圆锥曲线中的垂直问题

来源 :高中生学习·高二文综版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:zhhaibin
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  有下面这样几道有趣的解析几何中关于垂直的题目,若采用常规方法解答,虽思路清晰,但运算繁杂,不易求出最终结果,而采用统一的极坐标的方法将非常简单.
  1. 椭圆中的垂直问题
  例1 设椭圆[E: x2a2+y2b2=1(a,b>0)]过[M(2,2)] ,[N(6,1)]两点,[O]为坐标原点.
  (1)求椭圆E的方程;
  (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A,B],且[OA⊥OB]?若存在,写出该圆的方程,并求[|AB|]的取值范围,若不存在说明理由.
  解析 (1)易求得椭圆[E]的方程为[x28+y24=1].
  (2)将椭圆[x28+y24=1]化为极坐标方程:
  [ρ2=8cos2θ+2sin2θ],即[1ρ2=cos2θ+2sin2θ8].
  设[A(ρ1,α),B(ρ2,β),]则[ρ1=OA,ρ2=OB,]
  故有[1ρ21=cos2α+2sin2α8,1ρ22=cos2β+2sin2β8,]
  由[OA?OB=0],
  得[β=α±π2,cos2α=sin2β,cos2β=sin2α].
  所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=38].
  由直角三角形面积公式得,
  [OP?AB=OA?OB,]
  [∴OP2?AB2=OA2?OB2,]
  [∴OP2?(OA2+OB2)=OA2?OB2].
  [∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=83],
  即点[P]在以[O]为圆心、[263]为半径的定圆上.
  所以,存在圆心在原点的圆[x2+y2=83],使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A,B],且[OA⊥OB].
  点拨 (1)[A,B]是椭圆[x2a2+y2b2=1(a,b>0)]上的两个动点,若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2+1b2]为定值;(2)动点[P]在线段[AB]上,满足[OP?AB=0],则点[P]在以[O]为圆心、[aba2+b2]为半径的定圆上.
  2. 双曲线中的垂直问题
  例2 [A,B]是双曲线[x24-y29=1]上的两个动点,满足[OA?OB=0].
  (1)求证:[1OA2+1OB2]为定值;
  (2)动点[P]在线段[AB]上,满足[OP?AB=0],求证点[P]在定圆上.
  证明 (1)将双曲线[x24-y29=1]化为极坐标方程:[ρ2=369cos2θ-4sin2θ],即[1ρ2=9cos2θ-4sin2θ36].
  设[A(ρ1,α),B(ρ2,β),]则[ρ1=OA,ρ2=OB,]
  故有[1ρ21=9cos2α-4sin2α36,1ρ22=9cos2β-4sin2β36.]
  又[OA?OB=0],
  得[β=α±π2,cos2α=sin2β,cos2β=sin2α].
  所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=536].
  (2)由直角三角形面积公式得,
  [OP?AB=OA?OB,]
  [∴OP2?AB2=OA2?OB2],
  [∴OP2?(OA2+OB2)=OA2?OB2].
  [∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=365],
  即点[P]在以[O]为圆心、[655]为半径的定圆上.
  点拨 (1)[A,B]是双曲线[x2a2-y2b2=1(b>a>0)]上的两个动点,若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2-1b2]为定值;(2)动点[P]在线段[AB]上,若满足[OP?AB=0],则点[P]在以[O]为圆心、[abb2-a2]为半径的定圆上.
  3. 抛物线中的垂直问题
  例3 如图,设[A],[B]为抛物线[y2=4pxp>0]上原点以外的两个动点,已知[OA⊥OB],[OM⊥AB]. 求点[M]的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
  解析 (1)将抛物线[y2=4pxp>0]化为极坐标方程:[ρ=4pcosθsin2θ],不妨设[A(ρ1,α),B(ρ2,β),]
  由[OA?OB=0],
  则[β=α-π2,sinβ=-cosα,cosβ=sinα].
