个滚动期去衡量OU过程，并将最优N-值应用到1年期的样本外数据，最后分析收益率的结果。所有实证结果分析出来后，第四部分将比较所有结果并得出结论。
二、过往表现策略
两个国家的两个航空公司的股票数据都是每日收盘价，数据从2005年1月1日至2012年12月31日，时间跨度为8年。由于参数度量主要取决于我们所选取的数据和数据所覆盖的时间跨度，参数的值将主要取决于我们选取数据的方式。本文将在两种取样方法上估计参数：过往表现策略和滚动策略。
在过往表现策略中，我们将用数据时间跨度中前4年（即从2005年1月1日至2008年12月31日）的數据去度量模型参数，并基于这些估计，我们将确定这4年的最优边界，应用到后4年（即从2009年1月1日至2012年12月31日）样本外数据。也就是说，我们将过往表现应用到未来的交易中，以考察交易效果，这就是过往表现策略。
证券组合的建立
对于过往表现策略，只存在一个交易时期：2009年1月1日至2012年12月31日。在交易的开始日2009年1月1日，对CHN的配对股通过买入1份ZHN股票、同时卖出1份CEA股票来持有股价差，而对USA的配对股通过买入1份LUV股票、同时卖出1份JBLU股票来持有股价差。在2012年12月31日交易截止这一天，我们清空所有仓位并计算平均年度收益率。初始的证券组合的价值为：
交易费用和卖空成本
由于边界交易策略可能产生高频率的头寸调整，交易费用在此策略中不能忽视。根据纽约证券交易所2013年价格清单，股票每股每次交易的交易费为0.0003美元。同时，持有短头寸所需的成本通常与买相同证券所需的成本相似。基于实际情况，我们将假设每次头寸发生变化时（包括我们进入交易期和交易期结束清算头寸时），交易费用为每股每次0.0003美元。
3.最优界位和相应的最大收益率
在Excel软件中，我们设置以0.1为间隔的从0.1到30的300个N-值序列，并根据所建立的边界交易策略的规则，计算出在样本内数据期（2005～2008年）每一个N-值所对应的收益率。收益率与N-值关系如下图：
从图像上观测到，在CHN配对股中，最优N-值为14.0到16.1间的任何数值，最大收益率为2796.05%，平均年度收益率为131.98%。我们选择N=15。在USA配对股中，最优N-值为10.6，最大收益率为6321.95%，平均年度收益率为183.08%。基于这些最优N-值，我们可以确定出接下来的4年（2009～2012年）样本外数据的边界：
将对样本内数据的最优N-值应用到样本外数据确定边界后，从2009至2012年的收益率分别为下表。
在CHN配对股中，当我们将N=15选取应用到后4年的交易后，4年的总收益率为682.09%，平均年收益率为7.23%。同样，在USA配对股中，当我们将N=10.6应用到后4年样本外数据后，总收益率为573.58%，平均年收益率为61.10%。而在样本外数据中，真实最优N-值与真实最大平均年收益率的关系图为： 从图中可观测出，在2009～2012期间，CHN配对股真实最优N-值应为4.1，相应的真实最大平均年收益率为124.90%。在USA配对股中真实最优N-值为10.0到10.6之间的任何值，相应的真实最大平均年收益率为61.10%，这与上面样本内数据的最优N-值和平均年收益率相吻合，说明边界交易策略在此处对USA配对股优于CHN配对股。两个案例的样本外数据交易情况为：
CHN配对股：
1.每个滚动期的参数度量
当度量模型参数时，我们完全可以用过往表现策略中同样的估计方法。具体而言，我们需要度量4个不同的OU过程：2005至2008，2006至2009，2007至2010，2008至2011。由于对2005至2008的参数估计已经在过往表现策略中估计出，只需要度量剩下三个时期的参数。对于两个例子，参数的估计结果分别为：
边界交易策略的建立
对于每个滚动期，交易策略将和过往表现策略中所建立的交易策略一样，除了样本外数据的时间跨度不再是4年，而是1年。
证券组合的建立
在滚动期策略中，一共有4个交易期：2009年，2010年，2011年和2012年。在每个滚动期的截止日期，我们将清空所有证券组合的仓位，并计算平均年收益率。在每个滚动期的开始日期，我们对股票价差选择持有长头寸或持有短头寸，因此，开始的证券组合的价值为：
交易费用和卖空成本
交易费用和卖空成本将和过往表现策略中的假设一样。
3.每个滚动期的最优N-值和最大收益率
度量了每个滚动期的OU过程的参数之后，我们将对样本内数据最优的N-值应用到样本外数据中，并计算相应的收益率。之后，基于上面所确定的2对边界，找出实际最优的N-值和相应的最大收益率：
