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基本不等式(也可叫均值不等式)ab≤a+b2(a≥0,b≥0)是一个十分重要的不等式,它在高中数学中有着广泛的运用,本文就基本不等式及其应用展开讨论.
一、基本不等式及其意义
定理:如果a,b是非负实数,那么ab≤a+b2(当且仅当a=b时取“=”).
1.代数意义:如果把a+b2看作两正数a,b的等差中项,ab看作是两个正数a,b的等比中项,那么均值不等式可叙述为:两个正数的等差中项不小于他们的等比中项.
2.几何意义:均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.
3.结构特点:均值不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等交换.
4.公式的拓展:
(1)ab+ba≥2(a,b同号),等号成立当且仅当a=b.
(2)a,b∈R+,21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22等号成立当且仅当a=b.
二、基本不等式的应用
1.证明不等式
例1 a,b,c∈R+,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
证:∵a,b,c∈R+,∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ca>0,
三式相乘得(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab•2bc•2ca=8abc.等号成立当且仅当a=b=c.
说明 证明此类不等式时,若要用到两式相乘,一定要满足正数的条件,同时要注意等号能否同时成立.
例2 求证:4a-3+a≥7(其中a>3).
证:∵4a-3+a=4a-3+a-3+3,
∴4a-3+a-3+3≥24a-3•(a-3)+3=24+3=7,当且仅当4a-3=a-3,即a=5时取等号.
说明 通过加减项的方法配凑成使用基本不等式结构是解题的关键.
例3 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.
证明:1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=13时等号成立.
说明 (1)“1”的代换是本题解题的突破口;(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc恰当的“拆”、“配”成3+ba+ab+ca+ac+cb+bc,这一步为使用基本不等式创造了条件,而ba+ab≥2(a,b同号)这一结论以后经常用到.
例4 已知a,b∈R+,且a+b=1,求证:a+12+b+12≤2.
解:∵a,b∈R+且a+b=1,∴a+12•1≤a+12+12=12a+34,当且仅当a+12=1时,即a=12时取等号,同理b+12≤12b+34,b=12时等号成立.
∴a+12+b+12≤12a+34+12b+34=12(a+b)+32=2.当且仅当a=b=12时取等号,∴原不等式成立.
说明 本题也可以用a+b2≤a2+b22来证.即12a+12+b+12≤a+12+b+122=1,∴a+12+b+12≤2,当且仅当a+12=b+12即a=b=12时成立.
2.求函数的最值
例5 求:(1)若x>0,求f(x)=12x+3x的最小值;
(2)若x<0,求f(x)=12x+3x的最大值.
解:(1)∵x>0,由基本不等式得,f(x)=12x+3x≥212x•3x=236=12,当且仅当3x=12x时,即x=2时,f(x)取最小值12.
(2)∵x<0,∴-x>0,则-f(x)=12-x+(-3x)≥212-x•(-3)x=12.即f(x)≤-12,当且仅当12-x=-3x时,即x=-2时,f(x)取最大值为-12.
说明 运用基本不等式求函数的最值时,特别注意“一正,二定,三相等”的条件,缺一不可,这里的三个条件是有序的,“一正”是前提,“二定”是指在“相等”之前就为定值,“三相等”是指等号必须取到,解题时,必须逐一检查这三点是否都已具备,否则容易出错.
例6 求函数y=x2+8x-1(x>1)的最小值.
解:y=x2-1+9x-1=(x-1)+9x-1+2.
∵x-1>0,∴y≥2(x-1)•9x-1+1=8,当且仅当x-1=9x-1,即x=4时取“=”号,
∴ymin=8.
说明 运用基本不等式求最值常用的变形技巧有:①运用拆项和凑项的方法变成和式或积式,②凑配出和为定值,③凑配出积为定值,④将限制条件整体代入,再使用基本不等式.
