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在近年的数学教学中，我发现了不少体现新课标精神的新题型，这些试题在考查学生掌握基本数学知识和技能、数学思想和方法，还突出考察了学生观察、分析、归纳、探究总结能力，现就我在关于勾股定理及其应用中发现的一些规律总结如下，以供同仁和读者参考应用。
1.巧用公式省事多
1.1 在学习勾股数时，不少学生记不住勾股数，但只要我们掌握规律了，一切都好办了。观察3、4、5；5、12、13；7、24、25------发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，发现：
勾 股 弦
3 4=1/2（32-1） 5=1/2（32+1）
5 12=1/2（52-1） 13=1/2（52+1）
7 24=1/2（72-1） 25=1/2（72+1）
9 40=1/2（92-1） 41=1/2【（2n+1）2+1】-------
我们发现规律：当勾=2n+1（奇数）时，股=1/2【（2n+1）2-1] =2n2+2n 弦=【（2n+1）2+1]=2n2+2n+1因此只要我们用到以奇数为勾的勾股数，套公式2n+1、+2n、+2n+1就可求得，不必死记硬背。
1.2 在学习勾股数时，我们还观察到6、8、10；8、15、17；12、16、20------发现这些勾股数的勾都是偶数，且从6开始就从未间断过。我们发现：
勾 股 弦
6=2×3 8=32-1 10=32+1
8=2×4 15=42-1 17=42+1
10=2×5 24=52-1 26=52+1
12=2×6 35=62-1 37=62+1
14=2×7 48=n2-1 50=72+1
------我们也发现了规律：当勾=2n（n>>3）为偶数时，股=n2-1 弦=n2+1因此只要我们需要以偶数为勾的勾股数时，就从公式2n、n2-1、n2+1（n>>3）中找。
2.活用规律更省事
2.1 在我们学习勾股定理时，我们发现Rt△ABC三边向外做三个正方形，如图：我们发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2∵S正BFEC=S=a2S正ACGH=S2=b2S正ABNM=S3=C2∴S1+S2=S3
小面积+中面积=大面积
2.2 在我们学习勾股定理时，我们发现在Rt△ABC三边向外做三个半圆，如图：我们也发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵S半圆1=S1=π2（b2）2=18πb2S半圆2==S2=π2（a2）2=18πa2 S半圆3=S3=π2（c2）2=18πc2∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.3 在我们学习勾股定理时，我们发现从 △Rt ABC三边向外做三个正三角形，如图：我们发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵SACE=S1=12b2SIN600=34b2SBCF=12a2SIN60034a2SABD=S3=12c2SIN600=34c2∴S1+S2=34a2+34b2=34（a2+b2）=34c2=S3∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.4 在我们学习勾股定理时，我们发现Rt△ABC三边向外做三个等腰直角三角形，如图：我们也发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵SBCF=S1=12a2SADC=S2=12b2SABE=S3=12c2∴S1+S2=12a2+12b2=12（a2+b2）=12c2=S3∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.5 我们在勾股定理中总结的：“小面积+中面积=大面积”可以巧妙地应用在较复杂几何题形中。如图，
Rt△ABC、Rt△BDE、正方形ACHG、正方形DIME都在同一直线上，四边形ABEF也是正方形，我们也和利用规律：S1+S2=S3 （小面积 + 中面积 = 大面积 ）
理由∵∠ABC+∠BAC=900
又∵∠ABC+∠EBD=900
∴∠BAC=∠EBD又∵∠ACB=∠EDB= 900且AB=BE∴△ACB≌BDE（AAS）
AC=BD=b BC=DE=a
又在Rt△ABC 有a2+b2=c2且S正ABEF=S1=b2S正DEMI=S2=a2S正ABEF=S3=c2
∴S1+S2=S3
小面积 + 中面积 = 大面积
2.6 我们将上面总结的规律：S1+S2=S3 （小面积 + 中面积 = 大面积）可应用于更复杂几何题中。如图：
已知面积为S1、S2、S3、S4的四边形都为正方形且在同一直线L上，面积为S5、S6、S7的正方形得一个顶点也在直线L上，三角形都为直角三角形且有一条直角边在直线L
上.
