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摘要：谐振子基具有越高的激发态离原点越远的特点，取少数项即可近似地描述束缚态波函数。本文利用谐振子基展开法在雅克比坐标的质心系中解三体薛定谔方程计算基态重子谱，讨论了耦合常数的形式以及重子哈密顿量运动学部分的相对论修正对谱的影响，结合拟合参数可以预测动力学部分的相对论修正必须提供额外的动能项或排斥芯。
关键词：重子谱；谐振子基展开；雅可比坐标
引言
由于重子处于QCD低能区，耦合常数大于1不能利用微扰论计算，因此势模型是常用来计算强子谱的唯象方法，所得的强子波函数可以用来计算各种过程的跃迁矩阵元。计算重味重子时常用非相对论哈密顿量[1]，但由不确定关系可以估计，在1fm尺度下轻夸克的运动速度已经可以比拟光速，准确地统一计算轻味重子和重味重子谱时应考虑相对论效应，其中运动学部分可以用相对论能量替换经典能量，而动力学部分则主要有Isgur等人和Ebert等人发明的两种修正方法[2，3]。本文拟在Mathematica环境下通过谐振子基展开法数值计算运动学部分的相对论修正对重子谱的影响，分析谱和参数的变化从而得出动力学修正应该满足的一般条件。
1.理论方法
基态重子哈密顿量可以取为
其中（非相对论）或（相对论）。，，分别是i，j粒子之间的色库伦势、色禁闭势和自旋相互作用势。
引入三组雅可比坐标[4]
实验上测得的不变质量不依赖于粒子质心运动，在计算不变质量谱的时候可以事先把它扣除出去，即令。很容易把哈密顿量改写成自变量为雅可比坐标的形式。
重子波函数在雅可比坐标下用如下哈密顿量的正交归一本征态来展开
其本征值为，一定角动量的本征态为
其中，，是拉盖尔多项式，是球谐函数，是归一化系数。
显然三组雅可比坐标之间满足如下关系
待求哈密顿量中，等矩阵元可以直接用计算，而以，，，为自变量的项转换到或的具有相同量子数的本征态计算更方便，计算时直接插入一组投影算符
重子处于色单态，色波函数必须反对称，归一化的色波函数可以取为[5]。为区分不同强子，可把味道、空间和自旋部分构造成交换前两个全同粒子对称的形式，总波函数的对称性将会蕴含在展开系数中，重子总波函数取为[6]
其中是味道波函数，自旋部分取为，，，……
解定态薛定谔方程可以用变分法思想转换成，，有非零解的要求是系数行列式为零，由此可以解出能量本征值和对应的系数。从物理上讲，不同的参数对应不同的谐振子基，展开系数显然不同，但都具有同样的，谱的结果不会依赖于基矢的选取。然而计算机无法计算秩无穷的行列式，用有限个基矢近似求解时的本征值依赖于，即依赖于基矢的选择，因此应对再求一次变分得到最优解。
2数学处理和相关程序
大动量转移时，强相互作用跑动耦合常数可用QCD微扰计算，小动量转移时的耦合常数大于1，无法微扰计算，其数值常通过拟合谱定出。本文将比较文献[6]中给出的与参数拟合所得的一阶微扰公式对数值计算强子谱的影响。
哈密顿量中的函数是把夸克看成点状粒子引起的，在计算中用一个宽度为夸克康普顿波长数量级的峰替代：
，其中。
空間部分矩阵元的计算直接在球坐标中积分即可，三个夸克的自旋态则需要处理成自旋的张量积（直积），取泡利表象，在Mathematica环境下可以用如下语句实现：
3数值结果与讨论
在自然单位制下通过拟合基态，，，，，的谱定出参数，见表1，其中RH（NRH）代表（非）相对论哈密顿量，和代表微扰的跑动耦合常数和
从表2中可以看出NRH&Fαs与文献[6]的计算值最为接近，这是因为文献[6]中的相对论修正效应不大导致；NRH&Pαs与实验值符合得最好，表明计算谱时利用其他哈密顿量拟合的跑动耦合常数会带来更大的误差，重新拟合会改善计算结果。
