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摘 要：傅里叶变换在物理学、信号学、图像处理等方面有着广泛应用，充分利用其旋转、平移、对称、卷积等性质将为生产实践提供很大服务。本文利用matlab强大的图像处理功能，以自定义的1000*1000二值图像为基础数据，验证傅里叶变换的旋转性质和平移性质。
关键词：matlab；傅里叶变换；旋转；平移；
文章编号：1674-3520（2015）-12-00-01
一、引言
在信号处理中，DFT的计算具有举足轻重的地位。信号的相关、滤波、谱估计等都要通过DFT来实现。然而，当N很大的时候，求一个N点的DFT要完成N*N次复数乘法和N（N-1）次复数加法，其计算量相当大。1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey巧妙的利用WN因子的周期性和对称性，构造了一个DFT快速算法，即快速傅里叶变化（FFT）。由于各个科学技术领域广泛的使用了FFT技术，从而及大地推动了信号处理技术的进步，现已成为数字信号处理强有力的工具，本论文将比较全面的叙述傅里叶变换算法的原理、特点，并完成了基于MATLAB的实现。
二、傅里叶变换
傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某個函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。傅里叶变换在数学中的定义很严格。设为x的函数，如果满足条件：具有有限个间隔点，有限个极值点，绝对可积，则有下列二式成立：
式中，x为时域（对应频域）变量，u为时间（对应频率）变量 。如果令，则有
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出，如今在不同的研究领域傅里叶变换具有多种不同的变体形式。傅里叶原理表明任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。目前，傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。根据傅里叶变换卷积性质，可以把一些不直观的、难理解的卷积转换到频域中做乘法运算，然后再做傅里叶逆变换，达到期望的效果。快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法按N的组成情况可分成N为2的整数幂的算法、N为高复合数的算法、N为素数的算法三种情况。
傅里叶变换是线性算子，具有可分性、相关性、共轭对称性、旋转性、比例变换特性、空域平移性、频域平移性等性质。
三、傅里叶变换的性质
（一）旋转性
如果图像函数在空间域旋转的角度为，则在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同一角度，即
（二）空域平移性
空间内图像的原点平移到后，其对应的傅里叶变换关系式为：
（三）频域平移性
频域（变换域）谱的原点平移到后，其对应的傅里叶逆变换关系式为：
四、Matlab实例验证
Matlab具有强大的计算功能和丰富的工具箱函数，用Matlab处理图像的优点主要表现在：Matlab已经将数学算法编成了现成的函数，代码短小，编程效率高；具有强大的矩阵计算功能，能高效实现图像处理运算；强大的图形表达功能；扩展性良好，用户能自己编写M文件，组成自己的工具箱。
在matlab中，fftshift函数把傅里叶变换的零频率部分移到频谱的中间，其调用格式为。具体来说，把fft函数、fft2函数和fftn函数输出的结果的零频率部分移到数组的中间，对于观察傅里叶变换频谱中间零频率部分十分有效。对于向量，把X左右部分交换一下；对于矩阵，把X的一、三象限和二、四象限交换；对于高维数组，在每维交换X的半空间。
（一）旋转性
傅里叶变换的旋转性质验证主要通过图像负向旋转45度后的傅里叶变换频谱比较实现。
因此，可得出结论：若图像f（x，y）旋转θ，则它的傅里叶变换频谱也旋转θ。这验证了傅里叶旋转公式的结论。同时，我们发现图像正负向旋转相同角度，其频谱变换也一样，间接验证了傅里叶变换整体上的共轭对称性，通过对不同角度正负向旋转进行试验，其频谱变换也是一样。
（二）平移性
傅里叶变换的平移性质验证主要通过对原始图像、图像沿x轴移动和图像沿y轴移动、图像沿xy两轴都移动后的傅里叶变换频谱比较实现。
五、结语
通过以上matlab实验，验证了傅里叶变换的旋转性质和平移性质。傅里叶变换有着很好的理论背景，其在空间滤波、光学信息、图像处理中都发挥着重要作用。随着图像处理所用的计算机设备不断降价、支持傅里叶变换的硬件的出现，傅里叶变换在数字图像处理领域将得到进一步发展。
参考文献：
[1]王家文.MATLAB6.5图形图像处理[M]. 北京：国防工业出版社，2004.
[2]赵军芳. 傅里叶变换在数字图像处理中的应用[J].国外电子测量技术， 2004， 23（6）： 17-20.
[3]杨文涛. 分数傅里叶变换在数字图像处理中的应用研究[D].华中科技大学， 2007.
[4]杨丽娟，张白桦，叶旭桢. 快速傅里叶变换FFT及其应用[J].光电工程， 2004， 31（1）： 1-3.
