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摘要：文章将股票会支付红利和证券收益率不确定这两种情况考虑进入Sethi & Thompson构建的公司现金管理模型，试图求解一个最优的现金管理策略，即随着时间的变化，公司财务管理人员应该如何分配寄存于银行的资金和投资于证券的资金，从而使该公司以最小的成本满足必要的现金需求。文章通过使用Pontryagin最大化准则，并尝试使用一个新构建的随机情况下的最大化准则来获得了两种情况下的最优的现金管理策略。最后，文章对未来更进一步的研究提出了展望。
关键词：现金管理；股利；随机收益率；最大化准则
1 引言
随着现代市场经济的发展，企业内部管理已慢慢成为一家企业成功与否的关键因素之一。作为企业内部管理的重要组成部分，现金管理，愈发受到企业经理们的重视。增加现金流和改善现金的使用效率，是企业现金管理的主要目标（W.J. Baumol， 1952[1]）。
现金，是所有企业资产中流动性最强的资产，任何一家企业都必须始终保持有一定数额的库存现金，以保证企业日常运营所需的最低现金需求（J. Tobin， 1956[2]）。但是，现金是一个非营利性的资产，若一份货币资金在企业中滞留過久，势必会降低企业的效益，与其任其不管，不如将这部分基本不用的资金投入市场，赚取更多财富。因此，日常现金管理的主要任务就是在保证公司基本现金流的前提下，力争控制其持有的现金在一个尽可能低的水平上（G.D. Eppen & E.F. Fama， 1968[3]）。围绕这一目标，西方企业财务管理专家们付出了很多努力，也已经形成了一系列传统的现金管理理论成果。
Seth & Thompson[4]于1970年在论文Application of mathematical control theory to finance： Modeling Simple Dynamic Cash Balance Problems中对企业现金管理建立了一个确定性模型。Sethi和Thompson的模型不仅为现金管理问题提供了一个具有可行性的方法，而且还对后续的相关研究有实质性的指导意义（R.C. Merton， 1971[5] & G.M. Constantinides， 1976[6]）。接下来，我们就先简要介绍Sethi & Thompson的这个确定性模型。
在Sethi & Thompson的确定性模型中，只考虑了两种金融资产，即银行存款和证券。记在 时刻的银行存款为 ，投资于证券的资金为 ，银行利率为 ，证券收益率为 ，企业现金需求为 ， 。控制变量是在 时刻的证券出售额 ，当公司卖出证券时， 是正数，当公司购入证券时， 是负数。同时， 是有界的，即 ， 且 ，因为公司在每一时刻的证券交易不可能无限制地进行，为了管控风险，公司在每一时刻都需要设定一个合理的证券交易上下限范围。此外，股票交易收费率是 ， 。于是可以得到如下常微分方程组：
其中初值条件为 ， 。目标函数为 ，即每一时刻的公司财富（仅包括银行存款和证券资产）最大。Sethi & Thompson利用Pontryagin最大化准则，求得了控制函数 ，从而得到了一个最优的现金管理策略。
我们则在该模型的基础上，考虑了股票会支付红利的情况，和证券收益率不确定的情况，并求解得到了新情况下的企业现金管理最优路径。
对于股票会支付红利的情况，与Sethi & Thompson一样，我们依据Pontryagin最大化准则来解决我们提出的模型。
对于证券收益率不确定的情况，这种更能够反映真实市场的情况，Sethi & Thompson也对其进行了模型的构建和探索，他们表明，在这种情况下无法得到一个精确的最优控制路径，这也受到了其他研究公司现金管理问题的学者的认同（例如M.H. Miller， 1966[7]）。事实上，当证券收益率不确定时，现金管理模型的最大化问题是一个随机问题（R.G. Vickson， 1971[8]）。当然，以往已有学者对这一问题的求解方法进行了探索。例如，可以采用蒙特卡洛仿真策略来模拟，但是这种方法较为粗糙（S.P. Sethi & G.L. Thompson， 1970[4]）；随机模拟、遗传算法和模拟退火算法的混合智能算法，为模型求解提供了一个不错的新思路，但是这种算法较为冗杂（H.G. Daellenbach， 1985[9]）。因此，我们在参考了前人的研究之后，首先构建了一个随机的证券收益率的描述形式，并新定义了一个带有期望形式的伴随函数，接着根据新定义的伴随函数和Pontryagin最大化准则，求解得到了一个在证券收益率不确定情况下的企业现金管理策略。
