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【摘要】本文研究具有时变采样周期和多通道数据包丢失的网络控制系统故障检测问题。考虑传感器与控制器间及控制器与执行器间的数据包丢失，并将其用满足Bernoulli分布的相互独立的随机变量来描述，利用参数不确定方法处理时变采样周期，将网络控制系统建模为含未知参数的离散化系统。基于建立的模型，设计基于观测器的故障检测滤波器，使得故障检测系统均方稳定。所设计的故障检测滤波器不仅对故障灵敏，同时对外界扰动具有鲁棒性。数值算例表明本设计是有效的。
【关键词】网络控制系统；故障检测；时变采样周期；多通道数据包丢失
1.引言
通过网络连接传感器、控制器与执行器而形成的闭环系统称为网络控制系统（Networked Control Systems，NCSs）[1]。NCSs的结构灵活、高可靠性、低成本、易于安装和维修等优点，使得NCSs得到了广泛应用，同时网络带来的时延和丢包[2，3]、数据漂移[4]、时变采样周期[5]、通信约束[6]等问题，使得NCSs的分析变得复杂。在NCSs中不可避免地会发生故障，故障会导致系统性能下降甚至不稳定，因此对于NCSs的故障检测及其相关问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
近年来，网络控制系统故障检测已有很多研究成果。例如：文献[7]主要讨论了具有不确定时变时延的NCSs的故障检测问题；文献[8，9]针对数据包丢失情况下的故障检测；文献[10]研究了具有数据漂移、时延和数据包丢失的NCSs的故障检测问题；文献[11]讨论了具有量化误差的NCSs的故障检测问题。
在NCSs中，为了方便系统建模，通常假设采样周期是常数，例如文献[12]。在计算机控制应用中，传感器采样周期一般为常数，但是由于受负载变化、网络影响、偶发故障以及外部干扰等因素往往会导致采样周期发生抖动。目前，关于时变采样周期也有相关研究，文献[13]研究了具有时变采样周期的NCSs鲁棒控制器设计，文献[14]是设计基于预测的状态反馈控制器，所设计的控制器能够保证含有时变采样周期的NCSs的稳定性。目前，关于单通道数据包丢失和传输时延的NCSs问题有较多的研究[9]，然而数据包丢失也存在多通道丢包，因此研究含有多通道数据包丢失的NCSs问题也是非常重要的。例如文献[15]研究了多通道数据包丢失NCSs最优滤波问题。
图1 网络控制系统结构图
由于受负载变化、网络影响、偶发故障以及外部干扰等因素往往会导致采样周期发生抖动。由于网络导致数据包丢失不可避免。有关NCSs中时变采样周期和多通道数据包丢失这一问题的故障检测相关研究成果很少。因此，本文研究具有时变采样周期和多通道数据包丢失的NCSs的故障检测问题。考虑传感器与控制器之间及控制器与执行器之间的数据包丢失，将其用满足Bernoulli分布的相互独立的随机变量来描述。利用参数不确定的方法处理时变采样周期。建立了系统的离散化模型。基于建立的模型，设计基于观测器的故障检测滤波器（Fault Detection Filter，FDF），所设计的FDF不仅对故障灵敏，同时对外界扰动具有鲁棒性。最后给出数值算例验证所提出的故障检测方法的有效性。
作如下符号说明：对于矩阵A，AT和A-1分别表示它的转置和逆矩阵。对于一个对称矩阵A，A>（≥）0和A<（≤）0分别表示正定（半正定）和负定（半负定）。表示对角矩阵。I，0表示具有合适维数的单位矩阵和零矩阵。一个矩阵中的符号*表示对称位置的元素。表示上平方可积的函数集合。
2.问题描述
考虑如下的线性时不变系统：
（1）
其中，，，，分别是状态向量，控制输入向量，被控对象测量输出，外界扰动和故障输入；被假设属于；A，B，Bw，E，C，Dw是具有适当维数的常数矩阵。
图1为具有随机丢包和故障的网络控制系统结构图，假定传感器为时钟驱动，控制器和执行器均为事件驱动。这里我们考虑传感器具有时变采样周期。定义为第时刻采样周期长度，定义和分别是时变采样周期所允许的的最小值和最大值，即采样周期，。
动态系统变采样离散化得到：
（2）
其中：
定义我们有：
因此重新写为：
（3）
其中：
