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【摘 要】本文对高中数学二次函数基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数进行了根本深入学习。
【关键词】高中数学；二次函数
要对高中数学二次函数基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数进行了根本深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)
这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1
∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，
在x=1时取最小值－2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的两个根x1，x2满足0 (Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<?(x) (Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0 解题思路：
本题要证明的是x<?(x)，?(x) (Ⅰ)先证明x<?(x)，令?(x)=?(x)-x，因为x1,x2是方程?(x)-x=0的根，?(x)=ax2+bx+c，
所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)
因为00,又a＞0,因此?(x) ＞0,即?(x)-x＞0.至此,证得x<?(x)
根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2?(0)，所以当x∈(0,x1)时?(x)<?(x1)=x1，
即x<?(x) (Ⅱ) ∵?(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+(c－ ),（a>0）
函数?(x)的图象的对称轴为直线x=－b2a ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0，
∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ） 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
收稿日期：2012-05-20
【关键词】高中数学；二次函数
要对高中数学二次函数基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数进行了根本深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)
这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1
∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，
在x=1时取最小值－2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的两个根x1，x2满足0
本题要证明的是x<?(x)，?(x)
所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)
因为0
根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2
即x<?(x)
函数?(x)的图象的对称轴为直线x=－b2a ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a ，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0，
∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）
二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
收稿日期：2012-05-20