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随着导数在高中数学的教与学,一元三次函数日益成为高中阶段的一个非常重要的函数,特别是新课程标准明确指出“会求不超过三次的多项式函数的单调区间”、“会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值”.本文试对一元三次函数的解析式、图象、单调性、对称性、极值、零点等做一个全面的整理,以便于大家系统掌握.
一、解析式
1.一般式:f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0);
2.零点式:若一元三次函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,则f(x)=a(x-x1)(x-x2)•(x-x3)(a≠0);
3.中心式:f(x)=a(x-h)3+k(a≠0),其中(h,k)为一元三次函数f(x)图象的对称中心.
【例1】 已知一元三次函数f(x)的图象与坐标轴有四个交点,坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),则f(x)=.
解析:由图象与x轴的交点(1,0),(2,0),(3,0),设f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3),又f(0)=1a=-16.故f(x)=-16(x-1)(x-2)(x-3),即f(x)=-16x3+x2-116x+1.
二、图象的对称性
若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则可得f(-b3a+x)+f(-b3a-x)=2f(-b3a),故一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a)).从而,一元三次函数解析式的一般式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),可以写成中心式f(x)=a(x-h)3+k(a≠0),其中,(h,k)为图象的对称中心,h=-b3a,k=f(-b3a).
【例2】 函数f(x)=x3-3x+2008在[-2008,2008]上的最大值与最小值之和为.
解析:若用导数的方法求出最值再求和,运算量比较大.事实上,函数f(x)=x3-3x+2008在[-2008,2008]上的图象关于点(0,2008)对称,故图象的最高点与最低点也关于点(0,2008)对称,所以最大值与最小值之和为2008×2=4016.
三、单调性与极值
1.若一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),记Δ=(2b)2-4•3a•c,一元三次函数的单调性有以下四种情况:
(1)若a>0,Δ≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调增函数,无极值;
(2)若a<0,Δ≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数,无极值;
(3)若a>0,Δ>0,则f′(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1 (4)若a<0,Δ>0,则f′(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1
2.一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值Δ=(2b)2-4•3a•c>0.(需要特别注意的是,若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等实根,但在等根的左右f′(x)的符号相同,故f(x)在R上单调,无极值)
3.结合一元三次函数图象的对称性有:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x=x1时有极小值f(x1),在x=x2时有极大值f(x2),则x1+x2=-2b3a,f(x1)+f(x2)=2f(-b3a).
四、一元三次函数的图象
根据上面对单调性的研究可以知道,一元三次函数的图象可以分为四种类型,恒增型、恒减型、增减增型、减增减型,如下图所示:
五、一元三次函数的零点
1.零点的个数
考虑一元三次函数的单调性与极值,结合图象可以知道一元三次函数零点的个数情况:
(1)当Δ≤0时,有且仅有一个零点;
(2)当Δ>0时,记一元三次函数的极小值为m,极大值为M.
①若Δ>0,mM>0,则有且仅有一个零点;
②若Δ>0,mM=0,则有且仅有两个零点;
③若Δ>0,mM<0,则有且仅有三个零点.
2.一元三次方程的根与系数的关系
若x1,x2,x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)在复数集内的三个根,
则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2x3
,比较各项的系数得一元三次方程的根与系数的关系为x1+x2+x3=-ba,x1x2+x2x3+x1x3=ca,x1x2x3=-da.
【例3】 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根,它们分别为α,2,β,请比较f(1)与2的大小关系.
解析:f′(x)=3x2+2bx+c,
由f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,有f′(0)=0,得c=0,
则f′(x)=3x2+2bx=3x(x+23b),
令f′(x)=0得x=0或x=-23b,
再由f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,有-23b≥2,得b≤-3.
又方程f(x)=0有三个实根α,2,β,
∴α+2+β=-b,2α+2β+αβ=0,2αβ=-d,消去α,β得
d=-4b-8,
∴f(1)-2=1+b+c+d-2=b+d-1=-3b-9,
而b≤-3,∴-3b-9≥0,即f(1)≥2.
3.整系数一元三次函数的有理数零点
若一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈Z,a≠0)存在有理数零点x0=qp(p、q互质),则p为a的约数,q为d的约数.
(证明略)
这一结论可以用来试验整系数一元三次方程的有理根,进而可以对整系数一元三次多项式因式分解,解整系数一元三次方程与不等式.
【例4】 不等式2x3-9x2+6x-1>0的解集为.
解析:2的约数有±1、±2,-1的约数有±1,x=±1、±12中满足2x3-9x2+6x-1=0的有x=12,故2x3-9x2+6x-1因式分解必含有因式2x-1,进一步分解因式可得2x3-9x2+6x-1=(2x-1)(x2-4x+1)=(2x-1)[x-(2+3)][x-(2-3)],得不等式2x3-9x2+6x-1>0的解集为(2-3,12)∪(2+3,+∞).