为了分析丢包的影响，下面对网络的丢包现象进行建模。
假设丢包后控制器接收到的测量输出和控制信号分别为：
（4）
（5）
，是满足Bernoulli 分布序列的随机变量，其概率为：
（6）
（7）
当=1表示控制对象到控制器之间数据包成功传输，=0表示数据包丢失。当=1表示控制器到执行器之间数据包成功传输，=0表示数据包丢失。
，是相互独立的随机变量，有下面的式子成立。
（8）
其中：
我们定义：
则有：
则有：
由上述定义，式子等价于：
（9）
考虑采样周期，系统中的参数是一个不确定的参数且，其中是正定标量：
引理1：给定具有适当维数的矩阵：
，则：
对所有满足的都成立的充要条件是存在正数使得下式成立：
3.故障检测方案
3.1 故障检测滤波器设计
假设系统可观测，则构造如下基于状态观测器的故障检测滤波器：
（10）
其中是残差信号，是被设计的参数。
定义：，有：
（11）
定义：
，得到故障检测系统： （12）
其中：
我们寻找观测器增益矩阵L，使得对于变化的采样周期和多通道丢包，系统渐进稳定，并且具有范数界。
定理1：对于给定的标量，如果存在和对称正定矩阵，使得线性矩阵不等式对于每个可能的采样周期都成立。系统渐近稳定，并且具有范数界。
（13）
其中：
和：
证明：考虑如下的Lyapunov函数
（14）
其中，是具有恰当维数的实对称正定矩阵。
在时， 有：
其中：
其中：
对于，下面证明：
即证明。利用Schur补定理，等价于：
（16）
其中：
令：
则等价于：
（17）
其中：
由引理1，等价于：
（18）
式子应用Schur补定理，左右二边分别乘于及其转置。并定义，。由不等式，即有则得到定理1。如果矩阵不等式是可行的，使得对于所有不确定的时变采样周期和丢包，故障检测系统渐进稳定，满足性能指标。证明结束。
3.2 残差评估
设计基于观测器的FDF ，使得故障检测系统渐进稳定，且满足如下性能指标。
（19）
我们定义残差评估函数为：
（20）
其中为仿真步长。
选取阈值为：
（21）
得到故障检测的评判规则为：
（22）
4.算例
考虑线性时不变系统：
根据定理1，利用LMI工具箱得到：
在有限时间窗口0-500秒内，假设系统初始状态为；采样周期在0.11s，0.13s，0.17，0.2s值间依次变化；数据包传输率，，；假设控制信号在3s，7s，11s…时刻丢失，测量信号成功传输，测量信号在3s，7s，11s…时刻丢失，即数据包在传输过程每四个数据包有一个数据包丢失；外界扰动输入和控制器的输出分别为：
其中和分别是和第时刻的采样值。
故障信号假设为：
其中是第时刻的采样值。
图2 残差信号
图3 残差评估函数
图2给出的是残差的仿真结果，图3给出的是残差评估函数的仿真结果。从图2可以看出残差在100s迅速增大，这表明故障发生。由此可知，所设计的FDF能够检测出故障，并且对外界扰动具有鲁棒性。
5.结论
本文研究了具有时变采样周期和多通道数据包丢失的网络控制系统故障检测问题，考虑传感器与控制器之间及控制器与执行器之间的数据包丢失，并将其用满足Bernoulli分布的相互独立的随机变量来描述。利用参数不确定的方法处理时变采样周期，建立了系统的离散化模型。基于建立的模型，设计基于观测器的FDF，给出了故障检测系统均方稳定的充要条件。所设计的FDF不仅对故障灵敏，同时对外界扰动具有鲁棒性。数值算例表明本文所提出的故障检测方法是有效的。
参考文献
[1]J.P.Hespanha，P.Naghshtabrizi，Y.G.Xu.A survey of recent results in networked control systems[J].Proceedings of the IEEE，2007，95（1）：138-162.
[2]K.F.Chen，I.Fong.Stability analysis and output-feedback stabilization of discrete-time systems with an interval time-varying state delay[J].IET Control Theory and Applications，2010，4（4）：563-572.
