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【摘要】课堂练习是学生在教师的指导下，依靠自觉的控制和矫正，反复地完成一定量的习题，借以巩固、复习所学知识，形成技能、技巧，发展智力、体力的课堂活动行为.而数学素养包含数学知识和技能、数学意识和思维、数学态度和价值观三个方面，所以，课堂练习安排得好自然会有助于数学素养的提高.
【关键词】课堂练习；数学素养；教材例题
俗话说：“老师靠度，学生靠悟.”数学课堂练习是师生互动的重要环节，教师要细心准备、审题，把握好题量度、难易度、综合度、阶梯度、时间长度.优秀的课堂练习必当蕴含优秀的教学理念、有效的课堂效率和新颖的形式.而相对来说，适量适度是要狠下功夫的，具体做法有：
一、改编教材例题，把阶梯搭出来——以“直线与圆的位置关系”为例
教材例1：求直线4x 3y=40和圆x2 y2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系.教材例2：自点A（-1，4）作圆（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.教材例3：求直线x-3y 23=0被圆x2 y2=4截得的弦长.
三个例题一层一层递进，从代数方法到几何方法，自然地使学生体会数形结合、转化化归等数学思想.但是例1一个题目的训练对于学生来说有点偏少，一方面，并不能训练学生对例题掌握的熟练度，另一方面，对于判断直线与圆位置关系的第二种常规几何方法即利用圆心到直线的距离与半径进行比较没有强调，因此，将例1进行扩充.例2和例3单独练习，学生只是思考了一个个点，不能把问题串起来，要在深度和广度上进行拓展，因此，将例2作为一个变式题源进行拓展，并把例3（求直线被圆截得的弦长）融入例2的变式中，增强了问题的连贯性.改编如下：
练习1：判断下列各直线l与圆C的位置关系：
（1）l：4x 3y=0，C：x2 y2=36；
（2）l：y=-x 1，C：x2 y2=25；
（3）l：4x-3y-8=0，C：x2 y2 2y=0；
（4）l：x-y-5=0，C：x2 y2-2x 4y 4=0.
练习2：自点A（-1，4）作圆（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.
变式一：若点A为（1，5）呢？
变式二：自点A（-1，4）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆（x-2）2 （y-3）2=1相切，求光线l所在直线的方程.
变式三：在变式二中，若反射光线所在直线被圆（x-2）2 （y-3）2=1截得的弦长为2515，求光线l所在直线的方程.
对于本题，点A在圆外，应该有两条切线，在教材中，不论利用哪种解法，都强调说明了当l⊥x轴时的直线与圆不相切，接着再求出的结果是两条切线的斜率都存在.在变式一中，点A（1，5）也在圆外，当l⊥x轴时的直线为x=1与圆相切，接下来再利用两种解法去解，得到的切线只有一条，为3x 4y-23=0.可见，如果不去考虑斜率不存在的情况，就会出现漏解，通过实例使学生更加明确为什么要进行分析讨论，确保完善性.变式二对直线l进行了变化，增加了对称的元素，这时可以作点A（-1，4）关于x轴的对称点（-1，-4）转化为求过点（-1，-4）的切线方程，但需要回过来求光线l的方程，因此，可以把圓对称，而把圆对称的过程只需要把圆心对称，即（2，-3），半径不变，求过A（-1，4）与对称后的圆相切的切线方程即可，马上把题目提高了一个层次，并且在变化的基础上增加点训练量.变式三也就是把教材的例3进行了融合.
评析：对教材例题作适当变式处理成为课堂练习，既达到了及时巩固的目的，又增强了问题之间的连贯性，使教学过程过渡自然，层层深入.
二、先易后难排序，把知识点巩固住——以“辅助角公式”为例
在讲解辅助角公式后，安排练习：请把下列各式化为y=Asin（α φ）（A>0）的形式.
（1）y=22sinα 22cosα；
（2）y=32sinα-12cosα；
（3）y=sinα-3cosα；
（4）y=sinα cosα；
（5）y=3sinα 4cosα；
（6）y=2sinα-3cosα；
（7）y=asinα bcosα（a，b都不0）.
