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问题是数学的心脏，数学问题解决的能力是数学素质教育的重要体现。学生问题解决的水平也是衡量教学效果的标准之一。学生学会了什么，学到什么程度，问题解决是最方便最有效的检查手段。目前的各种考试也还都是通过解题来衡量，评判学业成绩的，要获得解题成功，不仅需要扎实的基础知识，熟练的基本技能，还需要良好的心理素质。本文根据学生问题解决的心理历程和各阶段所表现的积极心理和消极心理，探讨如何提高学生解决数学问题的能力。
一、 问题解决的心理历程
1.认知课题
认知课题是解决问题的起始环节和基础。
认知课题，应全面了解课题中的所有有用信息，全面地把握课题，一般要经过整体→部分→整体的认知过程。
2.表征课题
通过对课题的认知与理解，在对课题进行编码的基础上，在头脑中形成课题的条件与问题的初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临的任务、环境信息的另一种心理形式在心理活动中的表现和记载，也是个体进行问题解决时所加工的对象。
3.联想与匹配
解决问题总是要依赖过去的知识经验。但人们在解决某一具体问题时，并不与人所有的知识经验完全相关，而只是与长时记忆中贮存的某些信息有关。因此，获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。
4.反思结果
反思结果包含两层意思，一是指对获得结果的整个思维过程进行检查，检验推理是否合理、答案是否正确。二是每解决一个问题后，应反思从该课题可得出哪些经验与教训，值得以后借鉴。
二、 问题解决各阶段所表现的心理现象
在问题解决时存在多种多样的心理现象。可概括为两大类，一类是有利于问题解决的积极心理现象，如好奇、自信、独创、愉悦等心理；另一类是不利于问题解决的心理现象，如自卑、畏惧、厌烦、紧张、急躁、惰性、侥幸等心理。这些现象在问题解决过程中有着不同的表现特征。
1.在问题解决的准备阶段（认知问题和表征课题阶段），积极的心理现象表现为：学生对问题充满好奇心和解决数学问题的信心，精力集中，心情平和，能认真的审题，并和已有知识联系，进行类比，联想，从中寻找与之有关的信息和方法，积极探索解题途径。而消极的心理是对面临的问题紧张，慌乱，畏难，对能否解决问题没有信心。表现为不能认真的审题，不能全面的进行分析，急于推演，思维呆板，易受思维定势的影响。
2.在问题解决的实施阶段（即联想与匹配阶段），积极的心理现象表现为：联想广泛，思维发散，推理严谨，思考缜密，表述条理清晰，对问题解决感到愉悦、兴奋；而消极的心理表现为思考不周，推理无据，表述不清，逻辑混乱。并且打不开思路，不能进行发散思维、广泛联想。出现情绪沮丧，低沉，失去解决问题的信心和勇气。
3.在问题解决后的反思阶段，积极的心理现象表现为：能够认真检查解决问题的过程，对所得结论能用不同的方法加以验证，并能思考能否将方法简化，是否有其他的方法，这种方法是否适合这类题目，所得结论是否可以加强，是否具有普遍性。而消极的心理现象表现为：忽视解决问题后的检验和总结，不思考，为作题而作题。
由此可见，在解决问题时，不同的心理现象对问题的解决产生重要的影响。要提高学生解决数学问题的能力，必须针对学生容易产生的消极心理给予积极指导，培养他们积极良好的心理品质，克服消极心理对学习的影响。
三、 相应措施
1.加强解题策略的指导
（1）弄清问题
审题时，必须搞清楚未知是什么，已知是什么，条件是什么，满足条件是否可能。要确定未知，条件是否充分。或者它是否不充分，或者是多余的，或者是矛盾的，其中关键的事实是什么。从而摆脱具体的数据，抽象为一般的数量关系或结构，这样才能够正确的认知课题。