四、结论
从以上的分析，我们可以归纳出在两个国家、两种取样方法上各种N-值和相应收益率的表格。
配对交易的利润率
在CHN配对股和USA配对股中，无论哪种取样方法，各自的年平均收益率都比股价差本身的收益率高，这说明边界交易策略比股价差持有到期的策略表现更好。边界交易策略是一个利润颇丰的策略。
取样方式
在两个例子中，滚动期策略的年平均收益率都要比过往表现策略的年平均收益率高，除了CHN配对股中两者相等以外，这说明滚动期策略优于过往表现策略。数据度量上的更新能使模型拟合的更准确，从而收益率更高。
经济体偏好
本文认为，相比中国的航空业公司股，边界交易策略更适合美国航空业公司股。原因在于，首先，在 USA配对股中，第一和第四滚动期的最优N-值都落在了真实最优N-值的范围内，第三滚动期最优N-值非常接近真实最优N-值的区域，只有第二滚动期的N-值偏离较远。而在CHN配对股中，四个滚动期的最优N-值全部没有落在真实最优N-值的范围内，而且第一和第二滚动期两者的差别甚大。这说明边界交易策略更适合成熟经济体。其次，虽然CHN配对股的收益率总体比USA配对股的收益率高，但是一旦考虑到各自股价差的收益率时，不难发现CHN配对股的高收益率大多来自股价差的收益率，而非边界交易策略本身。
这个结论与实际是一致的：在一个成熟经济体或行业当中作为配对的两家公司在提供的商品、服务与内部管理较为成熟并且稳定，影响它们绩效的更多了将来自于外部因素，例如航空业的外部因素包括能源价格、天气状况、宏观经济等等。这使得配对的两家公司共同面临的风险更多，它们的绩效趋同性更大，股价的相关性也就更大。而在新兴市场或行业中，不同企业面临的风险特质性更强，这弱化了它们股价的相关性。
參考文献：
[1] Gwangheon Hong， Raul Susmel （2004）. Pairs-Trading in the Asian ADR Market[DB/OL]， http：//statarb.googlecode.com/files/pairs_ asian_adr_market.pdf.
[2] Supakorn Mudchanatongsuk， James A. Primbs， and Wilfred Wong （2006）， Optimal Pairs Trading： A Stochastic Control Approach[DB/ OL]， http：//www.bradblock.com.s3-website-us-west-1.amazonaws. com/Optimal_Pairs_Trading_A_Stochastic_Control_Approach.pdf.
[3] Bolgun， Evren and Kurun， Engin and Guven， Serhat （2009）， Dynamic Pairs Trading Strategy For The Compaines Listed In The Istanbul Stock Exchange[DB/OL]， http：//mpra.ub.uni-muenchen.de/19887/.
[4] Heni Puspaningrum， Yan-Xia Lin， Chandra Gulati （2009）， Finding the Optimal Pre-set Boundaries for Pairs Trading Strategy Based on Cointegration Technique[DB/OL]， http：//www.tandfonline.com/doi/ab s/10.1080/15598608.2010.10411994#.UkIIiIvD_IU.
[5] Thijs van den Berg （2011）， Calibrating the Ornstein-Uhlenbeck（Vasicek） model[EB/OL]， http：//www.sitmo.com/article/calibratingthe-ornstein-uhlenbeck-model/.
[6] Luigi M. Ricciardi and Shunsuke Sato （1988）， First-PassageTime Density and Moments of the Ornstein-Uhlenbeck Process[DB/OL]， http：//www.jstor.org/stable/3214232.