(责任编辑 金 铃)
一、解析式
1.一般式:f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0);
2.零点式:若一元三次函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,则f(x)=a(x-x1)(x-x2)•(x-x3)(a≠0);
3.中心式:f(x)=a(x-h)3+k(a≠0),其中(h,k)为一元三次函数f(x)图象的对称中心.
【例1】 已知一元三次函数f(x)的图象与坐标轴有四个交点,坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),则f(x)=.
解析:由图象与x轴的交点(1,0),(2,0),(3,0),设f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3),又f(0)=1a=-16.故f(x)=-16(x-1)(x-2)(x-3),即f(x)=-16x3+x2-116x+1.
二、图象的对称性
若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则可得f(-b3a+x)+f(-b3a-x)=2f(-b3a),故一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a)).从而,一元三次函数解析式的一般式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),可以写成中心式f(x)=a(x-h)3+k(a≠0),其中,(h,k)为图象的对称中心,h=-b3a,k=f(-b3a).
【例2】 函数f(x)=x3-3x+2008在[-2008,2008]上的最大值与最小值之和为.
解析:若用导数的方法求出最值再求和,运算量比较大.事实上,函数f(x)=x3-3x+2008在[-2008,2008]上的图象关于点(0,2008)对称,故图象的最高点与最低点也关于点(0,2008)对称,所以最大值与最小值之和为2008×2=4016.
三、单调性与极值
1.若一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),记Δ=(2b)2-4•3a•c,一元三次函数的单调性有以下四种情况:
(1)若a>0,Δ≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调增函数,无极值;
(2)若a<0,Δ≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数,无极值;
(3)若a>0,Δ>0,则f′(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1
2.一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值Δ=(2b)2-4•3a•c>0.(需要特别注意的是,若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等实根,但在等根的左右f′(x)的符号相同,故f(x)在R上单调,无极值)
3.结合一元三次函数图象的对称性有:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x=x1时有极小值f(x1),在x=x2时有极大值f(x2),则x1+x2=-2b3a,f(x1)+f(x2)=2f(-b3a).
四、一元三次函数的图象
根据上面对单调性的研究可以知道,一元三次函数的图象可以分为四种类型,恒增型、恒减型、增减增型、减增减型,如下图所示:
五、一元三次函数的零点
1.零点的个数
考虑一元三次函数的单调性与极值,结合图象可以知道一元三次函数零点的个数情况:
(1)当Δ≤0时,有且仅有一个零点;
(2)当Δ>0时,记一元三次函数的极小值为m,极大值为M.
①若Δ>0,mM>0,则有且仅有一个零点;
②若Δ>0,mM=0,则有且仅有两个零点;
③若Δ>0,mM<0,则有且仅有三个零点.
2.一元三次方程的根与系数的关系
若x1,x2,x3是一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)在复数集内的三个根,
则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2x3
,比较各项的系数得一元三次方程的根与系数的关系为x1+x2+x3=-ba,x1x2+x2x3+x1x3=ca,x1x2x3=-da.
【例3】 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根,它们分别为α,2,β,请比较f(1)与2的大小关系.
解析:f′(x)=3x2+2bx+c,
由f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,有f′(0)=0,得c=0,
则f′(x)=3x2+2bx=3x(x+23b),
令f′(x)=0得x=0或x=-23b,
再由f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,有-23b≥2,得b≤-3.
又方程f(x)=0有三个实根α,2,β,
∴α+2+β=-b,2α+2β+αβ=0,2αβ=-d,消去α,β得
d=-4b-8,
∴f(1)-2=1+b+c+d-2=b+d-1=-3b-9,
而b≤-3,∴-3b-9≥0,即f(1)≥2.
3.整系数一元三次函数的有理数零点
若一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈Z,a≠0)存在有理数零点x0=qp(p、q互质),则p为a的约数,q为d的约数.
(证明略)
这一结论可以用来试验整系数一元三次方程的有理根,进而可以对整系数一元三次多项式因式分解,解整系数一元三次方程与不等式.
【例4】 不等式2x3-9x2+6x-1>0的解集为.
解析:2的约数有±1、±2,-1的约数有±1,x=±1、±12中满足2x3-9x2+6x-1=0的有x=12,故2x3-9x2+6x-1因式分解必含有因式2x-1,进一步分解因式可得2x3-9x2+6x-1=(2x-1)(x2-4x+1)=(2x-1)[x-(2+3)][x-(2-3)],得不等式2x3-9x2+6x-1>0的解集为(2-3,12)∪(2+3,+∞).
(责任编辑 金 铃)