（2）集中目标
解题是一种有明确目的的活动，在解题过程中都应集中目标，始终关注到要求的是什么，自己现有的可以用来达到目的的东西有哪些。
（3）途径
从已知出发能推出些什么，或从结论出发寻求结论成立的充分条件。
（4）调动有关知识
考察那些最有可能与目前的问题有联系的知识。通过类比、联想，采用相似思考法，考虑以前是否有一个具有同样类型未知量的问题，或在某些因素上有共同点的问题，即要弄清楚该问题是哪类问题，它与某个已知的问题是否有关，是否知道或能不能设想出一个更一般或更特殊的问题。
（5）摆脱困境
①若陷入了枝节问题，或是受到了毫不相干材料的拖累而造成的，这就应回到问题最原始的构思上去，重新去考察未知量、已知量和条件、或者假设和结论。
②回到定义去。
③对问题进行变形。改变问题的提问方式或已知的表述方式，或寻找与之等价的问题，使已有的东西和未知的东西更加接近。
2.培养学生的探索和创新精神
在数学学习中常表现出两种不同的水平，一种是再造性学习，即按照一定模式完成学习活动；另一种是创造性学习，即独立地、创造性地掌握知识，如独立推导公式和进行定理的证明，对知识有独自深刻的理解，能灵活地、独立地运用已有知识解决新问题或做出某一新的发现。而创造性思维能力又并非一种独立的特殊能力，它是在一定的知识结构基础上以发散思维能力为核心、集中思维能力为支柱的诸能力的最优组合。
（1）培养学生的发散思维能力
发散思维是指从同一信息源出发，运用已掌握的知识进行放射性联想，使思维朝着各个方向展开，从多渠道寻求问题解答的一种思维方式，是一种良好的思维品质。可采用如下途径：同中求异，如一题多问、一题多解、一式多变；同中求变，即通过问题的转化、变更和改造使问题化繁为简、化难为易，如用解析法求证平面几何题，用代数知识解决几何题等；思考受阻，立即转向，当解决数学问题的思路在某一方向受阻而前进困难时，就得马上转向另一个方向，采取多渠道的构思或反过来从已有的思路的反方向去考虑和思索问题，即采用逆向思维的方法，从而提高发散思维的变通性。
（2）培养学生的形象思维和抽象思维能力
前苏联克鲁切茨基的研究表明：使数学材料形式化，即从数学内容中抽象出形式是数学的能力的基本成分之一。在解题中，学生容易受到具体形式或内容的干扰，不能从具体问题中抽象模式或不能把抽象模式具体化，具体问题和抽象模式之间联系渠道不畅是学生解题困难的主要原因。在教学中，通过变式练习把抽象问题具体化，通过同形不同质或同质不同形的问题的比较，归纳提炼为抽象模式。
探索创新是一种良好的心理品质，在教学中教师应当积极引导和鼓励学生积极提出问题，调动学生多想多问的积极性，对学生在解决问题时采用的非常规形式和具有创新的思维方法要及时给予评价和表扬。即使非常规方法有误，一般也不要终止学生的解答，否则会压抑学生的探索与创新精神，教师要为此营造氛围，使学生积极思考，踊跃提问。
3.提高元认知水平
在解题过程中，事实上同时存在有两种不同的思维过程，即具体的知识过程和更高层次的元认知过程。元认知水平的高低也是决定人们解决问题能力大小的一个十分重要的因素。要提高元认知水平，就得让学生学会“调节”。“调节”是指解题者对于自身所从事的解题活动(包括解题策略的选择，整个过程的组织，目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整。如在选择解题途径前，对各种可能性都作了仔细的考虑，在解体过程中要心中有数，知道自己在干什么和为什么要这么干，并能对目前的处境作出清醒的评估，并由此作出必要的调整。若出现错误，力图从中吸取有益的成分。
4.培养反思的习惯
