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摘 要：为了捕捉股票价格波动中的跳跃成分，更精确的为期权定价，莫顿在布莱克和斯科尔斯的模型的基础上提出了跳跃扩散模型，拓展了期权定价的研究。后续学者在莫顿的跳跃扩散模型的基础上进一步拓展了对该模型的研究。本文梳理了应用跳跃扩散模型为不同的期权进行定价，通过文献综述说明莫顿的跳跃扩散模型在期权定价方面是更加符合现实情况的模型，有着良好的应用前景和可操作性。
关键词：跳跃扩散模型；期权定价；参数估计
1引言
在布莱克和斯科尔斯的期权定价模型中，通过对股票服从的价格过程建模，认为股票价格服从一个几何布朗运动。然后通过伊藤引理求出欧式期权价格所服从的一个伊藤过程。在这两个描述价格过程的偏微分方程中，有一个共同的波动项。通过消除这个波动项，布莱克和斯科尔斯建立了著名的布莱克-斯科尔斯微分方程。通过求解该微分方程，求出了欧式看涨期权的显示解。
在布莱克-斯科尔斯模型所做的假设中，第一条就是股票的价格服从一个几何布朗运动。在这之后，许多学者都对该模型的假设条件进行了放松，使之能够更加符合现实的市场情况。许多模型都侧重于调整所研究过程的波动率以适应动态的波动率结构，或者调整漂移项以模拟市场中的均值回归特征[1]。但是现实的金融市场中，价格和各种比率并不总是连续变化的，而是会发生瞬时的跳跃。
这些跳跃产生的影响在期权市场中是很常见的。专家们早已发现了在股票价格模型中引入跳跃成分的重要性因此他们做了大量努力来讲价格跳跃引入模型中，于是就有了泊松型跳跃和跳跃扩散等模型。
2 Merton的跳跃扩散模型
当股票价格服从几何布朗运动时，随机微分方程为：
其中μ是单位时间的瞬时期望回报，σ是单位时间的瞬时波动率，Wt是标准维纳过程。在这个模型中引入跳跃的方法主要有两种。第一种是直接加入一个跳跃项，构成所谓的跳跃-扩散模型。第二种方法是对这个过程做时间变换，使维纳过程沿不同概念下的时间推移，而不是标准的日历时间，从而我们就可能是过程产生跳躍。
连续时间的资产定价模型有两块基石：一是维纳过程，即布朗运动，它是路径连续的随机过程。如果市场上主要是“普通”事件，“极端”波动仅偶然发生且符合正态分布尾部对应的概率，那么就适合用维纳过程。第二个就是上面提到的泊松过程，可以对罕见事件导致的系统性跳跃建模，泊松过程是路径非连续的过程。
如果将资产的价格变化看做一个事件，那么所谓的“普通”事件所具有的特征就是，资产价格变动的幅度与我们观察的时间长短成正比。与“普通”事件相对应的就是“罕见”时间。对于“罕见”事件来说，当我们观察的时间区间趋于零时，这类时间发生的概率也是趋于零的。但是事件发生的规模，或者说资产价格发生“罕见”变化的幅度，并不会随着我们所观察的时间区间的缩短而变小。如果“罕见”时间发生，那么无论是十分钟观察一次还是一整天观察一次，波动的幅度都差不多。
泊松计数过程似乎是对“罕见”事件进行建模的很好选择[2]。我们假设随机变量会在不同的时刻ti（i=1，2，…）发生跳跃，这些时刻彼此独立，不可预测，且跳跃幅度一致。在很小的时间区间Δ，发生两次或者两次以上跳跃的概率忽略不计。在某一段时间t（假设初始时刻记为0时刻）内发生跳跃的总次数称为泊松记数过程，记为Nt。
对于一个泊松过程，在一段小的时间区间Δ内发生一次跳跃的概率约为
上式可以表明，泊松计数过程具有以下性质：
1）在一段很短的时间区间Δ内，事件至多发生一次的概率非常接近于1
2）t时刻的已知信息无法预测下一个Δ时间内是否会发生跳跃事件