2 考虑股票会支付红利的现金管理模型
与Sethi & Thompson的基础模型相似，我们只考虑一个公司投资于证券的资产和现金资产，并同样记在 ， 时刻的银行存款为 ，投资于证券的资金为 ，银行利率为 ，证券收益率为 ，现金需求为 。同时我们记 为证券的分红率。控制变量是在 时刻的证券出售额 ， 是有界的，即 ， 且 。此外，同样记股票交易收费率是 ， 。这样我们就可以得到如下的常微分方程组：
其中初值条件为 ， 。目标函数为 。这就是在股票会支付红利情况下的一个公司现金管理模型。我们根据Pontryagin最大化准则，对该模型进行求解。首先引入 和 这两个伴随函数，令其满足如下的两个微分方程和两个横截条件：
接着，我们根据引入的伴随函数，构造Hamilton函数：
通过选择控制变量使得Hamilton函数最大化，我们就可以得到最优的现金管理策略。可以明显看到，我们构建的Hamilton函数是 的线性函数，从而对于问题的解，一定是bang-bang的形式。因此我们考虑在Hamilton函数中包含 的项： 可以发现，当 时， ，这时如果 ，即伴随函数 与股票交易收费率与 的差的乘积大于或等于伴随函数 时（以下类推），为了使得 尽量大，我们就要让 尽量大。相反，如果 ，则需要让 尽量小，才能使 尽量大。当 时， 的形式为 ，这时如果 ，则 需要尽量小，才能使得 尽量大，相反如果 ，则 需要尽量大才能使得 尽量大。综合以上，我们就得到了如下的控制变量最优路径：
即在我们的假设前提下， 时刻企业的最优现金管理策略，只有将购买的证券的钱花到最大；将能卖出的证券资产全部卖出以及既不买入证券也不卖出证券这三种情况。
这里的伴随函数 和 ，可以通过它们满足的微分方程和横截条件求得：
至此，我们就求得了在考虑股票会支付红利情形下的公司最优现金管理策略。
3 考虑证券收益率不确定下的现金管理模型
3.1 模型和一个描述不确定证券收益率的形式
现在我们考虑当证券收益率不确定时的情形。我们记 为证券收益率， 是一个随机过程。这样，我们的模型就是如下这个形式：
初始条件依旧是 ， 。目标函数同样为 。
接下来，我们考虑构建一个可以描述 的模型。参考以往的关于证券价格的理论与实证研究，我们选择使用Simmons提出的一个描述证券收益率的模型：
这里 是证券价格在 時刻的净收益率， 和 是常数， 是一个具有零均值的随机干扰项。在我们的模型中，我们对Simmons的模型适度简化，令：
且 为服从零均值的正态分布。同时我们允许 和 随时间变化。
根据 的定义，可以给出 ，其中 为证券价格。我们将 视为 在离散时间下的近似，故我们有以下近似的随机微分方程：
其中 。 和 是已知的函数， 是一个零均值，方差为 的随机变量。并假设 是一个白噪声过程，一个高斯不相关过程。
至此我们就构建完成了考虑证券收益率不确定下的企业现金管理模型，并给出了一个较为合理的描述不确定证券收益率的形式。并且，值得注意的是，对于这个描述不确定证券收益率的形式中的参数，可以考虑通过以往的实际数据训练得到。
3.2 一个最优现金管理策略
我们不妨先假设证券收益率是确定的，这样引入的伴随函数 和 就和确定性下的情况一样，满足：
3.3 的计算
根据上文已给出的描述不确定证券收益率的模型，我们首先引入 作为以下方程的解：
4 总结与展望
本文基于Sethi & Thompson的企业现金管理模型，考虑股票会支付红利和证券收益率不确定的两种情况，对模型进行了拓展研究，对于股票会支付红利的情况，我们直接基于Pontryagin最大化准则求解到了企业最优的现金管理策略。而对于证券收益率不确定的情况，我们首先将引入的伴随函数赋予了期望的形式，再根据最大化准则求解得到了最优的现金管理策略。其中对于附有期望形式的伴随函数，我们根据一个描述证券不确定收益率的模型，得到了伴随函数的显示表达。
本文研究的不足之处，首先在于对证券收益率不确定下的模型的最优现金管理策略，其伴随函数的表达依旧较为复杂，增加了在实际应用时需要考虑的因素的数量和实际操作时的复杂程度，表达形式更简洁的不确定性下的最优现金管理策略值得进一步寻找；其次，由于现如今企业内部数据的获取难度较大，我们期望在未来，能够将我们得到的最优现金管理策略进行进一步的实证应用与分析，探索其在社会中的价值。
参考文献
[1] W.J. Baumol， The transactions demand for cash： An inventory theoretic approach[J]， Quarterly Journal of Economics，1952，66（4）：545-556.