在问题解决结束后，要对解题过程进行回顾总结。找出问题解决过程中的主要困难及关键，自己是怎样寻找思路的；看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除合并体现简洁美，找到最优解决方法；是否可以用更一般的原理取代现存的许多步骤，提高整个解题的思维层次；解题过程中有哪些技巧值得借鉴，可吸取什么样的教训；概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便推广到同一类型的问题。
5.培养学生坚强的意志品质
在学习中，确立好目标，下决心克服困难、努力学习的心理活动称为意志。数学的学习过程比其他一些学科更需要学生有坚强的意志能力，更需要有专一的心理素质。认知科学主要着眼于所谓的“认知(智力)因素”，但是，情感、意志、情绪等非智力因素对于人们的解题活动显然也有十分重要的影响。波利亚指出：一个你已经很好了解并应该去做的问题还不能说就是你的问题，只有当你愿意去解它，下决心去做它，他才真正变成了你的问题。你卷进问题的深浅程度将取决于你解它的愿望的殷切程度，除非你有十分强烈的愿望，否则要解出一个真正的难题的可能性是很小的。一个好的解题者应能做到胜不骄，败不馁，在顺利时善于发现隐性的错误，在困难时坚持不懈，并能在必要的时候大胆地否定自己。
锻炼意志品质的主要途径：适当提高学习的困难程度，让学生处于逆境之中，相互竞争。让学生在竞争中体会到劣势；对一题寻求多种解法，比赛谁的解法多，谁的更新颖，更简洁。上述做法是让学生真切地体会到压力，让学生面临困难和挫折。此时教师要不停地鼓励、适当地提示，让学生采取宽容的态度，提高认识，正确归因，让学生想方设法克服困难，培养学生在困难面前不低头、失败之下不气馁的优秀品质。通过多次这样的训练，学生在解决数学问题获得成功之后，不仅他们的意志能力增强了，而且还能使他们从中看到自己克服困难、解决问题的能力，认识到自己的力量，增强了自信心。
综上所述，在数学教学中，仅有精深的专业知识是不够的。一个优秀的数学教师，必须要有心理学知识为指导，洞悉学生心理。在教学中，减小甚至克服消极的心理因素给学生的不良影响，充分调动积极的因素，通过对解题策略的指导，训练他们的思维技巧，培养反思的习惯，增强意志品质，提高学生解决数学问题的能力。
（责任编辑刘永庆）
一、 问题解决的心理历程
1.认知课题
认知课题是解决问题的起始环节和基础。
认知课题，应全面了解课题中的所有有用信息，全面地把握课题，一般要经过整体→部分→整体的认知过程。
2.表征课题
通过对课题的认知与理解，在对课题进行编码的基础上，在头脑中形成课题的条件与问题的初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临的任务、环境信息的另一种心理形式在心理活动中的表现和记载，也是个体进行问题解决时所加工的对象。
3.联想与匹配
解决问题总是要依赖过去的知识经验。但人们在解决某一具体问题时，并不与人所有的知识经验完全相关，而只是与长时记忆中贮存的某些信息有关。因此，获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。
4.反思结果
反思结果包含两层意思，一是指对获得结果的整个思维过程进行检查，检验推理是否合理、答案是否正确。二是每解决一个问题后，应反思从该课题可得出哪些经验与教训，值得以后借鉴。
二、 问题解决各阶段所表现的心理现象
在问题解决时存在多种多样的心理现象。可概括为两大类，一类是有利于问题解决的积极心理现象，如好奇、自信、独创、愉悦等心理；另一类是不利于问题解决的心理现象，如自卑、畏惧、厌烦、紧张、急躁、惰性、侥幸等心理。这些现象在问题解决过程中有着不同的表现特征。