例7 求函数y=2x-1+5-2x12 解:y2=2x-1+5-2x+2(2x-1)(5-2x)
=4+2(2x-1)(5-2x)≤4+2x-1+5-2x=8.
∵y>0,∴y≤22,当且仅当2x-1=5-2x,即x=32时取“=”号,则ymax=22.
3.求取值范围
例8 若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
解:令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,则t2≥2t+3,即t2-2t-3≥0,
解得t≥3或t≤-1(不符题意,舍去).∴ab≥3,∴ab≥9,当a=b=3时取等号.
说明 如何由已知等式ab=a+b+3(a,b∈R+)出发求得ab范围,关键是寻找到a+b与ab的关系,由此联想到a+b≥2ab,这样将已知条件转换为含ab的不等式(ab)2-2ab-3≥0,而解出ab的取值范围.
例9 x>0,y>0,不等式x+y≤ax+y恒成立,求a的取值范围.
解:显然a>0,由题意:a≥x+yx+y恒成立,则a必须大于或等于x+yx+y的最大值,
而x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2,当且仅当x=y时取“=”.
∴x+yx+y的最大值为2.
∴所求的a的取值范围为a≥2.
说明 求a的取值范围,转化为求x+yx+y的最大值,是求有关恒成立问题的一种常见手段.
4.解应用问题
例10 如图,△ABC是某屋顶的断面,CD⊥AB,横梁AB的长是竖梁CD长的2倍,设计时应使y=tanA+2tanB保持最小,试确定D点的位置,并求y的最小值.
解:设AD=x,CD=1,则AB=2,BD=2-x(0<x<2)
令y=tanA+2tanB=CDAD+2CDBD=1x+22-x=-1x+2+8x+2-6,
∵x+2+8x+2≥42,当且仅当(x+2)2=8,x=22-2时取等号.
∴当x=22-2时,y的最小值为-142-6=3+222.
此时DB=2-(22-2)=4-22,AD∶DB=22-24-22=12.
答:取AD∶DB=1∶2时,y有最小值为3+222.
例11 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧砌砖墙,每米造价45元,顶部平米造价20元.试问:
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S到达最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
解:设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy=3200.
(1)由基本不等式,得3200≥240x•90y+20xy=120S+20S,
∴S+6S≤160,即(S+16)(S-10)≤0,∴S≤100.
∴S的最大允许值是100平方米.
(2)S取得最大值的条件是40x=90y,又xy=100,由此解得x=15.
∴正面铁栅的长度应设计为15米.
例12 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次,两次的芯片价格不同,甲公司每次购10000片芯片,乙公司每次购进10000元芯片.哪家公司平均成本较低?请说明理由.
解:设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元,那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10000(a+b)20000=a+b2(元/片);乙公司两次购电脑芯片的平均价格为21a+1b(元/片).
∵a>0,b>0,且a≠b,
∴1a+1b>21ab=2ab,即21a+1b21a+1b.
答:乙公司的平均成本较低.
说明 利用基本不等式求最值,在实际问题中有着广泛的应用,有关最大、最小、最快、最省等最值问题,常常可以通过构造不等式模型,再运用基本不等式求最值使其获解,解题的关键是不等式模型的建立和基本不等式的正确运用.
三、自我评价
以下问题,同学们在阅读完上面的内容后不妨一试.
1.已知正数a,b满足a+b=1,则1a+1b的最小值为 .
2.若0≤x≤1时,函数y=x1-x2的最大值为 .
3.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1.求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
4.已知a,b,c,d是正实数.求证:ad+bcbd+bc+adac≥4.
5.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.问该厂每多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最低?
┈参┈考┈答┈案┈
1.4
2.12
3.(略)
4.(略)
5.解设该厂应每隔x天购买一次面粉,其面粉的保管费用为:
3[6x+6(x-1)+…+6×2+6]=9x(x+1)(元).
又设平均每天支付的总费用为y元,则y=9x(x+1)+900x+6×1800=9(x+100x)+10809.