这个练习的要求非常明确，在我们已经学习过的两角和与差的基础上，把y=asinα bcosα（a，b都不0）化为y=Asin（α φ）（A>0）的形式，得到辅助角公式，关键是如何找到A和φ角.（1）（2）中的数字是比较特殊的，同学们看到22，32，12就会想到特殊角π4，π6，这个φ很容易找到，逆向运用两角和与差的正弦公式，从而得到结论.
（3）（4）在（1）（2）的基础上，引导同学们往特殊角靠拢，（3）中提取一个2即可，（4）中提取一个2即可，这个φ也能找到，逆向运用两角和与差的正弦公式，从而得到结论.
（5）中部分学生会出现思维困惑，引导学生分析（3）（4）中的A，φ，而因为3，4，5是常见的勾股数，同学们可以理解应提取5，其中的cosα=35，sinα=45，即
y=3sinα 4cosα=535sinα 45cosα=5sin（α φ）（其中tanφ=43）.
（6）中虽然不存在勾股数，但在学生已经对三角函数定义理解的基础上，也就自然能理解提取22 32即13，从而得到y=2sinα-3cosα=13213sinα-313cosα=13sin（α-φ）tanφ=32.
在上面的练习的一步步铺垫下，辅助角公式就成了顺理成章的结论，同学们就能自然地理解A和φ的含义，从而得到
y=asinα bcosα=a2 b2sin（α φ）（其中tanφ=ba）. 评析：这道练习不仅培养了学生逆向思维的能力，也渗透了从特殊到一般的数学思想，成功地通过一个个台阶，把学生的思维带到了知识的最高点.
三、穷尽变式类型，把规律找出来——以“解分式不等式”为例
练习：解分式不等式x 2x-1<0.
变式一：x 2x-1≤0；
变式二：x 2x-1<2；
变式三：x 2x-1≥2；
变式四：x 5x-1>x-1.
在学习完一元二次不等式后，紧接着就要学习分式不等式的解法，解分式不等式的关键是要将其转化为整式不等式，题目本身很容易理解，只要转化为（x 2）（x-1）<0即可.
对于变式一，学生很容易认为是（x 2）（x-1）≤0，而忽略分母不能为0的要求，这时要及时引导学生进行思考：x=1成立吗？那么它的等价条件又是什么呢？从而得到（x 2）（x-1）≤0，x-1≠0.
对于变式二，应指导学生进行移项，得到结论.
对于变式三，是变式1与变式2的综合，不仅考查了移项，也考差了分母不为0的充要条件.
接下来进行总结：f（x）g（x）>0f（x）·g（x）>0，f（x）g（x）≥0f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0.
對于变式四，在变式二的基础上，学生很快就知道要移项，通分，转化为整式不等式，但在这里增加了高次不等式的元素，为下面学习高次不等式埋下伏笔，起到承上启下的作用，也对分式不等式进行了扩充.
评析：通过变式，对分式不等式有了全面的认识.
四、腾出足够时间，解透一类问题——以“解绝对值不等式”为例
练习：解绝对值不等式：x2-|x|-6<0.这道题目学生一上手就会想到分类讨论：
解法1：当x≥0时，原不等式化为x2-x-6<0，解得-2 这样做是不是有点烦琐？有没有其他的办法？引导学生将x2转化为|x|2，得到了以下解法：
解法2：将原不等式转化为|x|2-|x|-6<0，解得-2<|x|<3，因为|x|≥0，所以即为解不等式|x|<3，得到原不等式的解集为（-3，3）.
这时有同学又提出了新的思路，说为什么不画图像呢？
解法3：画出函数y=x2-|x|-6的图像，由图像得到原不等式的解集为（-3，3）.
评析：这道题目解法1是最常规的思路，但是在解这道题目时明显比较烦琐，而第2种解法直接把x2转化为|x|2，只需解一个一元二次不等式后，就转化为一个简单的绝对值不等式，第3种解法是有创造性的，利用了数形结合的思想，对这个解法要大力鼓励，在画图像时要引导学生利用分段函数的方法来画图像，也可以是利用f（x）与f（|x|）图像的关系来画.通过多种解法，把学生的思路打开，充分培养学生的思维灵活性.本题设计的主要特点是，通过简单的一题带领学生悟出解题规律，消除学生的压力感，并培养深入思考的习惯.整个解析过程用时二十分钟，在注意力集中的时效之内，让学生得到了愉快的数学体验.