关键词：最优界位；配对交易；Ornstein-Uhlenbeck过程；航空业
一、介绍
配对交易在过去的三十年中被金融业广泛应用，这不仅仅是因为它相对而言容易操作，还因为它在很多实例中是一个有利可图的交易策略。很多学者对配对交易做了研究。Hong和Susmel（2004）研究了24种亚洲股票，发现配对交易利润颇丰，而且在不同的利润度量方法和持有期下此结论依然强劲。Gatev，Goetzmann，和Rouwenhorst（2006）在相对价值套利法则下测试了配对交易，其平均年收益率高达11%。Mudchanatongsuk，Primbs，和Wong（2008）提出将随机控制方法应用于Ornstein-Uhlenbeck过程（以下简称OU过程），建立出证券组合最优化。然而，Bolgun，Kurun，和Guven（2010）研究了伊斯坦布尔股票，发现交易佣金抵消了大部分的超额利润。
本文将分别从中国和美国的航空业分别选取一家航空公司的股票作为配对。之所以选取这两个国家，是因为中国市场是新兴市场的一个例子，而美国市场则代表成熟市场，在这两个国家间进行配对交易分析有助于比较此交易策略在两个不同类型的经济体之间的交易结果。同时，由于航空业所提供的服务一般在不同的公司稍有不同，却又由于服务质量和地理位置等原因不能完全相互替代，航空业在这两个国家都处在垄断竞争市场。此特征使得不同航空公司的业绩表现相互关联，而业绩表现又能体现在各自的股价之中，因此，本文所选取的配对股非常适合做配对交易。
基于以上原因，本文将选取中国南方航空公司的股票（NYSE：ZNH）和中国东方航空公司的股票（NYSE：CEA）作为一对配对股；选取美国西南航空公司的股票（NYSE：LUV）和美国捷蓝航空公司的股票（NYSE：JBLU）作为另一对配对股。数据选自纽约股票交易所股利调整后的每日收盘价，数据的时间跨度为2005年1月1日至2012年12月31日。
本文结构安排如下：第二部分将用过往表现策略对两个国家的配对股数据进行度量，找出4年期样本内数据的最优的N-值，并将N-值应用到4年期的样本外数据。第三部分将建立4个滚动期去衡量OU过程，并将最优N-值应用到1年期的样本外数据，最后分析收益率的结果。所有实证结果分析出来后，第四部分将比较所有结果并得出结论。
二、过往表现策略
两个国家的两个航空公司的股票数据都是每日收盘价，数据从2005年1月1日至2012年12月31日，时间跨度为8年。由于参数度量主要取决于我们所选取的数据和数据所覆盖的时间跨度，参数的值将主要取决于我们选取数据的方式。本文将在两种取样方法上估计参数：过往表现策略和滚动策略。
在过往表现策略中，我们将用数据时间跨度中前4年（即从2005年1月1日至2008年12月31日）的數据去度量模型参数，并基于这些估计，我们将确定这4年的最优边界，应用到后4年（即从2009年1月1日至2012年12月31日）样本外数据。也就是说，我们将过往表现应用到未来的交易中，以考察交易效果，这就是过往表现策略。
证券组合的建立
对于过往表现策略，只存在一个交易时期：2009年1月1日至2012年12月31日。在交易的开始日2009年1月1日，对CHN的配对股通过买入1份ZHN股票、同时卖出1份CEA股票来持有股价差，而对USA的配对股通过买入1份LUV股票、同时卖出1份JBLU股票来持有股价差。在2012年12月31日交易截止这一天，我们清空所有仓位并计算平均年度收益率。初始的证券组合的价值为：
交易费用和卖空成本
由于边界交易策略可能产生高频率的头寸调整，交易费用在此策略中不能忽视。根据纽约证券交易所2013年价格清单，股票每股每次交易的交易费为0.0003美元。同时，持有短头寸所需的成本通常与买相同证券所需的成本相似。基于实际情况，我们将假设每次头寸发生变化时（包括我们进入交易期和交易期结束清算头寸时），交易费用为每股每次0.0003美元。
3.最优界位和相应的最大收益率
在Excel软件中，我们设置以0.1为间隔的从0.1到30的300个N-值序列，并根据所建立的边界交易策略的规则，计算出在样本内数据期（2005～2008年）每一个N-值所对应的收益率。收益率与N-值关系如下图：
从图像上观测到，在CHN配对股中，最优N-值为14.0到16.1间的任何数值，最大收益率为2796.05%，平均年度收益率为131.98%。我们选择N=15。在USA配对股中，最优N-值为10.6，最大收益率为6321.95%，平均年度收益率为183.08%。基于这些最优N-值，我们可以确定出接下来的4年（2009～2012年）样本外数据的边界：
将对样本内数据的最优N-值应用到样本外数据确定边界后，从2009至2012年的收益率分别为下表。
在CHN配对股中，当我们将N=15选取应用到后4年的交易后，4年的总收益率为682.09%，平均年收益率为7.23%。同样，在USA配对股中，当我们将N=10.6应用到后4年样本外数据后，总收益率为573.58%，平均年收益率为61.10%。而在样本外数据中，真实最优N-值与真实最大平均年收益率的关系图为： 从图中可观测出，在2009～2012期间，CHN配对股真实最优N-值应为4.1，相应的真实最大平均年收益率为124.90%。在USA配对股中真实最优N-值为10.0到10.6之间的任何值，相应的真实最大平均年收益率为61.10%，这与上面样本内数据的最优N-值和平均年收益率相吻合，说明边界交易策略在此处对USA配对股优于CHN配对股。两个案例的样本外数据交易情况为：
CHN配对股：
1.每个滚动期的参数度量
