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摘要:变更主元法体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系. 本文用这种方法证明了一个引理并通过几道例题从三个方面说明了它在解题中的应用,以达到开拓学生的思维空间,优化学生的思维品质,提高学生的解题能力.
关键词:变更主元法;化归的数学思想;应用
在文献【1】中,汤正谊老师为了证明华罗庚留给读者证明的两个不等式,独具匠心地构造并证明了如下引理, 笔者读后很受启发. 现给出这个引理的另一种证法——变更主元法.
引理:设x≥u≥0,则有16(x-u)≤(1+3x)2-12u.
分析要证当x≥u≥0时,有16(x-u)≤(1+3x)2-12u成立,
即证当x≥u≥0时,16(x-u)-(1+3x)2+12u≤0…(1)成立.
设f(u)=16(x-u)-(1+3x)2+12u,0≤u≤x,
f ′(u)=16•••(-1)+12= -24+12 .
若0≤x≤, f ′(u)≥0,则f(u)在[0,x]上单调递增,
因此由0≤u≤x,得到f(u)≤f(x)=12x-(1+3x)2=-(3x-1)2≤0,
从而知,0≤x≤时,不等式(1)成立.
若x>,令f ′(u)=0,可得方程-24+12=0,即u=x-.
从下表即知f(u)≤max((f(0),f(x)). 对于f(x),由上面知道,
f(x)=-(3x-1)2≤0,再算f(0).
f(0)=16x-(1+3x)2.
要证不等式(1)成立,即证f(0)≤0即证(1+3x)2≥16x,x≥0…(2).
证明因为x≥0,所以不等式(2)等价于1+3x≥4x.
又1+3x=1+x+2x≥2+2x=2(+x)≥2•2=4x.
当且仅当x=1时取“=”. 所以f(u)≤max((f(0),f(x))≤0.
综上可知,无论0≤x≤或x>,只要0≤u≤x,恒有f(u)≤0,
即有(1)式成立,从而引理得证.
注:在含有n个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元. 在某些特定条件下,我们若能变更主元,转移变元在问题中的地位,可使解题简单易行. 以上的解法中我们实际上是把u作为自变量x作为常量来求解. 这种“反客为主”的求解法,称为变更主元法. 它体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系.
下面我们通过几道例题,在教学中引导学生适当渗透这种“反客为主”的求解法,以达到开拓学生的思维空间,优化学生的思维品质,提高学生的解题能力.
变更主元位置,简化复杂计算
例1若f(x)=(a-1)logx-6alog3x+a+1在a∈[0,1]时恒为正数,求实数x的取值范围.
分析本题形式上是关于log3x的二次函数,如果用换元的方法去讨论,明显较繁.若能变更主元把原函数看成是关于a的一次函数,问题便迎刃而解了.
解设关于a的函数
g(a)=(a-1)logx-6alog3x+a+1
=(logx-6log3x+1)a-logx+1,
原问题即为当a∈[0,1]时,g(a)>0恒成立,
即只需满足g(0)>0,g(1)>0
?圯-logx+1>0-6log3x+2>0?圯-1 评注本题的解法侧重于对题意等价地“改头换面”,更直截了当地把握了问题的本质.
变更主元位置,回避复杂讨论
例2已知方程ax2-2(a-3)x+a-2=0 (其中a为负整数),试求使此方程的解至少有一个为整数时的a值.
分析按常规思路,先求出方程的解. x=再对参数a分情况讨论,找出满足条件的a值,但十分复杂. 如果对换原方程中x和a的地位,把a视为主元,用x来表示a,情况将如何呢?
解由方程ax2-2(a-3)x+a-2=0得?摇 a=,
要使a为负整数,必须(x-1)2≤-(2-6x),即x2-8x+3≤0,
解不等式得4-≤x≤4+,所以x允许值为2,3,4,5,6,7.
求出合题意的a=-10或a=-4.
注:在解决数学问题时,以辩证的观点为指导,把常量变换为变量问题,在变化中实现问题解决.
变更主元位置,寻求解题新视角
例3设a,b是两个实数,A={(x,y)x=n,y=na+b,n∈Z｝,B={(x,y)x=m,y=3m2+15,m∈Z｝,C={(x,y)x2+y2≤144｝,是否存在a,b,使得(1)A∩B≠,(2)(a,b)∈C同时成立?
解法一假设存在(x,y)∈A∩B,则相应的直线y=ax+b与抛物线y=3x2+15有公共点,即y=ax+b,y=3x2+15,得3x2+15=ax+b(视x为变量,a,b为常量),Δ=a2-12(15-b)≥0,即-a2≤12b-180,又x2+y2≤144,两不等式相加得b2≤12b-36,即(b-6)2≤0. 故b=6.
把b=6代入得a2≥108与a2≤108,所以a=6或a=-6.
再代入原方程得3x2±6x+9=0,解得x=±?埸Z,
所以a,b不存在.
解法二对于式子3x2+15=ax+b,即ax+b-(3x2+15)=0(若我们视a,b为变量,x为常量),则式子ax+b-(3x2+15)=0可看作以a,b为变量的直线方程.
又因为(a,b)∈C,即a2+b2≤144也可看作以a,b为变量的圆及圆内的点.
此直线与圆的位置关系,圆心到直线的距离d==3+≥12, 当且仅当=,
即x=±时取等号,而x∈Z且±?埸Z,所以a,b不存在.
注:由此看出选a,b为变量,x为常量同样可以找出一种很好的解法解决此题. 如何设定主元,需要较强的思维能力,选定主元后,应有利于用方程或函数思想使问题得到解决.