作者简介：李晓宁，测绘制图，天津市西青区李七庄凌口昌凌路天津市测绘院，邮编300381，联系电话13821114596，邮箱[email protected]
关键词：matlab；傅里叶变换；旋转；平移；
文章编号：1674-3520（2015）-12-00-01
一、引言
在信号处理中，DFT的计算具有举足轻重的地位。信号的相关、滤波、谱估计等都要通过DFT来实现。然而，当N很大的时候，求一个N点的DFT要完成N*N次复数乘法和N（N-1）次复数加法，其计算量相当大。1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey巧妙的利用WN因子的周期性和对称性，构造了一个DFT快速算法，即快速傅里叶变化（FFT）。由于各个科学技术领域广泛的使用了FFT技术，从而及大地推动了信号处理技术的进步，现已成为数字信号处理强有力的工具，本论文将比较全面的叙述傅里叶变换算法的原理、特点，并完成了基于MATLAB的实现。
二、傅里叶变换
傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某個函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。傅里叶变换在数学中的定义很严格。设为x的函数，如果满足条件：具有有限个间隔点，有限个极值点，绝对可积，则有下列二式成立：
式中，x为时域（对应频域）变量，u为时间（对应频率）变量 。如果令，则有
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出，如今在不同的研究领域傅里叶变换具有多种不同的变体形式。傅里叶原理表明任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。目前，傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。根据傅里叶变换卷积性质，可以把一些不直观的、难理解的卷积转换到频域中做乘法运算，然后再做傅里叶逆变换，达到期望的效果。快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法按N的组成情况可分成N为2的整数幂的算法、N为高复合数的算法、N为素数的算法三种情况。
傅里叶变换是线性算子，具有可分性、相关性、共轭对称性、旋转性、比例变换特性、空域平移性、频域平移性等性质。
三、傅里叶变换的性质
（一）旋转性
如果图像函数在空间域旋转的角度为，则在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同一角度，即
（二）空域平移性
空间内图像的原点平移到后，其对应的傅里叶变换关系式为：
（三）频域平移性
频域（变换域）谱的原点平移到后，其对应的傅里叶逆变换关系式为：
四、Matlab实例验证
Matlab具有强大的计算功能和丰富的工具箱函数，用Matlab处理图像的优点主要表现在：Matlab已经将数学算法编成了现成的函数，代码短小，编程效率高；具有强大的矩阵计算功能，能高效实现图像处理运算；强大的图形表达功能；扩展性良好，用户能自己编写M文件，组成自己的工具箱。
在matlab中，fftshift函数把傅里叶变换的零频率部分移到频谱的中间，其调用格式为。具体来说，把fft函数、fft2函数和fftn函数输出的结果的零频率部分移到数组的中间，对于观察傅里叶变换频谱中间零频率部分十分有效。对于向量，把X左右部分交换一下；对于矩阵，把X的一、三象限和二、四象限交换；对于高维数组，在每维交换X的半空间。
（一）旋转性
傅里叶变换的旋转性质验证主要通过图像负向旋转45度后的傅里叶变换频谱比较实现。
因此，可得出结论：若图像f（x，y）旋转θ，则它的傅里叶变换频谱也旋转θ。这验证了傅里叶旋转公式的结论。同时，我们发现图像正负向旋转相同角度，其频谱变换也一样，间接验证了傅里叶变换整体上的共轭对称性，通过对不同角度正负向旋转进行试验，其频谱变换也是一样。
（二）平移性
傅里叶变换的平移性质验证主要通过对原始图像、图像沿x轴移动和图像沿y轴移动、图像沿xy两轴都移动后的傅里叶变换频谱比较实现。
五、结语
通过以上matlab实验，验证了傅里叶变换的旋转性质和平移性质。傅里叶变换有着很好的理论背景，其在空间滤波、光学信息、图像处理中都发挥着重要作用。随着图像处理所用的计算机设备不断降价、支持傅里叶变换的硬件的出现，傅里叶变换在数字图像处理领域将得到进一步发展。
参考文献：
[1]王家文.MATLAB6.5图形图像处理[M]. 北京：国防工业出版社，2004.
[2]赵军芳. 傅里叶变换在数字图像处理中的应用[J].国外电子测量技术， 2004， 23（6）： 17-20.
[3]杨文涛. 分数傅里叶变换在数字图像处理中的应用研究[D].华中科技大学， 2007.
[4]杨丽娟，张白桦，叶旭桢. 快速傅里叶变换FFT及其应用[J].光电工程， 2004， 31（1）： 1-3.
作者简介：李晓宁，测绘制图，天津市西青区李七庄凌口昌凌路天津市测绘院，邮编300381，联系电话13821114596，邮箱[email protected]