当度量模型参数时，我们完全可以用过往表现策略中同样的估计方法。具体而言，我们需要度量4个不同的OU过程：2005至2008，2006至2009，2007至2010，2008至2011。由于对2005至2008的参数估计已经在过往表现策略中估计出，只需要度量剩下三个时期的参数。对于两个例子，参数的估计结果分别为：
边界交易策略的建立
对于每个滚动期，交易策略将和过往表现策略中所建立的交易策略一样，除了样本外数据的时间跨度不再是4年，而是1年。
证券组合的建立
在滚动期策略中，一共有4个交易期：2009年，2010年，2011年和2012年。在每个滚动期的截止日期，我们将清空所有证券组合的仓位，并计算平均年收益率。在每个滚动期的开始日期，我们对股票价差选择持有长头寸或持有短头寸，因此，开始的证券组合的价值为：
交易费用和卖空成本
交易费用和卖空成本将和过往表现策略中的假设一样。
3.每个滚动期的最优N-值和最大收益率
度量了每个滚动期的OU过程的参数之后，我们将对样本内数据最优的N-值应用到样本外数据中，并计算相应的收益率。之后，基于上面所确定的2对边界，找出实际最优的N-值和相应的最大收益率：
四、结论
从以上的分析，我们可以归纳出在两个国家、两种取样方法上各种N-值和相应收益率的表格。
配对交易的利润率
在CHN配对股和USA配对股中，无论哪种取样方法，各自的年平均收益率都比股价差本身的收益率高，这说明边界交易策略比股价差持有到期的策略表现更好。边界交易策略是一个利润颇丰的策略。
取样方式
在两个例子中，滚动期策略的年平均收益率都要比过往表现策略的年平均收益率高，除了CHN配对股中两者相等以外，这说明滚动期策略优于过往表现策略。数据度量上的更新能使模型拟合的更准确，从而收益率更高。
经济体偏好
本文认为，相比中国的航空业公司股，边界交易策略更适合美国航空业公司股。原因在于，首先，在 USA配对股中，第一和第四滚动期的最优N-值都落在了真实最优N-值的范围内，第三滚动期最优N-值非常接近真实最优N-值的区域，只有第二滚动期的N-值偏离较远。而在CHN配对股中，四个滚动期的最优N-值全部没有落在真实最优N-值的范围内，而且第一和第二滚动期两者的差别甚大。这说明边界交易策略更适合成熟经济体。其次，虽然CHN配对股的收益率总体比USA配对股的收益率高，但是一旦考虑到各自股价差的收益率时，不难发现CHN配对股的高收益率大多来自股价差的收益率，而非边界交易策略本身。
这个结论与实际是一致的：在一个成熟经济体或行业当中作为配对的两家公司在提供的商品、服务与内部管理较为成熟并且稳定，影响它们绩效的更多了将来自于外部因素，例如航空业的外部因素包括能源价格、天气状况、宏观经济等等。这使得配对的两家公司共同面临的风险更多，它们的绩效趋同性更大，股价的相关性也就更大。而在新兴市场或行业中，不同企业面临的风险特质性更强，这弱化了它们股价的相关性。
參考文献：
[1] Gwangheon Hong， Raul Susmel （2004）. Pairs-Trading in the Asian ADR Market[DB/OL]， http：//statarb.googlecode.com/files/pairs_ asian_adr_market.pdf.
[2] Supakorn Mudchanatongsuk， James A. Primbs， and Wilfred Wong （2006）， Optimal Pairs Trading： A Stochastic Control Approach[DB/ OL]， http：//www.bradblock.com.s3-website-us-west-1.amazonaws. com/Optimal_Pairs_Trading_A_Stochastic_Control_Approach.pdf.
[3] Bolgun， Evren and Kurun， Engin and Guven， Serhat （2009）， Dynamic Pairs Trading Strategy For The Compaines Listed In The Istanbul Stock Exchange[DB/OL]， http：//mpra.ub.uni-muenchen.de/19887/.
[4] Heni Puspaningrum， Yan-Xia Lin， Chandra Gulati （2009）， Finding the Optimal Pre-set Boundaries for Pairs Trading Strategy Based on Cointegration Technique[DB/OL]， http：//www.tandfonline.com/doi/ab s/10.1080/15598608.2010.10411994#.UkIIiIvD_IU.
[5] Thijs van den Berg （2011）， Calibrating the Ornstein-Uhlenbeck（Vasicek） model[EB/OL]， http：//www.sitmo.com/article/calibratingthe-ornstein-uhlenbeck-model/.
[6] Luigi M. Ricciardi and Shunsuke Sato （1988）， First-PassageTime Density and Moments of the Ornstein-Uhlenbeck Process[DB/OL]， http：//www.jstor.org/stable/3214232.