活用导数 巧解函数

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  2007年考试大纲对导数明确要求:理解导数的几何意义,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间,会用导数求不超过三次的多项式函数的极值与最值,体会导数在解决实际问题中的应用.从而可以看出导数作为目前高考的一个热点内容,在文理科试题中都占有重要地位.对于导数的考查主要集中在导数几何意义,函数单调性,极值与最值四个方面,所考察题目除了上述四种类型外,还涉及不等式证明,恒成立问题,方程根的讨论问题及以导数的为载体的三次函数综合问题,主要热点题型有以下几种:
  
  一、利用导数研究曲线的切线问题
  
  例1 函数y=ax2+1的图象直线y=x相切,则a= .
  A.B.C.D.1
  解:(方法一)y=ax2+1 ①
  y=x ② ②代入①得ax2-x+1=0(a≠0)
  ∵直线y=x与y=ax2+1的图象相切
  ∴Δ=1-4a=0 ∴a=
  (方法二)设切点为(x0,ax20+1),由于y′=2ax故
  2ax0=1
  ax20+1=x0 解得 x0=2
  a=故选B.
  例2 曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是.
  解:y=x3-2x2-4x+2 ∴y′=3x2-4x-4
  ∴3×12-4×1-4=-5
  ∴切线方程为y+3=-5(x-1),即:5x+y-2=0.
  例3 曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
  A. e2 B.2e2 C.e2 D.
  解:∵y′=ex ∴点(2,e2)处的切线方程为:y-e2=e2(x-2)
  令x=0得y=-e2,令y=0得x=1
  ∴所围三角形的面积为: ×1×|-e2|= ,故选D.
  点评:利用导数求曲线的切线方程是新课程高考常考内容,题目以选择填空为主,在这类问题中,导数的作用是求切线的斜率,若有坐标,一定要注意点是否为切点,防止错误.
  
  二、利用导数研究函数的单调性
  
  例4 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)其中a≥-1,求f(x)的单调区间.
  解:由已知得函数f(x)的定义域为(-1,+∞),且f′(x)= (a≥-1),
   (1)当-1≤a≤0,由f′(x)<0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
   (2)当a>0时,由f′(x)=0,解得x= .
  f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
  
  从上表可知
  当x∈(-1, )时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1, )上单调递减,
  当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在( ,+∞)上单调递增.
  综上所述:
  当-1≤a≤0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
  当a>0时,函数f(x)在(-1, )上单调递减,函数f(x)在(-1, )上单调递增.
  例5 设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0,当b> 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性.
  解:由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)=2x+ =
  设g(x)=2x2+2x+b,其图象的对称轴为x=- ∈(-1,+∞),
  ∴g(x)min=g(- )=- +b.
  当b> 时,g(x)min=- +b>0,
  即g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立,
  ∴当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0.
  ∴当b> 时,函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增.
  例6 已知函数y=xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中的y=f(x)图象大致是
  ()
  
  解:由y=xf′(x)的图象可知,当x∈(-∞,-1)∪(0,1)时, xf′(x)<0即当x∈(-∞,-1)时f′(x)>0,当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(-1,0)∪(1,+∞)时,xf′(x)<0即当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以y=f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,故选C.
  点评:一般地,涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助导数这一重要工具进行求解.一般说来,这类问题有两个层次,第一是利用导数求单调区间,第二是根据单调性求参数范围,此类问题需注意单调区间端点处取值,一般说来,f′(x)>0 f(x)单增,f(x)单增 f′(x)≥0.
  
  三、利用导数研究函数的极值与最值
  
  例7 已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m= .
  解:由题意可知,f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x=2,x=-2显然在区间[-3,3]上,在x=2与x=-2两侧导数值异号,所以极大值为f(-2)=24,极小值为f(2)=-8.又f(-3)=17f(3)=-1,所以M=24,m=-8,故M-m=32.
  例8 设函数f′(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
  (Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
  (Ⅱ)证明对任意的正整数n,不等式ln( +1)> - 都成立.
  解:(Ⅰ)见例5.
  (Ⅱ)①由(Ⅰ)得:当b> 时,函数f(x)无极值点.
  ②b= 时,f′(x)= =0有两个相同的解x=- ,
  ∵x∈(-1,- )时,f′(x)>0,x∈(- ,+∞)时,f′(x)>0,
  ∴b= 时,函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点.
  ③当b< 时,f′(x)=0有两个不同解,x1= ,x2= .
  ∵b<0时,x1= <-1,x2= >-1.
  即x1 (-1,+∞),x2(-1,+∞).
  ∴b<0时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
  
  由此表可知:b<0时,f(x)有惟一极小值点x2= ;
  当0-1
  ∴x1、x2∈(-1,+∞),
  此时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
  
  由此表可知:0  综上所述,当b<0时,f(x)有惟一极小值点x= ;
  当0  (Ⅲ)当b=-1时,函数f(x)=x2-ln(x+1),
  令函数h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),
  则h′(x)=3x2-2x+ = .
  ∴当x∈[0,+∞)时,h′(x)>0,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,又h(0)=0,
  ∴x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0,即x3-x2+ln(x+1)>0恒成立,故当x∈(0,+∞)时,有ln(x+1)>x2-x3.
  对任意正整数n,取x= ∈(0,+∞),则有ln( +1)> - ,所以结论成立.
  点评:在求极值时,不仅要求出使f′(x)=0的所有x的值,还要注意检测f′(x)在x0左右两侧的符号,才能确定它是否为极值点,以及是极大值还是极小值.在求函数y=f(x)在[a,b]上的最值时,先求出f(x)在(a,b)内的极值,然后将f(x)各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者为最大值,最小者为最小值,这类问题往往考查分类讨论思想,f(x)在x0处取得极值的必要条件也是考查的一个热点.
  
  四、函数不等式与导数的综合
  
  例9 已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又f′( )= .
  (Ⅰ)求f(x)的解析式;
  (Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.
  解:(Ⅰ)f′(x)=3ax2+2bx+c,由已知f′(0)=f′(1)=0,
  即c=0,
  3a+2b+c=0, 解得c=0,
  b=- a.
  ∴f′(x)=3ax2-3ax,∴f′( )= - = ,∴a=-2,
  ∴f(x)=-2x3+3x2.
  (Ⅱ)令f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0,
  ∴x(2x-1)(x-1)≥0,∴0≤x≤ 或x≥1.
  又f(x)≤x在区间[0,m]上恒成立,∴0  点评:将函数不等式方程与导数综合起来,能更深入地考查学生把握基础知识,综合运用知识的能力,所遇到题目以三次函数较常见,通过求导转化为二次函数,二次函数中一些特点性质就能应用其中了.
  
  注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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