3）单位时间内事件发生的次数为λ
泊松过程虽然模拟了一些罕见事件发生，但是泊松过程的假设中，每次发生跳跃的幅度是1，这就与实际中观察到的跳跃行为不一致，所以需要对这一点进行修正。我们接下来引入复合泊松过程。
延续前面的符号，Nt是强度为λ的泊松过程，Y1，Y2，…是一列均值为k的随机变量。这一系列随机变量度量了当“罕见”事件发生时，标的资产发生的变化。例如，在t时刻的股票价格为St，在一段很小的时间区间Δ之内，“罕见”时间发生了一次，那么在t+Δ时刻，股票价格变为St+Δ=St×Y。因此，Y-1就衡量了标的资产价格发生变动的比例。
有了这些说明，我们就可以定义复合泊松过程：
如果设Qt是复合泊松过程，则补偿复合泊松过程Qt-kλt是一个鞅过程[3]。
在介绍完几何布朗运动和泊松过程之后，我们就可以说明由莫顿提出的跳跃-扩散模型：
其中μ是在泊松事件没有发生时资产的瞬时期望收益率，σ2是在泊松事件没有发生时回报的瞬时方差，dWt是标准的高斯-维纳过程，dQt是独立于维纳过程的复合泊松过程，λ是单位时间内“罕见”事件发生的次数，k=E[Y-1]表明了资产价格当泊松事件发生时，由泊松事件所带来的变化的比例（幅度）。
莫顿的跳跃扩散模型的原始形式应该是如下所示：
这个式子表明了，莫顿的跳跃扩散模型是在几何布朗运动的基础上直接加上了一项表示跳跃的补偿复合泊松过程。之所以加上这一项，而不是直接加上一个复合泊松过程的项，是因为要与有效市场假说保持一致[5]。因为在有效市场中，股票价格的时间序列应该是一个鞅过程。所以对复合泊松过程进行了去趋势的处理，使之成为一个鞅。
跳跃扩散模型将市场发生罕见的极端事件时的情况纳入了模型的分析框架，相比较于仅仅使用几何布朗运动对资产价格运动建模，跳跃扩散模型更加符合真实的情况。但是在该模型中，仍然有一些问题需要解决。第一，就是跳跃的频率λ需要确定；第二，跳跃的幅度需要确认；第三，跳跃的方差需要确认[6]。
3 利用跳跃扩散模型对金融衍生产品定价 学者们将莫顿提出来的这种建模方法应用在了各种不同的衍生品定价的过程中。
在对浮动利率抵押贷款支持证券进行定价时，王明好等考虑到利率受人为或突发事件的干扰而产生跳跃不连续的情形，利用跳跃-扩散模型模拟利率随机过程， 结合我国借款人行为特点建立提前偿还比例危险模型， 运用蒙特卡洛模拟方法， 研究了浮动利率抵押贷款支持证券的定价， 讨论了利率模型各参数的变化对定价的影响。经模拟发现：利率跳跃的频率、跳跃幅度的波动越大， 证券价格越大， 而利率跳跃幅度的均值越大， 证券价格却越小[7]。在他们所应用的跳跃扩散模型中，模型的泊松过程强度和跳跃幅度等参数值是先验设定的，并没有给出这样设定的依据。在对利率进行跳跃扩散模型建模时，各个参数的选取仍有待进一步验证。
任玉超等人利用双幂次变差方法检测期权标的资产价格是存在跳跃，针对标的资产价格存在跳跃这种情况，借助泊松跳跃扩散模型（JD）与BS定价模型进行对比分析。运用累积量拟合法估计JD的参数，选取上交所、中金所、香港交易所交易或仿真交易的8只欧式期权的日收盘数据，按照期权收盘价样本的筛选规则进行数据处理得到27371个日收盘数据作为研究样本，借助实证分析检验BS模型与JD模型的定价效果。实证结果表明：JD模型是一个比BS模型更现实的模型，其定价效果优于BS模型，但两者均存在普遍低估的现象[8]。