恩格斯指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学.” 因此,变数的数学必然要生动地体现客观自然界的辩证法. 在涉及读者变数的问题中,如果我们能恰当地选定这个“变数”——主元,则往往能使问题迎刃而解,恰到好处,收到事半功倍的效果.
关键词:变更主元法;化归的数学思想;应用
在文献【1】中,汤正谊老师为了证明华罗庚留给读者证明的两个不等式,独具匠心地构造并证明了如下引理, 笔者读后很受启发. 现给出这个引理的另一种证法——变更主元法.
引理:设x≥u≥0,则有16(x-u)≤(1+3x)2-12u.
分析要证当x≥u≥0时,有16(x-u)≤(1+3x)2-12u成立,
即证当x≥u≥0时,16(x-u)-(1+3x)2+12u≤0…(1)成立.
设f(u)=16(x-u)-(1+3x)2+12u,0≤u≤x,
f ′(u)=16•••(-1)+12= -24+12 .
若0≤x≤, f ′(u)≥0,则f(u)在[0,x]上单调递增,
因此由0≤u≤x,得到f(u)≤f(x)=12x-(1+3x)2=-(3x-1)2≤0,
从而知,0≤x≤时,不等式(1)成立.
若x>,令f ′(u)=0,可得方程-24+12=0,即u=x-.
从下表即知f(u)≤max((f(0),f(x)). 对于f(x),由上面知道,
f(x)=-(3x-1)2≤0,再算f(0).
f(0)=16x-(1+3x)2.
要证不等式(1)成立,即证f(0)≤0即证(1+3x)2≥16x,x≥0…(2).
证明因为x≥0,所以不等式(2)等价于1+3x≥4x.
又1+3x=1+x+2x≥2+2x=2(+x)≥2•2=4x.
当且仅当x=1时取“=”. 所以f(u)≤max((f(0),f(x))≤0.
综上可知,无论0≤x≤或x>,只要0≤u≤x,恒有f(u)≤0,
即有(1)式成立,从而引理得证.
注:在含有n个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元. 在某些特定条件下,我们若能变更主元,转移变元在问题中的地位,可使解题简单易行. 以上的解法中我们实际上是把u作为自变量x作为常量来求解. 这种“反客为主”的求解法,称为变更主元法. 它体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系.
下面我们通过几道例题,在教学中引导学生适当渗透这种“反客为主”的求解法,以达到开拓学生的思维空间,优化学生的思维品质,提高学生的解题能力.
变更主元位置,简化复杂计算
例1若f(x)=(a-1)logx-6alog3x+a+1在a∈[0,1]时恒为正数,求实数x的取值范围.
分析本题形式上是关于log3x的二次函数,如果用换元的方法去讨论,明显较繁.若能变更主元把原函数看成是关于a的一次函数,问题便迎刃而解了.
解设关于a的函数
g(a)=(a-1)logx-6alog3x+a+1
=(logx-6log3x+1)a-logx+1,
原问题即为当a∈[0,1]时,g(a)>0恒成立,
即只需满足g(0)>0,g(1)>0
?圯-logx+1>0-6log3x+2>0?圯-1
变更主元位置,回避复杂讨论
例2已知方程ax2-2(a-3)x+a-2=0 (其中a为负整数),试求使此方程的解至少有一个为整数时的a值.
分析按常规思路,先求出方程的解. x=再对参数a分情况讨论,找出满足条件的a值,但十分复杂. 如果对换原方程中x和a的地位,把a视为主元,用x来表示a,情况将如何呢?
解由方程ax2-2(a-3)x+a-2=0得?摇 a=,
要使a为负整数,必须(x-1)2≤-(2-6x),即x2-8x+3≤0,
解不等式得4-≤x≤4+,所以x允许值为2,3,4,5,6,7.
求出合题意的a=-10或a=-4.
注:在解决数学问题时,以辩证的观点为指导,把常量变换为变量问题,在变化中实现问题解决.
变更主元位置,寻求解题新视角
例3设a,b是两个实数,A={(x,y)x=n,y=na+b,n∈Z｝,B={(x,y)x=m,y=3m2+15,m∈Z｝,C={(x,y)x2+y2≤144｝,是否存在a,b,使得(1)A∩B≠,(2)(a,b)∈C同时成立?
解法一假设存在(x,y)∈A∩B,则相应的直线y=ax+b与抛物线y=3x2+15有公共点,即y=ax+b,y=3x2+15,得3x2+15=ax+b(视x为变量,a,b为常量),Δ=a2-12(15-b)≥0,即-a2≤12b-180,又x2+y2≤144,两不等式相加得b2≤12b-36,即(b-6)2≤0. 故b=6.
把b=6代入得a2≥108与a2≤108,所以a=6或a=-6.
再代入原方程得3x2±6x+9=0,解得x=±?埸Z,
所以a,b不存在.
解法二对于式子3x2+15=ax+b,即ax+b-(3x2+15)=0(若我们视a,b为变量,x为常量),则式子ax+b-(3x2+15)=0可看作以a,b为变量的直线方程.
又因为(a,b)∈C,即a2+b2≤144也可看作以a,b为变量的圆及圆内的点.
此直线与圆的位置关系,圆心到直线的距离d==3+≥12, 当且仅当=,
即x=±时取等号,而x∈Z且±?埸Z,所以a,b不存在.
注:由此看出选a,b为变量,x为常量同样可以找出一种很好的解法解决此题. 如何设定主元,需要较强的思维能力,选定主元后,应有利于用方程或函数思想使问题得到解决.
恩格斯指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学.” 因此,变数的数学必然要生动地体现客观自然界的辩证法. 在涉及读者变数的问题中,如果我们能恰当地选定这个“变数”——主元,则往往能使问题迎刃而解,恰到好处,收到事半功倍的效果.