1.在问题解决的准备阶段（认知问题和表征课题阶段），积极的心理现象表现为：学生对问题充满好奇心和解决数学问题的信心，精力集中，心情平和，能认真的审题，并和已有知识联系，进行类比，联想，从中寻找与之有关的信息和方法，积极探索解题途径。而消极的心理是对面临的问题紧张，慌乱，畏难，对能否解决问题没有信心。表现为不能认真的审题，不能全面的进行分析，急于推演，思维呆板，易受思维定势的影响。
2.在问题解决的实施阶段（即联想与匹配阶段），积极的心理现象表现为：联想广泛，思维发散，推理严谨，思考缜密，表述条理清晰，对问题解决感到愉悦、兴奋；而消极的心理表现为思考不周，推理无据，表述不清，逻辑混乱。并且打不开思路，不能进行发散思维、广泛联想。出现情绪沮丧，低沉，失去解决问题的信心和勇气。
3.在问题解决后的反思阶段，积极的心理现象表现为：能够认真检查解决问题的过程，对所得结论能用不同的方法加以验证，并能思考能否将方法简化，是否有其他的方法，这种方法是否适合这类题目，所得结论是否可以加强，是否具有普遍性。而消极的心理现象表现为：忽视解决问题后的检验和总结，不思考，为作题而作题。
由此可见，在解决问题时，不同的心理现象对问题的解决产生重要的影响。要提高学生解决数学问题的能力，必须针对学生容易产生的消极心理给予积极指导，培养他们积极良好的心理品质，克服消极心理对学习的影响。
三、 相应措施
1.加强解题策略的指导
（1）弄清问题
审题时，必须搞清楚未知是什么，已知是什么，条件是什么，满足条件是否可能。要确定未知，条件是否充分。或者它是否不充分，或者是多余的，或者是矛盾的，其中关键的事实是什么。从而摆脱具体的数据，抽象为一般的数量关系或结构，这样才能够正确的认知课题。
（2）集中目标
解题是一种有明确目的的活动，在解题过程中都应集中目标，始终关注到要求的是什么，自己现有的可以用来达到目的的东西有哪些。
（3）途径
从已知出发能推出些什么，或从结论出发寻求结论成立的充分条件。
（4）调动有关知识
考察那些最有可能与目前的问题有联系的知识。通过类比、联想，采用相似思考法，考虑以前是否有一个具有同样类型未知量的问题，或在某些因素上有共同点的问题，即要弄清楚该问题是哪类问题，它与某个已知的问题是否有关，是否知道或能不能设想出一个更一般或更特殊的问题。
（5）摆脱困境
①若陷入了枝节问题，或是受到了毫不相干材料的拖累而造成的，这就应回到问题最原始的构思上去，重新去考察未知量、已知量和条件、或者假设和结论。
②回到定义去。
③对问题进行变形。改变问题的提问方式或已知的表述方式，或寻找与之等价的问题，使已有的东西和未知的东西更加接近。
2.培养学生的探索和创新精神
在数学学习中常表现出两种不同的水平，一种是再造性学习，即按照一定模式完成学习活动；另一种是创造性学习，即独立地、创造性地掌握知识，如独立推导公式和进行定理的证明，对知识有独自深刻的理解，能灵活地、独立地运用已有知识解决新问题或做出某一新的发现。而创造性思维能力又并非一种独立的特殊能力，它是在一定的知识结构基础上以发散思维能力为核心、集中思维能力为支柱的诸能力的最优组合。
（1）培养学生的发散思维能力
发散思维是指从同一信息源出发，运用已掌握的知识进行放射性联想，使思维朝着各个方向展开，从多渠道寻求问题解答的一种思维方式，是一种良好的思维品质。可采用如下途径：同中求异，如一题多问、一题多解、一式多变；同中求变，即通过问题的转化、变更和改造使问题化繁为简、化难为易，如用解析法求证平面几何题，用代数知识解决几何题等；思考受阻，立即转向，当解决数学问题的思路在某一方向受阻而前进困难时，就得马上转向另一个方向，采取多渠道的构思或反过来从已有的思路的反方向去考虑和思索问题，即采用逆向思维的方法，从而提高发散思维的变通性。
（2）培养学生的形象思维和抽象思维能力