黄国安等假定市场股价满足跳跃扩散模型，应用测度变换法给出了欧式任选期权的一般均衡价格公式，并提供了两种数值方法： Newton-Raphso n迭代和Monte-Carlo模拟法来计算该类期权的价格，分析了模型中一些参数对期权价格的影响[9]。他们的研究中，并没有说明模型参数的选择标准，同样也没有给出能说吗定价方法精度的比较标准。所以该方法对欧式任选期权的定价效果有待进一步验证。
张静等研究不完备市场中，当标的资产的价格出现不连续跳跃时，亚式期权的定价问题。推导出当标的资产的价格服从跳跃-扩散过程时，具有固定敲定价格算术平均亚式期权的價格下界公式，并通过数值计算验证了该下界公式可以近似作为亚式期权的定价公式[10]。他们在文章中也提到，这种运用蒙特卡洛方法计算的是亚式期权的价格下界，以这个下界作为期权价格的近似，更加精确的定价方法仍然有待探索。
李素丽在她的硕士学位论文中分析了在完全外汇市场的假设下，对遵循跳跃扩散过程的汇率模型，研究了外汇期权的定价公式。在利率随机的情况下，论文分别讨论了国内外利率受同一个布朗运动的影响和受不同的布朗运动影响时的外汇期权定价公式，并出平价公式[11]。但是直到今天我国采取的仍然是有管理的浮动汇率制度，汇率的波动情况有自己独特的规律，和研究中假设的跳跃扩散模型是否相符仍然需要进一步验证。
4 结论
在考虑到股票价格波动中的跳跃现象后，莫顿提出了跳跃扩散模型来对欧式期权的定价方法进行了研究。在他提出该模型之后，众多学者对这种模型进行了拓展研究。在应用跳跃扩散模型对各种金融衍生工具，尤其是各种奇异期权定价方面，学者们研究了对压式期权、任选期权、外汇期权等衍生产品的定价效率问题。本文通过文献梳理说明了莫顿提出的跳跃扩散模型在期权定价方面有着广泛的应用前景，并且模型中的参数是可以通过现有的参数估计方法得到较好的推断，说明了莫顿的跳跃扩散模型的实用性。
参考文献：
[1]艾利.赫萨，萨利赫 N.内夫特奇，冉启康，葛泓杉和李君格.金融衍生工具数学导论[M].北京：机械工业出版社：2016.7，187
[2]艾利.赫萨，萨利赫 N.内夫特奇，冉启康，葛泓杉和李君格.金融衍生工具数学导论[M].北京：机械工业出版社：2016.7，130
[3]史蒂文 E.施里夫，陈启宏和陈迪华.金融随机分析第二卷连续时间模型[M].上海：上海财经大学出版社：2015.6：385
[4]Robert C.Merton.Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976.（3）：125-144
[5]Robert C.Merton.Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976.（3）：125-144
[6]王明善.关于期权定价的几个模型[D].杭州：浙江大学，2009
[7]王明好，陈忠和李丽.基于跳跃扩散利率模型的浮动利率抵押贷款支持证券定价研究[J].管理工程学报，2007，21（1）：77-82
[8]任玉超，张卫国，刘勇军和刘桂芳.期权定价中BS模型与JD模型的比较[J].系统工程，2017，35（8）：50-58
[9]黄国安，邓国和和霍海峰.跳跃扩散模型下欧式任选期权的定价[J].山西大学学报（自然科学版），2008，31（3）：438-442
[10]张静，何春雄，郭艾和刘文涛.跳跃扩散模型下亚式期权的定价[J].系统工程，2010，28（12）：96-99
[11]李素丽.跳跃扩散模型下外汇期权的定价[D].武汉：华中师范大学，2007
作者简介：
高宇（1993-），女，汉族，吉林省敦化市人，学生，金融学硕士，单位：兰州财经大学金融学院金融学专业，研究方向：风险管理.