  设直线[AB]与[x]轴的交点为[C(ρ,0)],且直线[AB]的方程为[x=my+b],
  化为化为极坐标方程:[ρcosθ=mρsinθ+b.]
  由[A,B,C]三点均在此直线上,则有
  [ρ1cosα=mρ1sinα+b,ρ2cosβ=mρ2sinβ+b,ρ=b,]
  由[ρ1cosα=mρ1sinα+b]得,
  [m=ρ1cosα-bρ1sinα=cosαsinα-bsinα4pcosα],
  由[ρ2cosβ=mρ2sinβ+b]得,
  [m=ρ2cosβ-bρ2sinβ=cosβsinβ-bsinβ4pcosβ=sinα-cosα+bcosα4psinα.]
  则有[cosαsinα-bsinα4pcosα]=[sinα-cosα+bcosα4psinα].
  解得[b=4p],即[ρ=4p],即[C]为定点[(4p,0)].
  由[OM⊥AB]得,[M]点是以[OC]为直径的圆.
  因为[A,B]是原点以外的两点,所以[x≠0.]所以[M]的轨迹是以[(2p,0)]为圆心,以[2p]为半径的圆,去掉坐标原点.方程为[x2+y2-4px=0][(x≠0).]
  点拨 设点[A]和[B]为抛物线[y2=2px(p>0)]上原点以外的两个动点,已知[OA⊥OB],[OM⊥AB].则点[M]的轨迹是以[(p,0)]为圆心,以[2p]为半径的圆,去掉坐标原点.
其他文献
都说女人容易被骗,仗着以前的旧情,以为就可以发酵一场春梦,但今时不同往日。还记得当年区长风的调笑,谢谢,白白占了人便宜,好会起名字的爹妈。15年前,当他第一次喊我名字时,
请下载后查看,本文暂不支持在线获取查看简介。 Please download and view, this article does not support online access to view profile.
故事是二十岁的花边意义是三十岁的追逐而细节是四十岁的感动让眼泪慢慢蓄满眼眶并且不急着落下让心事被收留得久一点在冬意骤生的日子里喝一壶热茶不饮烈酒世上有些人匆促照
一、前言 我国的历史发展源远流长,文化资产的数量亦为数众多。然而于1978年改革开放以来,因地方经济的快速发展及一般人民的漠视,使得地方文化资产遭受蓟为数不少的破坏。
社会主义法律体系建设是社会主义事业进程的要求。本文就从立足中国国情开展法律体系建设、完善社会主义立法体系工作和加强法律建设工作之理论指导这三方面指出有中国特色的
一则寓言说,一位农夫来到城里一家餐馆,向老板打听是否需要青蛙腿,说他那儿有成千上万只青蛙。餐馆老板听后吓了一跳,问农夫从哪儿找到那么多青蛙?农夫回答说:“是这么回事,
请下载后查看,本文暂不支持在线获取查看简介。 Please download to view, this article does not support online access to view profile.
我今年74岁,老伴78岁,我们相濡以沫60年。我们共同养育了五个儿子。年轻时,经济拮据,生活艰辛,老伴上要侍奉两边儿老人,下要抚育一群孩子,超负荷的家庭重担,使得她身体透支,
规则若被用作无任何非特定反例之标准且其适用总是无争议,则罗纳德·德沃金所抨击的那种“规则模型”(model of rules)是一种荒谬的规则模型。德沃金给出充分理由而认为,在(
5月31日,23岁的郑媛媛穿着鹅黄色的短袖T恤,从城管执法车上走下来时,几米开外的人行横道上已经乱成一片。  这里是延安市的主城区圣地路附近。她的7名同事,打算查扣此地美利达自行车车行门前停放的几辆山地车,遭到车行老板刘国峰和几位车友的阻拦,双方的争执很快变成撕打,引来路人驻足围观。  有人用手机拍了现场视频。视频中,郑媛媛走进人群,与迎面过来的车友争吵,继而发生撕打。当她再次出现在画面中时,已经