【关键词】课堂练习；数学素养；教材例题
俗话说：“老师靠度，学生靠悟.”数学课堂练习是师生互动的重要环节，教师要细心准备、审题，把握好题量度、难易度、综合度、阶梯度、时间长度.优秀的课堂练习必当蕴含优秀的教学理念、有效的课堂效率和新颖的形式.而相对来说，适量适度是要狠下功夫的，具体做法有：
一、改编教材例题，把阶梯搭出来——以“直线与圆的位置关系”为例
教材例1：求直线4x 3y=40和圆x2 y2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系.教材例2：自点A（-1，4）作圆（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.教材例3：求直线x-3y 23=0被圆x2 y2=4截得的弦长.
三个例题一层一层递进，从代数方法到几何方法，自然地使学生体会数形结合、转化化归等数学思想.但是例1一个题目的训练对于学生来说有点偏少，一方面，并不能训练学生对例题掌握的熟练度，另一方面，对于判断直线与圆位置关系的第二种常规几何方法即利用圆心到直线的距离与半径进行比较没有强调，因此，将例1进行扩充.例2和例3单独练习，学生只是思考了一个个点，不能把问题串起来，要在深度和广度上进行拓展，因此，将例2作为一个变式题源进行拓展，并把例3（求直线被圆截得的弦长）融入例2的变式中，增强了问题的连贯性.改编如下：
练习1：判断下列各直线l与圆C的位置关系：
（1）l：4x 3y=0，C：x2 y2=36；
（2）l：y=-x 1，C：x2 y2=25；
（3）l：4x-3y-8=0，C：x2 y2 2y=0；
（4）l：x-y-5=0，C：x2 y2-2x 4y 4=0.
练习2：自点A（-1，4）作圆（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.
变式一：若点A为（1，5）呢？
变式二：自点A（-1，4）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆（x-2）2 （y-3）2=1相切，求光线l所在直线的方程.
变式三：在变式二中，若反射光线所在直线被圆（x-2）2 （y-3）2=1截得的弦长为2515，求光线l所在直线的方程.
对于本题，点A在圆外，应该有两条切线，在教材中，不论利用哪种解法，都强调说明了当l⊥x轴时的直线与圆不相切，接着再求出的结果是两条切线的斜率都存在.在变式一中，点A（1，5）也在圆外，当l⊥x轴时的直线为x=1与圆相切，接下来再利用两种解法去解，得到的切线只有一条，为3x 4y-23=0.可见，如果不去考虑斜率不存在的情况，就会出现漏解，通过实例使学生更加明确为什么要进行分析讨论，确保完善性.变式二对直线l进行了变化，增加了对称的元素，这时可以作点A（-1，4）关于x轴的对称点（-1，-4）转化为求过点（-1，-4）的切线方程，但需要回过来求光线l的方程，因此，可以把圓对称，而把圆对称的过程只需要把圆心对称，即（2，-3），半径不变，求过A（-1，4）与对称后的圆相切的切线方程即可，马上把题目提高了一个层次，并且在变化的基础上增加点训练量.变式三也就是把教材的例3进行了融合.
评析：对教材例题作适当变式处理成为课堂练习，既达到了及时巩固的目的，又增强了问题之间的连贯性，使教学过程过渡自然，层层深入.
二、先易后难排序，把知识点巩固住——以“辅助角公式”为例
在讲解辅助角公式后，安排练习：请把下列各式化为y=Asin（α φ）（A>0）的形式.
（1）y=22sinα 22cosα；
（2）y=32sinα-12cosα；
（3）y=sinα-3cosα；
（4）y=sinα cosα；
（5）y=3sinα 4cosα；
（6）y=2sinα-3cosα；
（7）y=asinα bcosα（a，b都不0）.