∵x>0,∴x+100x≥2x•100x=20,当且仅当x=10时取等号.
答:该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的费用最低.
(作者:吴锷,江苏省苏州市第十中学)
一、基本不等式及其意义
定理:如果a,b是非负实数,那么ab≤a+b2(当且仅当a=b时取“=”).
1.代数意义:如果把a+b2看作两正数a,b的等差中项,ab看作是两个正数a,b的等比中项,那么均值不等式可叙述为:两个正数的等差中项不小于他们的等比中项.
2.几何意义:均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.
3.结构特点:均值不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等交换.
4.公式的拓展:
(1)ab+ba≥2(a,b同号),等号成立当且仅当a=b.
(2)a,b∈R+,21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22等号成立当且仅当a=b.
二、基本不等式的应用
1.证明不等式
例1 a,b,c∈R+,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
证:∵a,b,c∈R+,∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ca>0,
三式相乘得(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab•2bc•2ca=8abc.等号成立当且仅当a=b=c.
说明 证明此类不等式时,若要用到两式相乘,一定要满足正数的条件,同时要注意等号能否同时成立.
例2 求证:4a-3+a≥7(其中a>3).
证:∵4a-3+a=4a-3+a-3+3,
∴4a-3+a-3+3≥24a-3•(a-3)+3=24+3=7,当且仅当4a-3=a-3,即a=5时取等号.
说明 通过加减项的方法配凑成使用基本不等式结构是解题的关键.
例3 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.
证明:1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=13时等号成立.
说明 (1)“1”的代换是本题解题的突破口;(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc恰当的“拆”、“配”成3+ba+ab+ca+ac+cb+bc,这一步为使用基本不等式创造了条件,而ba+ab≥2(a,b同号)这一结论以后经常用到.
例4 已知a,b∈R+,且a+b=1,求证:a+12+b+12≤2.
解:∵a,b∈R+且a+b=1,∴a+12•1≤a+12+12=12a+34,当且仅当a+12=1时,即a=12时取等号,同理b+12≤12b+34,b=12时等号成立.
∴a+12+b+12≤12a+34+12b+34=12(a+b)+32=2.当且仅当a=b=12时取等号,∴原不等式成立.
说明 本题也可以用a+b2≤a2+b22来证.即12a+12+b+12≤a+12+b+122=1,∴a+12+b+12≤2,当且仅当a+12=b+12即a=b=12时成立.
2.求函数的最值
例5 求:(1)若x>0,求f(x)=12x+3x的最小值;
(2)若x<0,求f(x)=12x+3x的最大值.
解:(1)∵x>0,由基本不等式得,f(x)=12x+3x≥212x•3x=236=12,当且仅当3x=12x时,即x=2时,f(x)取最小值12.
(2)∵x<0,∴-x>0,则-f(x)=12-x+(-3x)≥212-x•(-3)x=12.即f(x)≤-12,当且仅当12-x=-3x时,即x=-2时,f(x)取最大值为-12.
说明 运用基本不等式求函数的最值时,特别注意“一正,二定,三相等”的条件,缺一不可,这里的三个条件是有序的,“一正”是前提,“二定”是指在“相等”之前就为定值,“三相等”是指等号必须取到,解题时,必须逐一检查这三点是否都已具备,否则容易出错.
例6 求函数y=x2+8x-1(x>1)的最小值.
解:y=x2-1+9x-1=(x-1)+9x-1+2.
∵x-1>0,∴y≥2(x-1)•9x-1+1=8,当且仅当x-1=9x-1,即x=4时取“=”号,
∴ymin=8.
说明 运用基本不等式求最值常用的变形技巧有:①运用拆项和凑项的方法变成和式或积式,②凑配出和为定值,③凑配出积为定值,④将限制条件整体代入,再使用基本不等式.
例7 求函数y=2x-1+5-2x12
=4+2(2x-1)(5-2x)≤4+2x-1+5-2x=8.