从表2中还可以看出，只考虑运动学部分的相对论修正并不能改善谱的计算结果，反而会增大Λ 1/2+，Ξ 1/2+，Σb 3/2+等态计算值的误差。从表1中可以看出其成因：拟合参数时相对论形式的s和σ0更小，夸克波包更大，从而减小了自旋相互作用，这是为了保证质子不发生朗道坠落而做出的妥协，因为对于同一个波函数，动量一定的情况下相对论比非相对论小，较小的夸克波包会导致重子半径减小时动能的增大竞争不过自旋相互作用和色库伦势导致的能量减小，重子的半径就会不断变小，能量将坠落到负无穷。如果要增大自旋相互作用使谱算的更准确，动力学部分的相对论修正就必须提供额外的动能项或势能的排斥芯。
参考文献：
[1]Jean-Marc RICHARD. The Nonrelativistic Three-Body Problem For Baryons[J]. Physics Reports，1992，212，No.1：1-76
[2]D.Ebert，R. N. Faustov，V. O. Galkin. Relativistic properties of the quark-antiquark potential[J]. Eur. Phys. J. C，1999，7：539-542
[3]Stephen Godfre and Nathan Isgur. Mesons in a relativized quark model with chromodynamics[J]. Phys. Rev. D，1985，32：189-231
[4]GAn You-Ping，GONG Min-Zhuan，WU Chong-en. Program to calculate generalized talmi-moshinsky coefficients of 3-body and 4-body systems[J]. Computer Physics Communications，1985，34：387-393
[5]宁平治，李磊，闵德芬. 原子核物理基础[M].（第一版）高等教育出版社，2003. 87-100
[6]Simon Capstick and Nathan Isgur. Baryons in a relativized quark model with chromodynamics[J]. Phys. Rev. D，1986，34：2809-2835
作者简介：戴延（1992.8—），男，汉族，重庆合川人，硕士研究生，从事强子物理研究。
关键词：重子谱；谐振子基展开；雅可比坐标
引言
由于重子处于QCD低能区，耦合常数大于1不能利用微扰论计算，因此势模型是常用来计算强子谱的唯象方法，所得的强子波函数可以用来计算各种过程的跃迁矩阵元。计算重味重子时常用非相对论哈密顿量[1]，但由不确定关系可以估计，在1fm尺度下轻夸克的运动速度已经可以比拟光速，准确地统一计算轻味重子和重味重子谱时应考虑相对论效应，其中运动学部分可以用相对论能量替换经典能量，而动力学部分则主要有Isgur等人和Ebert等人发明的两种修正方法[2，3]。本文拟在Mathematica环境下通过谐振子基展开法数值计算运动学部分的相对论修正对重子谱的影响，分析谱和参数的变化从而得出动力学修正应该满足的一般条件。
1.理论方法
基态重子哈密顿量可以取为
其中（非相对论）或（相对论）。，，分别是i，j粒子之间的色库伦势、色禁闭势和自旋相互作用势。
引入三组雅可比坐标[4]
实验上测得的不变质量不依赖于粒子质心运动，在计算不变质量谱的时候可以事先把它扣除出去，即令。很容易把哈密顿量改写成自变量为雅可比坐标的形式。
重子波函数在雅可比坐标下用如下哈密顿量的正交归一本征态来展开
其本征值为，一定角动量的本征态为
其中，，是拉盖尔多项式，是球谐函数，是归一化系数。
显然三组雅可比坐标之间满足如下关系
待求哈密顿量中，等矩阵元可以直接用计算，而以，，，为自变量的项转换到或的具有相同量子数的本征态计算更方便，计算时直接插入一组投影算符
重子处于色单态，色波函数必须反对称，归一化的色波函数可以取为[5]。为区分不同强子，可把味道、空间和自旋部分构造成交换前两个全同粒子对称的形式，总波函数的对称性将会蕴含在展开系数中，重子总波函数取为[6]