[3]Y.Sun，S.Qin.Stability analysis of networked systems with packet dropout：an average dwell time approach[J].IET Control Theory and Applications，2011，5（1）：47-53.
[4]Y.L.Wang，Q.L.Han，X.Yu.Performance optimization for networked control systems with limited channels and data drift[C].//Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control.Atlanta，GA，USA：IEEE，2010：6704-6709.
[5]Y.L.Wang，G.H.Yang. controller design for networked control systems via active-varying sampling period method[J].Acta Automatica Sinica，2008，34（7）：814-818.
[6]W.A.Zhang，L.Yu，G.Feng.Optimal linear estimation for networked systems with communication constraints[J].Automatica，2011，5（20）：1993-2000.
[7]Y.Q.Wang，H.Ye，S.X.Ding.A new fault detection scheme for networked control systems subject to uncertain time-varying delay[J].IEEE Transactions on signal processing，2008，56（10）：5258-5268. [8]Y.Q.Wang，H.Ye，S.X.Ding，et al.Residual generation and evaluation of networked control systems subject to random packet dropout[J].Automatica，2009，45（10）：2427-2434.
[9]X.He，Z.D.Wang，Y.D.Ji，et al.Robust fault detection for networked systems with distributed sensors[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011，47（1）：166-177.
[10]Y.L.Wang，Q.L.Han，W.T.Liu.Fault detection filter design for discrete-time networked control systems[C].//Proceedings of 24th Chinese Control and Decision Conference.Taiyuan，China：IEEE，2012：2472-2477.
[11]W.Li，P.Zhang，X.S.Ding，et al.Fault detection over nosiy wireless channels[C].//Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control.New Orleans，USA：IEEE，2007：5050-5055.
[12]D.Yue，Q.L.Han，J.Lam.Network-based robust control of systems with uncertainty[J].Automatica，2005，41：999-1007.
[13]Y.L.Wang，G.H.Yang.State feedback control of networked control systems with passive time-varying sampling period[C].//Proceedings of the 2008 Chinese Control and Decision Conference，Yantai，China：IEEE，2008：307-312.
[14]R.Lozano，P.Castillo，P.Garcia，et al.Robust prediction-based control for unstable delay systems：application to the yaw control of a mini-helicopter[J].Automatica，2004，40：603-612.
[15]M.Sahebsara，T.Chen，S.L.Shah.Optimal filtering in network control systems with multiple packet dropout IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（2）：1508-1513.
作者简介：熊洁（1987—），女，安徽合肥人，江苏科技大学工学硕士研究生，主要研究方向：网络控制系统故障检测。
【关键词】网络控制系统；故障检测；时变采样周期；多通道数据包丢失
1.引言
通过网络连接传感器、控制器与执行器而形成的闭环系统称为网络控制系统（Networked Control Systems，NCSs）[1]。NCSs的结构灵活、高可靠性、低成本、易于安装和维修等优点，使得NCSs得到了广泛应用，同时网络带来的时延和丢包[2，3]、数据漂移[4]、时变采样周期[5]、通信约束[6]等问题，使得NCSs的分析变得复杂。在NCSs中不可避免地会发生故障，故障会导致系统性能下降甚至不稳定，因此对于NCSs的故障检测及其相关问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
