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【摘要】本文通过描述自己教学中的两个案例片断，分析了启发式教学对学生数学思维的重要作用，鼓励教师多启发学生的数学思维，注重过程性教学。
【关键词】数学思维；案例分析；启发式教学
案例片断一：在讲授二元一次方程组的解法中的代入法时，我出了一个例题，解方程组2x+4y=5 ① 和4x-3y=1 ②的解。要求大家先自己求解，尽量用多种解法，得出解答后先在学习小组内交流，看谁组解的快，然后各组推出最好的解法在全班交流。学生们开始自己解题，然后小组内交流、讨论，教师巡视、指导。十分钟后小组展示自己与众不同的解法。前面几组展示的是常规代入法，即将①变形，得y=5-2x/4，将其代入②得4x-3*（5-2x/4）=1，先算出x，然后代入原式算出y。我在及时肯定这种方法的同时，询问还有不同的解法吗？学生们当时有些惊讶，就学了一种代入法，难道还有其他方法？于是他们又开始不停的思考、练习，几分钟后，有个学生胆怯的举手向我示意，我连忙叫他鼓励他大胆说出自己的想法，于是第二种解法诞生了，将①变式为2x=5-4y，将其代入②得2*（5-4y）-3y=1，后面的同解法1。很明显这个比方法一中代入的那个方程要简单，解答起来不容易出错。我及时的表扬了这个同学，并总结了种解法，这种将2x作为一个整体代入，这种将方程的某一部分作为一个整体代入解题的方法，称为部分整体代入法。我鼓励同学们说，只要你认真思考，就会有独到的收获，就可以超越课本，发掘自己内在的创造力。然后说，大家继续探讨，看看还有其他方法吗？学生的兴趣更浓了，都想第一个超越课本知识，与众不同。经过一会的思考探索，第三种方法出现了，将①的两边乘以2，得4x+8y=10，将其变为4x=10-8y，直接将此式代入②，得10-8y-3y=1，算出y值，后代入得x。这时有另一学生立刻举手发言说，他发现另一个方法，就是将①的两边乘以2，得4x+8y=10后，可以写成4x -3y +11 y =10，而4x -3y正好是②的左边，那么只需要将②代入其中，答案很快就明了。这个学生说完，同学们开心的笑了，觉得这个方法很简单，也很佩服那个善于思考的同学，全班以热烈的掌声表示肯定。我也被学生的思维能力所感染，趁机让学生评价这几个方法，要求在组内先交流尝试以下刚才的所有方法，并做出评价。学生们兴趣昂然，尝试后踊跃发言。生1：我认为，解法1很好，因为这种解法特别简单。我们组基本也是用的这种思想，但是解题步骤比他们复杂。生2：我也认为解法1很好，这是解方程组的一般解法。生3：我认为解法2好，简单不容易出错。生4：我认为最后的解法好，很快就得出答案……面对学生的各种评价，我及时总结：同学们分析得很好很有道理，通过比较、分析，我们发现，代入法是解方程组的通法；但是对于特殊的方程组，我们也可以用整体思想灵活处理。你们今天的许多思考，老师课前都没有想到，很了不起！虽然这节课只做了一道题，但是大家的数学思维得到了充分的发挥，我觉得很值得，我今后还要向同学们学习。（学生特别自豪）
案例片断2：在做平面直角坐标系的练习时，我出了一道这样的题：在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）到X轴的距离是2，到Y轴的距离是5，求点A的坐标。首先让学生做，学生们稍加思索就举手，意思都会了，我请几个学生说出答案，结果答案各种各样，丢三拉四的现象处处存在，我没有直接指出错误，而是让一个学生上台来讲自己的思考过程，每讲一步都停下征求同学们的意见。学生开始板书讲解：因为A到X轴的距离是2，所以A的横坐标是a=2，我问大家认同吗？有的学生认同，有的则不认同。所以我立刻让他们小组讨论交流，这一步的对错，经过他们反复的画图，交流，很多学生一起喊正负2，学生们觉得这下终于对了，长长的出了口气。讲解的同学继续讲：到Y轴的距离是5，所以b等于正负5。同学们没有异议，很快答案出来了，A的坐标有四种情况（2，5）（2，-5）（-3，5）（-3，-5）。最后，我说道，这次是终于做对了吧，有谁不通过呢？我的口气稍微停顿了一下，大家都静了下来，又陷入一阵沉思中，终于有一个学生提出质疑说，A到X轴的距离是2，应该是b等于正负2，不是a。其他学生又飞快的画起来，很快学生恍然大悟，一起说出了正确答案。我们都开心的笑了。接着我让学生谈做题的感悟，他说：做数学题一定要考虑周全，不能马虎，要善于思考。这节课看似我上课，实质上是学生自己在对自己上课。
案例分析：这是我教学过程中的两个片断，均采用启发式引导学生参与数学问题的思考，学生兴趣浓厚，且教学效果出乎我的意料。