∵y>0,∴y≤22,当且仅当2x-1=5-2x,即x=32时取“=”号,则ymax=22.
3.求取值范围
例8 若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
解:令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,则t2≥2t+3,即t2-2t-3≥0,
解得t≥3或t≤-1(不符题意,舍去).∴ab≥3,∴ab≥9,当a=b=3时取等号.
说明 如何由已知等式ab=a+b+3(a,b∈R+)出发求得ab范围,关键是寻找到a+b与ab的关系,由此联想到a+b≥2ab,这样将已知条件转换为含ab的不等式(ab)2-2ab-3≥0,而解出ab的取值范围.
例9 x>0,y>0,不等式x+y≤ax+y恒成立,求a的取值范围.
解:显然a>0,由题意:a≥x+yx+y恒成立,则a必须大于或等于x+yx+y的最大值,
而x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2,当且仅当x=y时取“=”.
∴x+yx+y的最大值为2.
∴所求的a的取值范围为a≥2.
说明 求a的取值范围,转化为求x+yx+y的最大值,是求有关恒成立问题的一种常见手段.
4.解应用问题
例10 如图,△ABC是某屋顶的断面,CD⊥AB,横梁AB的长是竖梁CD长的2倍,设计时应使y=tanA+2tanB保持最小,试确定D点的位置,并求y的最小值.
解:设AD=x,CD=1,则AB=2,BD=2-x(0<x<2)
令y=tanA+2tanB=CDAD+2CDBD=1x+22-x=-1x+2+8x+2-6,
∵x+2+8x+2≥42,当且仅当(x+2)2=8,x=22-2时取等号.
∴当x=22-2时,y的最小值为-142-6=3+222.
此时DB=2-(22-2)=4-22,AD∶DB=22-24-22=12.
答:取AD∶DB=1∶2时,y有最小值为3+222.
例11 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧砌砖墙,每米造价45元,顶部平米造价20元.试问:
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S到达最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
解:设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy=3200.
(1)由基本不等式,得3200≥240x•90y+20xy=120S+20S,
∴S+6S≤160,即(S+16)(S-10)≤0,∴S≤100.
∴S的最大允许值是100平方米.
(2)S取得最大值的条件是40x=90y,又xy=100,由此解得x=15.
∴正面铁栅的长度应设计为15米.
例12 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次,两次的芯片价格不同,甲公司每次购10000片芯片,乙公司每次购进10000元芯片.哪家公司平均成本较低?请说明理由.
解:设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元,那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10000(a+b)20000=a+b2(元/片);乙公司两次购电脑芯片的平均价格为21a+1b(元/片).
∵a>0,b>0,且a≠b,
∴1a+1b>21ab=2ab,即21a+1b
答:乙公司的平均成本较低.
说明 利用基本不等式求最值,在实际问题中有着广泛的应用,有关最大、最小、最快、最省等最值问题,常常可以通过构造不等式模型,再运用基本不等式求最值使其获解,解题的关键是不等式模型的建立和基本不等式的正确运用.
三、自我评价
以下问题,同学们在阅读完上面的内容后不妨一试.
1.已知正数a,b满足a+b=1,则1a+1b的最小值为 .
2.若0≤x≤1时,函数y=x1-x2的最大值为 .
3.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1.求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
4.已知a,b,c,d是正实数.求证:ad+bcbd+bc+adac≥4.
5.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.问该厂每多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最低?
┈参┈考┈答┈案┈
1.4
2.12
3.(略)
4.(略)
5.解设该厂应每隔x天购买一次面粉,其面粉的保管费用为:
3[6x+6(x-1)+…+6×2+6]=9x(x+1)(元).
又设平均每天支付的总费用为y元,则y=9x(x+1)+900x+6×1800=9(x+100x)+10809.
∵x>0,∴x+100x≥2x•100x=20,当且仅当x=10时取等号.
答:该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的费用最低.
(作者:吴锷,江苏省苏州市第十中学)