[2] J. Tobin， The interest elasticity of transactions demand for cash[J]， Review of Economics and Statistics，1956，38： 241-247.
[3] G.D. Eppen， E.F. Fama， Solutions for cash balance and dynamic portfolio problems[J]， Journal of Business，1968，41（1）： 94-112.
[4] S.P. Sethi， G.L. Thompson， Application of mathematical control theory to finance[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis，1970， 5（45）： 381-394.
[5] R.C. Merton， Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]， Journal of Economic Theory，1971，3（4）： 373-413.
[6] G.M. Constantinides， Stochastic cash management with fixed and proportional transaction costs[J]， Management Science1976，22（12）：1320-1331.
[7] M.H. Miller， O. Orr， A model of the demand for money by firms[J]， Quarterly Journal of Economics，1966，80（3）： 413-435.
[8] R.G. Vickson， Simple optimal policy for cash management： The average balance requirement case[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis1985，20（3）：353-369.
[9] H.G. Daellenbach， A stochastic cash balance model with two sources of short term funds[J]， International Economic Review，1971，12（2）：250-256.
关键词：现金管理；股利；随机收益率；最大化准则
1 引言
随着现代市场经济的发展，企业内部管理已慢慢成为一家企业成功与否的关键因素之一。作为企业内部管理的重要组成部分，现金管理，愈发受到企业经理们的重视。增加现金流和改善现金的使用效率，是企业现金管理的主要目标（W.J. Baumol， 1952[1]）。
现金，是所有企业资产中流动性最强的资产，任何一家企业都必须始终保持有一定数额的库存现金，以保证企业日常运营所需的最低现金需求（J. Tobin， 1956[2]）。但是，现金是一个非营利性的资产，若一份货币资金在企业中滞留過久，势必会降低企业的效益，与其任其不管，不如将这部分基本不用的资金投入市场，赚取更多财富。因此，日常现金管理的主要任务就是在保证公司基本现金流的前提下，力争控制其持有的现金在一个尽可能低的水平上（G.D. Eppen & E.F. Fama， 1968[3]）。围绕这一目标，西方企业财务管理专家们付出了很多努力，也已经形成了一系列传统的现金管理理论成果。
Seth & Thompson[4]于1970年在论文Application of mathematical control theory to finance： Modeling Simple Dynamic Cash Balance Problems中对企业现金管理建立了一个确定性模型。Sethi和Thompson的模型不仅为现金管理问题提供了一个具有可行性的方法，而且还对后续的相关研究有实质性的指导意义（R.C. Merton， 1971[5] & G.M. Constantinides， 1976[6]）。接下来，我们就先简要介绍Sethi & Thompson的这个确定性模型。