郝森（1992-），男，汉族，河北省石家庄人，学生，金融工程学硕士，单位：兰州财经大学金融学院金融工程专业，研究方向：资产定价，风险管理.
关键词：跳跃扩散模型；期权定价；参数估计
1引言
在布莱克和斯科尔斯的期权定价模型中，通过对股票服从的价格过程建模，认为股票价格服从一个几何布朗运动。然后通过伊藤引理求出欧式期权价格所服从的一个伊藤过程。在这两个描述价格过程的偏微分方程中，有一个共同的波动项。通过消除这个波动项，布莱克和斯科尔斯建立了著名的布莱克-斯科尔斯微分方程。通过求解该微分方程，求出了欧式看涨期权的显示解。
在布莱克-斯科尔斯模型所做的假设中，第一条就是股票的价格服从一个几何布朗运动。在这之后，许多学者都对该模型的假设条件进行了放松，使之能够更加符合现实的市场情况。许多模型都侧重于调整所研究过程的波动率以适应动态的波动率结构，或者调整漂移项以模拟市场中的均值回归特征[1]。但是现实的金融市场中，价格和各种比率并不总是连续变化的，而是会发生瞬时的跳跃。
这些跳跃产生的影响在期权市场中是很常见的。专家们早已发现了在股票价格模型中引入跳跃成分的重要性因此他们做了大量努力来讲价格跳跃引入模型中，于是就有了泊松型跳跃和跳跃扩散等模型。
2 Merton的跳跃扩散模型
当股票价格服从几何布朗运动时，随机微分方程为：
其中μ是单位时间的瞬时期望回报，σ是单位时间的瞬时波动率，Wt是标准维纳过程。在这个模型中引入跳跃的方法主要有两种。第一种是直接加入一个跳跃项，构成所谓的跳跃-扩散模型。第二种方法是对这个过程做时间变换，使维纳过程沿不同概念下的时间推移，而不是标准的日历时间，从而我们就可能是过程产生跳躍。
连续时间的资产定价模型有两块基石：一是维纳过程，即布朗运动，它是路径连续的随机过程。如果市场上主要是“普通”事件，“极端”波动仅偶然发生且符合正态分布尾部对应的概率，那么就适合用维纳过程。第二个就是上面提到的泊松过程，可以对罕见事件导致的系统性跳跃建模，泊松过程是路径非连续的过程。
如果将资产的价格变化看做一个事件，那么所谓的“普通”事件所具有的特征就是，资产价格变动的幅度与我们观察的时间长短成正比。与“普通”事件相对应的就是“罕见”时间。对于“罕见”事件来说，当我们观察的时间区间趋于零时，这类时间发生的概率也是趋于零的。但是事件发生的规模，或者说资产价格发生“罕见”变化的幅度，并不会随着我们所观察的时间区间的缩短而变小。如果“罕见”时间发生，那么无论是十分钟观察一次还是一整天观察一次，波动的幅度都差不多。
泊松计数过程似乎是对“罕见”事件进行建模的很好选择[2]。我们假设随机变量会在不同的时刻ti（i=1，2，…）发生跳跃，这些时刻彼此独立，不可预测，且跳跃幅度一致。在很小的时间区间Δ，发生两次或者两次以上跳跃的概率忽略不计。在某一段时间t（假设初始时刻记为0时刻）内发生跳跃的总次数称为泊松记数过程，记为Nt。
对于一个泊松过程，在一段小的时间区间Δ内发生一次跳跃的概率约为
上式可以表明，泊松计数过程具有以下性质：
1）在一段很短的时间区间Δ内，事件至多发生一次的概率非常接近于1
2）t时刻的已知信息无法预测下一个Δ时间内是否会发生跳跃事件
3）单位时间内事件发生的次数为λ
泊松过程虽然模拟了一些罕见事件发生，但是泊松过程的假设中，每次发生跳跃的幅度是1，这就与实际中观察到的跳跃行为不一致，所以需要对这一点进行修正。我们接下来引入复合泊松过程。