前苏联克鲁切茨基的研究表明：使数学材料形式化，即从数学内容中抽象出形式是数学的能力的基本成分之一。在解题中，学生容易受到具体形式或内容的干扰，不能从具体问题中抽象模式或不能把抽象模式具体化，具体问题和抽象模式之间联系渠道不畅是学生解题困难的主要原因。在教学中，通过变式练习把抽象问题具体化，通过同形不同质或同质不同形的问题的比较，归纳提炼为抽象模式。
探索创新是一种良好的心理品质，在教学中教师应当积极引导和鼓励学生积极提出问题，调动学生多想多问的积极性，对学生在解决问题时采用的非常规形式和具有创新的思维方法要及时给予评价和表扬。即使非常规方法有误，一般也不要终止学生的解答，否则会压抑学生的探索与创新精神，教师要为此营造氛围，使学生积极思考，踊跃提问。
3.提高元认知水平
在解题过程中，事实上同时存在有两种不同的思维过程，即具体的知识过程和更高层次的元认知过程。元认知水平的高低也是决定人们解决问题能力大小的一个十分重要的因素。要提高元认知水平，就得让学生学会“调节”。“调节”是指解题者对于自身所从事的解题活动(包括解题策略的选择，整个过程的组织，目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整。如在选择解题途径前，对各种可能性都作了仔细的考虑，在解体过程中要心中有数，知道自己在干什么和为什么要这么干，并能对目前的处境作出清醒的评估，并由此作出必要的调整。若出现错误，力图从中吸取有益的成分。
4.培养反思的习惯
在问题解决结束后，要对解题过程进行回顾总结。找出问题解决过程中的主要困难及关键，自己是怎样寻找思路的；看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除合并体现简洁美，找到最优解决方法；是否可以用更一般的原理取代现存的许多步骤，提高整个解题的思维层次；解题过程中有哪些技巧值得借鉴，可吸取什么样的教训；概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便推广到同一类型的问题。
5.培养学生坚强的意志品质
在学习中，确立好目标，下决心克服困难、努力学习的心理活动称为意志。数学的学习过程比其他一些学科更需要学生有坚强的意志能力，更需要有专一的心理素质。认知科学主要着眼于所谓的“认知(智力)因素”，但是，情感、意志、情绪等非智力因素对于人们的解题活动显然也有十分重要的影响。波利亚指出：一个你已经很好了解并应该去做的问题还不能说就是你的问题，只有当你愿意去解它，下决心去做它，他才真正变成了你的问题。你卷进问题的深浅程度将取决于你解它的愿望的殷切程度，除非你有十分强烈的愿望，否则要解出一个真正的难题的可能性是很小的。一个好的解题者应能做到胜不骄，败不馁，在顺利时善于发现隐性的错误，在困难时坚持不懈，并能在必要的时候大胆地否定自己。
锻炼意志品质的主要途径：适当提高学习的困难程度，让学生处于逆境之中，相互竞争。让学生在竞争中体会到劣势；对一题寻求多种解法，比赛谁的解法多，谁的更新颖，更简洁。上述做法是让学生真切地体会到压力，让学生面临困难和挫折。此时教师要不停地鼓励、适当地提示，让学生采取宽容的态度，提高认识，正确归因，让学生想方设法克服困难，培养学生在困难面前不低头、失败之下不气馁的优秀品质。通过多次这样的训练，学生在解决数学问题获得成功之后，不仅他们的意志能力增强了，而且还能使他们从中看到自己克服困难、解决问题的能力，认识到自己的力量，增强了自信心。
综上所述，在数学教学中，仅有精深的专业知识是不够的。一个优秀的数学教师，必须要有心理学知识为指导，洞悉学生心理。在教学中，减小甚至克服消极的心理因素给学生的不良影响，充分调动积极的因素，通过对解题策略的指导，训练他们的思维技巧，培养反思的习惯，增强意志品质，提高学生解决数学问题的能力。
（责任编辑刘永庆）