1、本节课中教师角色的转变大大增强了学生的主动性。课中教师始终以一个参与者的身份积极参与展示，交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。
2、启发式的设计让学生拥有了充分的思考主动性。以前的练习题课大多注入式，无视学生在学习上主观能动性，全由老师讲，很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。启发式教学，强调学生是学习的主体，老师重在引导，要充分调动学生学习的积极主动性，尽量发挥学生的潜能，给他们一个自由发展的空间，让他们自己去思考、去创造、去发现知识，去探索规律，使其主动学习，主动发展。而在这两个案例教学中，教师逐层启发、鼓励学生自主思考，自主质疑，自主评价，自主得出结果。这些做法使学生拥有了充分的思考主动性，培养了学生的综合能力，进一步加深了对这一知识的理解与掌握。比教师滔滔不绝的讲解收获大的多。
3、留给学生时间，培养学生思维的灵活性。数学课上，有的老师提出问题后，便急于让学生回答，学生由于没有足够的时间去思考，就不能发现问题，也不能总结知识。所以，在本数学案例教学中，都是让学生自己先观察、探索、讨论交流，后教师才引导和点拨、鼓励。《数学课程标准》中指出：“当学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。”在日常生活中，关键是让学生寻找多种方案中选择最优方案，提高学生解决问题的能力。本案例中教师积极引导学生分析、思考、理解数学知识，并发表自己独特见解和独创解法，有效培养学生思维的灵活性。
4、本课的教学设计以生为本，在明确学习的目的任务的前提下，以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循数学课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将自主探究的数学课模式贯穿于课的始终，将评价与教师的教和学生的学有机的融为一体。实践证明，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当的运用评价的激励与促进作甩，自主探究的数学课模式可充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，使学生享受数学思维带来的快乐。
【关键词】数学思维；案例分析；启发式教学
案例片断一：在讲授二元一次方程组的解法中的代入法时，我出了一个例题，解方程组2x+4y=5 ① 和4x-3y=1 ②的解。要求大家先自己求解，尽量用多种解法，得出解答后先在学习小组内交流，看谁组解的快，然后各组推出最好的解法在全班交流。学生们开始自己解题，然后小组内交流、讨论，教师巡视、指导。十分钟后小组展示自己与众不同的解法。前面几组展示的是常规代入法，即将①变形，得y=5-2x/4，将其代入②得4x-3*（5-2x/4）=1，先算出x，然后代入原式算出y。我在及时肯定这种方法的同时，询问还有不同的解法吗？学生们当时有些惊讶，就学了一种代入法，难道还有其他方法？于是他们又开始不停的思考、练习，几分钟后，有个学生胆怯的举手向我示意，我连忙叫他鼓励他大胆说出自己的想法，于是第二种解法诞生了，将①变式为2x=5-4y，将其代入②得2*（5-4y）-3y=1，后面的同解法1。很明显这个比方法一中代入的那个方程要简单，解答起来不容易出错。我及时的表扬了这个同学，并总结了种解法，这种将2x作为一个整体代入，这种将方程的某一部分作为一个整体代入解题的方法，称为部分整体代入法。我鼓励同学们说，只要你认真思考，就会有独到的收获，就可以超越课本，发掘自己内在的创造力。然后说，大家继续探讨，看看还有其他方法吗？学生的兴趣更浓了，都想第一个超越课本知识，与众不同。经过一会的思考探索，第三种方法出现了，将①的两边乘以2，得4x+8y=10，将其变为4x=10-8y，直接将此式代入②，得10-8y-3y=1，算出y值，后代入得x。这时有另一学生立刻举手发言说，他发现另一个方法，就是将①的两边乘以2，得4x+8y=10后，可以写成4x -3y +11 y =10，而4x -3y正好是②的左边，那么只需要将②代入其中，答案很快就明了。这个学生说完，同学们开心的笑了，觉得这个方法很简单，也很佩服那个善于思考的同学，全班以热烈的掌声表示肯定。我也被学生的思维能力所感染，趁机让学生评价这几个方法，要求在组内先交流尝试以下刚才的所有方法，并做出评价。学生们兴趣昂然，尝试后踊跃发言。生1：我认为，解法1很好，因为这种解法特别简单。我们组基本也是用的这种思想，但是解题步骤比他们复杂。生2：我也认为解法1很好，这是解方程组的一般解法。生3：我认为解法2好，简单不容易出错。生4：我认为最后的解法好，很快就得出答案……面对学生的各种评价，我及时总结：同学们分析得很好很有道理，通过比较、分析，我们发现，代入法是解方程组的通法；但是对于特殊的方程组，我们也可以用整体思想灵活处理。你们今天的许多思考，老师课前都没有想到，很了不起！虽然这节课只做了一道题，但是大家的数学思维得到了充分的发挥，我觉得很值得，我今后还要向同学们学习。（学生特别自豪）