延续前面的符号，Nt是强度为λ的泊松过程，Y1，Y2，…是一列均值为k的随机变量。这一系列随机变量度量了当“罕见”事件发生时，标的资产发生的变化。例如，在t时刻的股票价格为St，在一段很小的时间区间Δ之内，“罕见”时间发生了一次，那么在t+Δ时刻，股票价格变为St+Δ=St×Y。因此，Y-1就衡量了标的资产价格发生变动的比例。
有了这些说明，我们就可以定义复合泊松过程：
如果设Qt是复合泊松过程，则补偿复合泊松过程Qt-kλt是一个鞅过程[3]。
在介绍完几何布朗运动和泊松过程之后，我们就可以说明由莫顿提出的跳跃-扩散模型：
其中μ是在泊松事件没有发生时资产的瞬时期望收益率，σ2是在泊松事件没有发生时回报的瞬时方差，dWt是标准的高斯-维纳过程，dQt是独立于维纳过程的复合泊松过程，λ是单位时间内“罕见”事件发生的次数，k=E[Y-1]表明了资产价格当泊松事件发生时，由泊松事件所带来的变化的比例（幅度）。
莫顿的跳跃扩散模型的原始形式应该是如下所示：
这个式子表明了，莫顿的跳跃扩散模型是在几何布朗运动的基础上直接加上了一项表示跳跃的补偿复合泊松过程。之所以加上这一项，而不是直接加上一个复合泊松过程的项，是因为要与有效市场假说保持一致[5]。因为在有效市场中，股票价格的时间序列应该是一个鞅过程。所以对复合泊松过程进行了去趋势的处理，使之成为一个鞅。
跳跃扩散模型将市场发生罕见的极端事件时的情况纳入了模型的分析框架，相比较于仅仅使用几何布朗运动对资产价格运动建模，跳跃扩散模型更加符合真实的情况。但是在该模型中，仍然有一些问题需要解决。第一，就是跳跃的频率λ需要确定；第二，跳跃的幅度需要确认；第三，跳跃的方差需要确认[6]。
3 利用跳跃扩散模型对金融衍生产品定价 学者们将莫顿提出来的这种建模方法应用在了各种不同的衍生品定价的过程中。
在对浮动利率抵押贷款支持证券进行定价时，王明好等考虑到利率受人为或突发事件的干扰而产生跳跃不连续的情形，利用跳跃-扩散模型模拟利率随机过程， 结合我国借款人行为特点建立提前偿还比例危险模型， 运用蒙特卡洛模拟方法， 研究了浮动利率抵押贷款支持证券的定价， 讨论了利率模型各参数的变化对定价的影响。经模拟发现：利率跳跃的频率、跳跃幅度的波动越大， 证券价格越大， 而利率跳跃幅度的均值越大， 证券价格却越小[7]。在他们所应用的跳跃扩散模型中，模型的泊松过程强度和跳跃幅度等参数值是先验设定的，并没有给出这样设定的依据。在对利率进行跳跃扩散模型建模时，各个参数的选取仍有待进一步验证。
任玉超等人利用双幂次变差方法检测期权标的资产价格是存在跳跃，针对标的资产价格存在跳跃这种情况，借助泊松跳跃扩散模型（JD）与BS定价模型进行对比分析。运用累积量拟合法估计JD的参数，选取上交所、中金所、香港交易所交易或仿真交易的8只欧式期权的日收盘数据，按照期权收盘价样本的筛选规则进行数据处理得到27371个日收盘数据作为研究样本，借助实证分析检验BS模型与JD模型的定价效果。实证结果表明：JD模型是一个比BS模型更现实的模型，其定价效果优于BS模型，但两者均存在普遍低估的现象[8]。
黄国安等假定市场股价满足跳跃扩散模型，应用测度变换法给出了欧式任选期权的一般均衡价格公式，并提供了两种数值方法： Newton-Raphso n迭代和Monte-Carlo模拟法来计算该类期权的价格，分析了模型中一些参数对期权价格的影响[9]。他们的研究中，并没有说明模型参数的选择标准，同样也没有给出能说吗定价方法精度的比较标准。所以该方法对欧式任选期权的定价效果有待进一步验证。