近年来，网络控制系统故障检测已有很多研究成果。例如：文献[7]主要讨论了具有不确定时变时延的NCSs的故障检测问题；文献[8，9]针对数据包丢失情况下的故障检测；文献[10]研究了具有数据漂移、时延和数据包丢失的NCSs的故障检测问题；文献[11]讨论了具有量化误差的NCSs的故障检测问题。
在NCSs中，为了方便系统建模，通常假设采样周期是常数，例如文献[12]。在计算机控制应用中，传感器采样周期一般为常数，但是由于受负载变化、网络影响、偶发故障以及外部干扰等因素往往会导致采样周期发生抖动。目前，关于时变采样周期也有相关研究，文献[13]研究了具有时变采样周期的NCSs鲁棒控制器设计，文献[14]是设计基于预测的状态反馈控制器，所设计的控制器能够保证含有时变采样周期的NCSs的稳定性。目前，关于单通道数据包丢失和传输时延的NCSs问题有较多的研究[9]，然而数据包丢失也存在多通道丢包，因此研究含有多通道数据包丢失的NCSs问题也是非常重要的。例如文献[15]研究了多通道数据包丢失NCSs最优滤波问题。
图1 网络控制系统结构图
由于受负载变化、网络影响、偶发故障以及外部干扰等因素往往会导致采样周期发生抖动。由于网络导致数据包丢失不可避免。有关NCSs中时变采样周期和多通道数据包丢失这一问题的故障检测相关研究成果很少。因此，本文研究具有时变采样周期和多通道数据包丢失的NCSs的故障检测问题。考虑传感器与控制器之间及控制器与执行器之间的数据包丢失，将其用满足Bernoulli分布的相互独立的随机变量来描述。利用参数不确定的方法处理时变采样周期。建立了系统的离散化模型。基于建立的模型，设计基于观测器的故障检测滤波器（Fault Detection Filter，FDF），所设计的FDF不仅对故障灵敏，同时对外界扰动具有鲁棒性。最后给出数值算例验证所提出的故障检测方法的有效性。
作如下符号说明：对于矩阵A，AT和A-1分别表示它的转置和逆矩阵。对于一个对称矩阵A，A>（≥）0和A<（≤）0分别表示正定（半正定）和负定（半负定）。表示对角矩阵。I，0表示具有合适维数的单位矩阵和零矩阵。一个矩阵中的符号*表示对称位置的元素。表示上平方可积的函数集合。
2.问题描述
考虑如下的线性时不变系统：
（1）
其中，，，，分别是状态向量，控制输入向量，被控对象测量输出，外界扰动和故障输入；被假设属于；A，B，Bw，E，C，Dw是具有适当维数的常数矩阵。
图1为具有随机丢包和故障的网络控制系统结构图，假定传感器为时钟驱动，控制器和执行器均为事件驱动。这里我们考虑传感器具有时变采样周期。定义为第时刻采样周期长度，定义和分别是时变采样周期所允许的的最小值和最大值，即采样周期，。
动态系统变采样离散化得到：
（2）
其中：
定义我们有：
因此重新写为：
（3）
其中：
为了分析丢包的影响，下面对网络的丢包现象进行建模。
假设丢包后控制器接收到的测量输出和控制信号分别为：
（4）
（5）
，是满足Bernoulli 分布序列的随机变量，其概率为：
（6）
（7）
当=1表示控制对象到控制器之间数据包成功传输，=0表示数据包丢失。当=1表示控制器到执行器之间数据包成功传输，=0表示数据包丢失。
，是相互独立的随机变量，有下面的式子成立。
（8）
其中：
我们定义：
则有：
则有：
由上述定义，式子等价于：
（9）
考虑采样周期，系统中的参数是一个不确定的参数且，其中是正定标量：
引理1：给定具有适当维数的矩阵：
，则：
对所有满足的都成立的充要条件是存在正数使得下式成立：
3.故障检测方案
3.1 故障检测滤波器设计
假设系统可观测，则构造如下基于状态观测器的故障检测滤波器：
（10）
其中是残差信号，是被设计的参数。
定义：，有：
（11）
定义：
，得到故障检测系统： （12）
其中：
我们寻找观测器增益矩阵L，使得对于变化的采样周期和多通道丢包，系统渐进稳定，并且具有范数界。
定理1：对于给定的标量，如果存在和对称正定矩阵，使得线性矩阵不等式对于每个可能的采样周期都成立。系统渐近稳定，并且具有范数界。
（13）
其中：
和：
证明：考虑如下的Lyapunov函数
（14）
其中，是具有恰当维数的实对称正定矩阵。
在时， 有：
其中：
其中：
对于，下面证明：
即证明。利用Schur补定理，等价于：
（16）
其中：
令：
则等价于：
（17）
其中：
由引理1，等价于：
（18）
式子应用Schur补定理，左右二边分别乘于及其转置。并定义，。由不等式，即有则得到定理1。如果矩阵不等式是可行的，使得对于所有不确定的时变采样周期和丢包，故障检测系统渐进稳定，满足性能指标。证明结束。
3.2 残差评估
设计基于观测器的FDF ，使得故障检测系统渐进稳定，且满足如下性能指标。
（19）
我们定义残差评估函数为：
（20）
其中为仿真步长。
选取阈值为：
（21）
得到故障检测的评判规则为：
（22）
4.算例
考虑线性时不变系统：
根据定理1，利用LMI工具箱得到：
在有限时间窗口0-500秒内，假设系统初始状态为；采样周期在0.11s，0.13s，0.17，0.2s值间依次变化；数据包传输率，，；假设控制信号在3s，7s，11s…时刻丢失，测量信号成功传输，测量信号在3s，7s，11s…时刻丢失，即数据包在传输过程每四个数据包有一个数据包丢失；外界扰动输入和控制器的输出分别为：
其中和分别是和第时刻的采样值。
故障信号假设为：
其中是第时刻的采样值。
图2 残差信号
图3 残差评估函数
图2给出的是残差的仿真结果，图3给出的是残差评估函数的仿真结果。从图2可以看出残差在100s迅速增大，这表明故障发生。由此可知，所设计的FDF能够检测出故障，并且对外界扰动具有鲁棒性。