案例片断2：在做平面直角坐标系的练习时，我出了一道这样的题：在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）到X轴的距离是2，到Y轴的距离是5，求点A的坐标。首先让学生做，学生们稍加思索就举手，意思都会了，我请几个学生说出答案，结果答案各种各样，丢三拉四的现象处处存在，我没有直接指出错误，而是让一个学生上台来讲自己的思考过程，每讲一步都停下征求同学们的意见。学生开始板书讲解：因为A到X轴的距离是2，所以A的横坐标是a=2，我问大家认同吗？有的学生认同，有的则不认同。所以我立刻让他们小组讨论交流，这一步的对错，经过他们反复的画图，交流，很多学生一起喊正负2，学生们觉得这下终于对了，长长的出了口气。讲解的同学继续讲：到Y轴的距离是5，所以b等于正负5。同学们没有异议，很快答案出来了，A的坐标有四种情况（2，5）（2，-5）（-3，5）（-3，-5）。最后，我说道，这次是终于做对了吧，有谁不通过呢？我的口气稍微停顿了一下，大家都静了下来，又陷入一阵沉思中，终于有一个学生提出质疑说，A到X轴的距离是2，应该是b等于正负2，不是a。其他学生又飞快的画起来，很快学生恍然大悟，一起说出了正确答案。我们都开心的笑了。接着我让学生谈做题的感悟，他说：做数学题一定要考虑周全，不能马虎，要善于思考。这节课看似我上课，实质上是学生自己在对自己上课。
案例分析：这是我教学过程中的两个片断，均采用启发式引导学生参与数学问题的思考，学生兴趣浓厚，且教学效果出乎我的意料。
1、本节课中教师角色的转变大大增强了学生的主动性。课中教师始终以一个参与者的身份积极参与展示，交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。
2、启发式的设计让学生拥有了充分的思考主动性。以前的练习题课大多注入式，无视学生在学习上主观能动性，全由老师讲，很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。启发式教学，强调学生是学习的主体，老师重在引导，要充分调动学生学习的积极主动性，尽量发挥学生的潜能，给他们一个自由发展的空间，让他们自己去思考、去创造、去发现知识，去探索规律，使其主动学习，主动发展。而在这两个案例教学中，教师逐层启发、鼓励学生自主思考，自主质疑，自主评价，自主得出结果。这些做法使学生拥有了充分的思考主动性，培养了学生的综合能力，进一步加深了对这一知识的理解与掌握。比教师滔滔不绝的讲解收获大的多。
3、留给学生时间，培养学生思维的灵活性。数学课上，有的老师提出问题后，便急于让学生回答，学生由于没有足够的时间去思考，就不能发现问题，也不能总结知识。所以，在本数学案例教学中，都是让学生自己先观察、探索、讨论交流，后教师才引导和点拨、鼓励。《数学课程标准》中指出：“当学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。”在日常生活中，关键是让学生寻找多种方案中选择最优方案，提高学生解决问题的能力。本案例中教师积极引导学生分析、思考、理解数学知识，并发表自己独特见解和独创解法，有效培养学生思维的灵活性。
4、本课的教学设计以生为本，在明确学习的目的任务的前提下，以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循数学课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将自主探究的数学课模式贯穿于课的始终，将评价与教师的教和学生的学有机的融为一体。实践证明，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当的运用评价的激励与促进作甩，自主探究的数学课模式可充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，使学生享受数学思维带来的快乐。