这个练习的要求非常明确，在我们已经学习过的两角和与差的基础上，把y=asinα bcosα（a，b都不0）化为y=Asin（α φ）（A>0）的形式，得到辅助角公式，关键是如何找到A和φ角.（1）（2）中的数字是比较特殊的，同学们看到22，32，12就会想到特殊角π4，π6，这个φ很容易找到，逆向运用两角和与差的正弦公式，从而得到结论.
（3）（4）在（1）（2）的基础上，引导同学们往特殊角靠拢，（3）中提取一个2即可，（4）中提取一个2即可，这个φ也能找到，逆向运用两角和与差的正弦公式，从而得到结论.
（5）中部分学生会出现思维困惑，引导学生分析（3）（4）中的A，φ，而因为3，4，5是常见的勾股数，同学们可以理解应提取5，其中的cosα=35，sinα=45，即
y=3sinα 4cosα=535sinα 45cosα=5sin（α φ）（其中tanφ=43）.
（6）中虽然不存在勾股数，但在学生已经对三角函数定义理解的基础上，也就自然能理解提取22 32即13，从而得到y=2sinα-3cosα=13213sinα-313cosα=13sin（α-φ）tanφ=32.
在上面的练习的一步步铺垫下，辅助角公式就成了顺理成章的结论，同学们就能自然地理解A和φ的含义，从而得到
y=asinα bcosα=a2 b2sin（α φ）（其中tanφ=ba）. 评析：这道练习不仅培养了学生逆向思维的能力，也渗透了从特殊到一般的数学思想，成功地通过一个个台阶，把学生的思维带到了知识的最高点.
三、穷尽变式类型，把规律找出来——以“解分式不等式”为例
练习：解分式不等式x 2x-1<0.
变式一：x 2x-1≤0；
变式二：x 2x-1<2；
变式三：x 2x-1≥2；
变式四：x 5x-1>x-1.
在学习完一元二次不等式后，紧接着就要学习分式不等式的解法，解分式不等式的关键是要将其转化为整式不等式，题目本身很容易理解，只要转化为（x 2）（x-1）<0即可.
对于变式一，学生很容易认为是（x 2）（x-1）≤0，而忽略分母不能为0的要求，这时要及时引导学生进行思考：x=1成立吗？那么它的等价条件又是什么呢？从而得到（x 2）（x-1）≤0，x-1≠0.
对于变式二，应指导学生进行移项，得到结论.
对于变式三，是变式1与变式2的综合，不仅考查了移项，也考差了分母不为0的充要条件.
接下来进行总结：f（x）g（x）>0f（x）·g（x）>0，f（x）g（x）≥0f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0.
對于变式四，在变式二的基础上，学生很快就知道要移项，通分，转化为整式不等式，但在这里增加了高次不等式的元素，为下面学习高次不等式埋下伏笔，起到承上启下的作用，也对分式不等式进行了扩充.
评析：通过变式，对分式不等式有了全面的认识.
四、腾出足够时间，解透一类问题——以“解绝对值不等式”为例
练习：解绝对值不等式：x2-|x|-6<0.这道题目学生一上手就会想到分类讨论：
解法1：当x≥0时，原不等式化为x2-x-6<0，解得-2
解法2：将原不等式转化为|x|2-|x|-6<0，解得-2<|x|<3，因为|x|≥0，所以即为解不等式|x|<3，得到原不等式的解集为（-3，3）.
这时有同学又提出了新的思路，说为什么不画图像呢？
解法3：画出函数y=x2-|x|-6的图像，由图像得到原不等式的解集为（-3，3）.
评析：这道题目解法1是最常规的思路，但是在解这道题目时明显比较烦琐，而第2种解法直接把x2转化为|x|2，只需解一个一元二次不等式后，就转化为一个简单的绝对值不等式，第3种解法是有创造性的，利用了数形结合的思想，对这个解法要大力鼓励，在画图像时要引导学生利用分段函数的方法来画图像，也可以是利用f（x）与f（|x|）图像的关系来画.通过多种解法，把学生的思路打开，充分培养学生的思维灵活性.本题设计的主要特点是，通过简单的一题带领学生悟出解题规律，消除学生的压力感，并培养深入思考的习惯.整个解析过程用时二十分钟，在注意力集中的时效之内，让学生得到了愉快的数学体验.