〔关键词〕 立体几何;高考题;推论;模型
　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)04(A)—0052—01
　　
　　一、常用推论:
　　1. 如图1所示,在四面体P-ABC中,设顶点P在底面ABC上的射影为O.
　　①若PA=PB=PC或PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等,则O为底面ABC的外心.(对于正棱锥而言,则O为底面的中心).
　　②若PA⊥BC,PB⊥AC,则O为底面ABC的垂心,同时也有PC⊥AB(即四面体中若有两组对棱相互垂直,则任何顶点在与之相对面上的射影都是该面三角形的垂心,且第三组对棱也相互垂直).特殊地,若PA、PB、PC两两垂直,也有一样的结论.
　　③若O在△ABC的内部,且P到△ABC的三边的距离相等或侧面PAB、PBC、PAC与底面所成的二面角相等,则O为底面△ABC的内心.在运用这个结论时需注意:若没有O在△ABC的内部这一限制,则O还可能是△ABC的旁心.
　　2. 如图2所示,设∠BAC在平面?琢内,点P?埸?琢,若PAB=PAC(或P到BAC的两边AB、AC的距离相等),则点P在平面?琢内的射影O在∠BAC的平分线所在的直线上.
　　3. 若两个平面垂直,则其中一个面内的任意一条直线在另一个平面上的射影必在两个平面的交线上.(这个结论有助于我们去寻找一条直线与一个平面所成的角,倘若这条直线在一个与这个平面垂直的平面内,则它与两个平面的交线所成的角就是直线和平面所成的角)
　　4. 直线和平面所成的角是直线和平面内所有直线所成角中的最小角.
　　二、常用模型
　　1. 如图3所示,设二面角?琢-l-?茁的大小为?兹,A、B∈l,AC?奂?琢,BD?奂?茁,AC⊥l,BD⊥l,且AB=d,AC=m,BD=n.这是一个包含二面角的平面角、两条异面直线的公垂线(距离)、其上任意两点间的距离等诸多条件的模型.
　　作AE∥BD,连接DE,则由题意知:四边形ABDE为矩形,则∠CAE为二面角?琢-l-?茁的平面角,AB、CD所成的角为∠CDE.由余弦定理得:CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=m2+n2-2mncos?兹,所以CD=■=■,且异面直线AB、CD所成角∠CDE的余弦为cos∠CDE=■=■.
　　这个模型告诉我们:若两条异面直线分别在一个二面角的两个面内且都和二面角的棱垂直,则可以很方便地求出它们上面任意两定点间的距离以及这两点的连线与二面角的棱所成的角.若反过来考虑,还可在知道两条异面直线上两点间距离的条件下,求出二面角的平面角(利用公式CD=■=■);另外,在这个模型中,还存在线面的垂直和面面的垂直(DE⊥平面CAE,平面CDE⊥平面CAE).
　　2. 如图4所示,设二面角A-BC-D的大小为?兹,作AO⊥平面BCD于O,作OE⊥BC于E,连接AE,则由三垂线定理知AE⊥BC,所以∠AEO是二面角A-BC-D的平面角.
　　在立体几何中,二面角通常采用本模型的形式叙述,即用两个共边的三角形表述,在这种情形下,一般最适合用三垂线定理作出二面角的平面角.
　　3.墙角是我们生活中经常碰到的一种模型,它的几何抽象是从同一点出发的三条两两垂直的射线,也可以看成是长方体(或正方体)的一个角,因而它具有长方体(或正方体)的某些性质特征.连接长方体上下底面两条异面对角线的四个顶点可以得到一个四面体,这个四面体的特殊之处在于它的三组对棱对应相等,因而在平时的练习当中,若接触到这样一個特殊的四面体,可以将它补成一个长方体,从而利用长方体的性质来考虑问题.
　　三、推论与模型在高考解题中的应用
　　例:(2009江西卷理9)如图5所示,正四面体ABDC的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为:
　　A.O-ABC是正三棱锥
　　B .直线OB∥平面ACD
　　C .直线AD与OB所成的角是45°
　　D. 二面角D-OB-A为45°
　　分析:该题从设问到图形的放置都有一定的迷惑性,逐个判断比较费时,但是,正四面体和墙角模型可将原图补为如图6所示的正方体,由OB∥DE不难得出B为错误的.