5.结论
本文研究了具有时变采样周期和多通道数据包丢失的网络控制系统故障检测问题，考虑传感器与控制器之间及控制器与执行器之间的数据包丢失，并将其用满足Bernoulli分布的相互独立的随机变量来描述。利用参数不确定的方法处理时变采样周期，建立了系统的离散化模型。基于建立的模型，设计基于观测器的FDF，给出了故障检测系统均方稳定的充要条件。所设计的FDF不仅对故障灵敏，同时对外界扰动具有鲁棒性。数值算例表明本文所提出的故障检测方法是有效的。
参考文献
[1]J.P.Hespanha，P.Naghshtabrizi，Y.G.Xu.A survey of recent results in networked control systems[J].Proceedings of the IEEE，2007，95（1）：138-162.
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[4]Y.L.Wang，Q.L.Han，X.Yu.Performance optimization for networked control systems with limited channels and data drift[C].//Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control.Atlanta，GA，USA：IEEE，2010：6704-6709.
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[6]W.A.Zhang，L.Yu，G.Feng.Optimal linear estimation for networked systems with communication constraints[J].Automatica，2011，5（20）：1993-2000.
[7]Y.Q.Wang，H.Ye，S.X.Ding.A new fault detection scheme for networked control systems subject to uncertain time-varying delay[J].IEEE Transactions on signal processing，2008，56（10）：5258-5268. [8]Y.Q.Wang，H.Ye，S.X.Ding，et al.Residual generation and evaluation of networked control systems subject to random packet dropout[J].Automatica，2009，45（10）：2427-2434.
[9]X.He，Z.D.Wang，Y.D.Ji，et al.Robust fault detection for networked systems with distributed sensors[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011，47（1）：166-177.
[10]Y.L.Wang，Q.L.Han，W.T.Liu.Fault detection filter design for discrete-time networked control systems[C].//Proceedings of 24th Chinese Control and Decision Conference.Taiyuan，China：IEEE，2012：2472-2477.
[11]W.Li，P.Zhang，X.S.Ding，et al.Fault detection over nosiy wireless channels[C].//Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control.New Orleans，USA：IEEE，2007：5050-5055.
[12]D.Yue，Q.L.Han，J.Lam.Network-based robust control of systems with uncertainty[J].Automatica，2005，41：999-1007.
[13]Y.L.Wang，G.H.Yang.State feedback control of networked control systems with passive time-varying sampling period[C].//Proceedings of the 2008 Chinese Control and Decision Conference，Yantai，China：IEEE，2008：307-312.
[14]R.Lozano，P.Castillo，P.Garcia，et al.Robust prediction-based control for unstable delay systems：application to the yaw control of a mini-helicopter[J].Automatica，2004，40：603-612.
[15]M.Sahebsara，T.Chen，S.L.Shah.Optimal filtering in network control systems with multiple packet dropout IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（2）：1508-1513.
作者简介：熊洁（1987—），女，安徽合肥人，江苏科技大学工学硕士研究生，主要研究方向：网络控制系统故障检测。