有规律：S1+S2+S3+S4=S5+S6
理由：由5总结的规律：S1+S2=S5 S3+S4=S6
∴小面积 + 中面积 = 大面积
S1+S2+S3+S4=S5+S6
总之，在数学教学和学习中，只要做到善于观察，勤与分析，会探究归纳总结，巧用规律，在数学教学和学习中一定会起到事半功倍的效果。
1.巧用公式省事多
1.1 在学习勾股数时，不少学生记不住勾股数，但只要我们掌握规律了，一切都好办了。观察3、4、5；5、12、13；7、24、25------发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，发现：
勾 股 弦
3 4=1/2（32-1） 5=1/2（32+1）
5 12=1/2（52-1） 13=1/2（52+1）
7 24=1/2（72-1） 25=1/2（72+1）
9 40=1/2（92-1） 41=1/2【（2n+1）2+1】-------
我们发现规律：当勾=2n+1（奇数）时，股=1/2【（2n+1）2-1] =2n2+2n 弦=【（2n+1）2+1]=2n2+2n+1因此只要我们用到以奇数为勾的勾股数，套公式2n+1、+2n、+2n+1就可求得，不必死记硬背。
1.2 在学习勾股数时，我们还观察到6、8、10；8、15、17；12、16、20------发现这些勾股数的勾都是偶数，且从6开始就从未间断过。我们发现：
勾 股 弦
6=2×3 8=32-1 10=32+1
8=2×4 15=42-1 17=42+1
10=2×5 24=52-1 26=52+1
12=2×6 35=62-1 37=62+1
14=2×7 48=n2-1 50=72+1
------我们也发现了规律：当勾=2n（n>>3）为偶数时，股=n2-1 弦=n2+1因此只要我们需要以偶数为勾的勾股数时，就从公式2n、n2-1、n2+1（n>>3）中找。
2.活用规律更省事
2.1 在我们学习勾股定理时，我们发现Rt△ABC三边向外做三个正方形，如图：我们发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2∵S正BFEC=S=a2S正ACGH=S2=b2S正ABNM=S3=C2∴S1+S2=S3
小面积+中面积=大面积
2.2 在我们学习勾股定理时，我们发现在Rt△ABC三边向外做三个半圆，如图：我们也发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵S半圆1=S1=π2（b2）2=18πb2S半圆2==S2=π2（a2）2=18πa2 S半圆3=S3=π2（c2）2=18πc2∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.3 在我们学习勾股定理时，我们发现从 △Rt ABC三边向外做三个正三角形，如图：我们发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵SACE=S1=12b2SIN600=34b2SBCF=12a2SIN60034a2SABD=S3=12c2SIN600=34c2∴S1+S2=34a2+34b2=34（a2+b2）=34c2=S3∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.4 在我们学习勾股定理时，我们发现Rt△ABC三边向外做三个等腰直角三角形，如图：我们也发现：S1+S2=S3
理由∵△ABC为Rt△∴a2+b2=c2又∵SBCF=S1=12a2SADC=S2=12b2SABE=S3=12c2∴S1+S2=12a2+12b2=12（a2+b2）=12c2=S3∴S1+S2=S3小面积+中面积=大面积
2.5 我们在勾股定理中总结的：“小面积+中面积=大面积”可以巧妙地应用在较复杂几何题形中。如图，
Rt△ABC、Rt△BDE、正方形ACHG、正方形DIME都在同一直线上，四边形ABEF也是正方形，我们也和利用规律：S1+S2=S3 （小面积 + 中面积 = 大面积 ）
理由∵∠ABC+∠BAC=900
又∵∠ABC+∠EBD=900
∴∠BAC=∠EBD又∵∠ACB=∠EDB= 900且AB=BE∴△ACB≌BDE（AAS）
AC=BD=b BC=DE=a
又在Rt△ABC 有a2+b2=c2且S正ABEF=S1=b2S正DEMI=S2=a2S正ABEF=S3=c2
∴S1+S2=S3
小面积 + 中面积 = 大面积
2.6 我们将上面总结的规律：S1+S2=S3 （小面积 + 中面积 = 大面积）可应用于更复杂几何题中。如图：
已知面积为S1、S2、S3、S4的四边形都为正方形且在同一直线L上，面积为S5、S6、S7的正方形得一个顶点也在直线L上，三角形都为直角三角形且有一条直角边在直线L
上.
有规律：S1+S2+S3+S4=S5+S6
理由：由5总结的规律：S1+S2=S5 S3+S4=S6
∴小面积 + 中面积 = 大面积
S1+S2+S3+S4=S5+S6
总之，在数学教学和学习中，只要做到善于观察，勤与分析，会探究归纳总结，巧用规律，在数学教学和学习中一定会起到事半功倍的效果。