其中是味道波函数，自旋部分取为，，，……
解定态薛定谔方程可以用变分法思想转换成，，有非零解的要求是系数行列式为零，由此可以解出能量本征值和对应的系数。从物理上讲，不同的参数对应不同的谐振子基，展开系数显然不同，但都具有同样的，谱的结果不会依赖于基矢的选取。然而计算机无法计算秩无穷的行列式，用有限个基矢近似求解时的本征值依赖于，即依赖于基矢的选择，因此应对再求一次变分得到最优解。
2数学处理和相关程序
大动量转移时，强相互作用跑动耦合常数可用QCD微扰计算，小动量转移时的耦合常数大于1，无法微扰计算，其数值常通过拟合谱定出。本文将比较文献[6]中给出的与参数拟合所得的一阶微扰公式对数值计算强子谱的影响。
哈密顿量中的函数是把夸克看成点状粒子引起的，在计算中用一个宽度为夸克康普顿波长数量级的峰替代：
，其中。
空間部分矩阵元的计算直接在球坐标中积分即可，三个夸克的自旋态则需要处理成自旋的张量积（直积），取泡利表象，在Mathematica环境下可以用如下语句实现：
3数值结果与讨论
在自然单位制下通过拟合基态，，，，，的谱定出参数，见表1，其中RH（NRH）代表（非）相对论哈密顿量，和代表微扰的跑动耦合常数和
从表2中可以看出NRH&Fαs与文献[6]的计算值最为接近，这是因为文献[6]中的相对论修正效应不大导致；NRH&Pαs与实验值符合得最好，表明计算谱时利用其他哈密顿量拟合的跑动耦合常数会带来更大的误差，重新拟合会改善计算结果。
从表2中还可以看出，只考虑运动学部分的相对论修正并不能改善谱的计算结果，反而会增大Λ 1/2+，Ξ 1/2+，Σb 3/2+等态计算值的误差。从表1中可以看出其成因：拟合参数时相对论形式的s和σ0更小，夸克波包更大，从而减小了自旋相互作用，这是为了保证质子不发生朗道坠落而做出的妥协，因为对于同一个波函数，动量一定的情况下相对论比非相对论小，较小的夸克波包会导致重子半径减小时动能的增大竞争不过自旋相互作用和色库伦势导致的能量减小，重子的半径就会不断变小，能量将坠落到负无穷。如果要增大自旋相互作用使谱算的更准确，动力学部分的相对论修正就必须提供额外的动能项或势能的排斥芯。
参考文献：
[1]Jean-Marc RICHARD. The Nonrelativistic Three-Body Problem For Baryons[J]. Physics Reports，1992，212，No.1：1-76
[2]D.Ebert，R. N. Faustov，V. O. Galkin. Relativistic properties of the quark-antiquark potential[J]. Eur. Phys. J. C，1999，7：539-542
[3]Stephen Godfre and Nathan Isgur. Mesons in a relativized quark model with chromodynamics[J]. Phys. Rev. D，1985，32：189-231
[4]GAn You-Ping，GONG Min-Zhuan，WU Chong-en. Program to calculate generalized talmi-moshinsky coefficients of 3-body and 4-body systems[J]. Computer Physics Communications，1985，34：387-393
[5]宁平治，李磊，闵德芬. 原子核物理基础[M].（第一版）高等教育出版社，2003. 87-100
[6]Simon Capstick and Nathan Isgur. Baryons in a relativized quark model with chromodynamics[J]. Phys. Rev. D，1986，34：2809-2835
作者简介：戴延（1992.8—），男，汉族，重庆合川人，硕士研究生，从事强子物理研究。