张静等研究不完备市场中，当标的资产的价格出现不连续跳跃时，亚式期权的定价问题。推导出当标的资产的价格服从跳跃-扩散过程时，具有固定敲定价格算术平均亚式期权的價格下界公式，并通过数值计算验证了该下界公式可以近似作为亚式期权的定价公式[10]。他们在文章中也提到，这种运用蒙特卡洛方法计算的是亚式期权的价格下界，以这个下界作为期权价格的近似，更加精确的定价方法仍然有待探索。
李素丽在她的硕士学位论文中分析了在完全外汇市场的假设下，对遵循跳跃扩散过程的汇率模型，研究了外汇期权的定价公式。在利率随机的情况下，论文分别讨论了国内外利率受同一个布朗运动的影响和受不同的布朗运动影响时的外汇期权定价公式，并出平价公式[11]。但是直到今天我国采取的仍然是有管理的浮动汇率制度，汇率的波动情况有自己独特的规律，和研究中假设的跳跃扩散模型是否相符仍然需要进一步验证。
4 结论
在考虑到股票价格波动中的跳跃现象后，莫顿提出了跳跃扩散模型来对欧式期权的定价方法进行了研究。在他提出该模型之后，众多学者对这种模型进行了拓展研究。在应用跳跃扩散模型对各种金融衍生工具，尤其是各种奇异期权定价方面，学者们研究了对压式期权、任选期权、外汇期权等衍生产品的定价效率问题。本文通过文献梳理说明了莫顿提出的跳跃扩散模型在期权定价方面有着广泛的应用前景，并且模型中的参数是可以通过现有的参数估计方法得到较好的推断，说明了莫顿的跳跃扩散模型的实用性。
参考文献：
[1]艾利.赫萨，萨利赫 N.内夫特奇，冉启康，葛泓杉和李君格.金融衍生工具数学导论[M].北京：机械工业出版社：2016.7，187
[2]艾利.赫萨，萨利赫 N.内夫特奇，冉启康，葛泓杉和李君格.金融衍生工具数学导论[M].北京：机械工业出版社：2016.7，130
[3]史蒂文 E.施里夫，陈启宏和陈迪华.金融随机分析第二卷连续时间模型[M].上海：上海财经大学出版社：2015.6：385
[4]Robert C.Merton.Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976.（3）：125-144
[5]Robert C.Merton.Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976.（3）：125-144
[6]王明善.关于期权定价的几个模型[D].杭州：浙江大学，2009
[7]王明好，陈忠和李丽.基于跳跃扩散利率模型的浮动利率抵押贷款支持证券定价研究[J].管理工程学报，2007，21（1）：77-82
[8]任玉超，张卫国，刘勇军和刘桂芳.期权定价中BS模型与JD模型的比较[J].系统工程，2017，35（8）：50-58
[9]黄国安，邓国和和霍海峰.跳跃扩散模型下欧式任选期权的定价[J].山西大学学报（自然科学版），2008，31（3）：438-442
[10]张静，何春雄，郭艾和刘文涛.跳跃扩散模型下亚式期权的定价[J].系统工程，2010，28（12）：96-99
[11]李素丽.跳跃扩散模型下外汇期权的定价[D].武汉：华中师范大学，2007
作者简介：
高宇（1993-），女，汉族，吉林省敦化市人，学生，金融学硕士，单位：兰州财经大学金融学院金融学专业，研究方向：风险管理.
郝森（1992-），男，汉族，河北省石家庄人，学生，金融工程学硕士，单位：兰州财经大学金融学院金融工程专业，研究方向：资产定价，风险管理.