在Sethi & Thompson的确定性模型中，只考虑了两种金融资产，即银行存款和证券。记在 时刻的银行存款为 ，投资于证券的资金为 ，银行利率为 ，证券收益率为 ，企业现金需求为 ， 。控制变量是在 时刻的证券出售额 ，当公司卖出证券时， 是正数，当公司购入证券时， 是负数。同时， 是有界的，即 ， 且 ，因为公司在每一时刻的证券交易不可能无限制地进行，为了管控风险，公司在每一时刻都需要设定一个合理的证券交易上下限范围。此外，股票交易收费率是 ， 。于是可以得到如下常微分方程组：
其中初值条件为 ， 。目标函数为 ，即每一时刻的公司财富（仅包括银行存款和证券资产）最大。Sethi & Thompson利用Pontryagin最大化准则，求得了控制函数 ，从而得到了一个最优的现金管理策略。
我们则在该模型的基础上，考虑了股票会支付红利的情况，和证券收益率不确定的情况，并求解得到了新情况下的企业现金管理最优路径。
对于股票会支付红利的情况，与Sethi & Thompson一样，我们依据Pontryagin最大化准则来解决我们提出的模型。
对于证券收益率不确定的情况，这种更能够反映真实市场的情况，Sethi & Thompson也对其进行了模型的构建和探索，他们表明，在这种情况下无法得到一个精确的最优控制路径，这也受到了其他研究公司现金管理问题的学者的认同（例如M.H. Miller， 1966[7]）。事实上，当证券收益率不确定时，现金管理模型的最大化问题是一个随机问题（R.G. Vickson， 1971[8]）。当然，以往已有学者对这一问题的求解方法进行了探索。例如，可以采用蒙特卡洛仿真策略来模拟，但是这种方法较为粗糙（S.P. Sethi & G.L. Thompson， 1970[4]）；随机模拟、遗传算法和模拟退火算法的混合智能算法，为模型求解提供了一个不错的新思路，但是这种算法较为冗杂（H.G. Daellenbach， 1985[9]）。因此，我们在参考了前人的研究之后，首先构建了一个随机的证券收益率的描述形式，并新定义了一个带有期望形式的伴随函数，接着根据新定义的伴随函数和Pontryagin最大化准则，求解得到了一个在证券收益率不确定情况下的企业现金管理策略。
2 考虑股票会支付红利的现金管理模型
与Sethi & Thompson的基础模型相似，我们只考虑一个公司投资于证券的资产和现金资产，并同样记在 ， 时刻的银行存款为 ，投资于证券的资金为 ，银行利率为 ，证券收益率为 ，现金需求为 。同时我们记 为证券的分红率。控制变量是在 时刻的证券出售额 ， 是有界的，即 ， 且 。此外，同样记股票交易收费率是 ， 。这样我们就可以得到如下的常微分方程组：
其中初值条件为 ， 。目标函数为 。这就是在股票会支付红利情况下的一个公司现金管理模型。我们根据Pontryagin最大化准则，对该模型进行求解。首先引入 和 这两个伴随函数，令其满足如下的两个微分方程和两个横截条件：
接着，我们根据引入的伴随函数，构造Hamilton函数：
通过选择控制变量使得Hamilton函数最大化，我们就可以得到最优的现金管理策略。可以明显看到，我们构建的Hamilton函数是 的线性函数，从而对于问题的解，一定是bang-bang的形式。因此我们考虑在Hamilton函数中包含 的项： 可以发现，当 时， ，这时如果 ，即伴随函数 与股票交易收费率与 的差的乘积大于或等于伴随函数 时（以下类推），为了使得 尽量大，我们就要让 尽量大。相反，如果 ，则需要让 尽量小，才能使 尽量大。当 时， 的形式为 ，这时如果 ，则 需要尽量小，才能使得 尽量大，相反如果 ，则 需要尽量大才能使得 尽量大。综合以上，我们就得到了如下的控制变量最优路径：
即在我们的假设前提下， 时刻企业的最优现金管理策略，只有将购买的证券的钱花到最大；将能卖出的证券资产全部卖出以及既不买入证券也不卖出证券这三种情况。
这里的伴随函数 和 ，可以通过它们满足的微分方程和横截条件求得：
至此，我们就求得了在考虑股票会支付红利情形下的公司最优现金管理策略。
3 考虑证券收益率不确定下的现金管理模型
3.1 模型和一个描述不确定证券收益率的形式
现在我们考虑当证券收益率不确定时的情形。我们记 为证券收益率， 是一个随机过程。这样，我们的模型就是如下这个形式：
初始条件依旧是 ， 。目标函数同样为 。
接下来，我们考虑构建一个可以描述 的模型。参考以往的关于证券价格的理论与实证研究，我们选择使用Simmons提出的一个描述证券收益率的模型：
这里 是证券价格在 時刻的净收益率， 和 是常数， 是一个具有零均值的随机干扰项。在我们的模型中，我们对Simmons的模型适度简化，令：
且 为服从零均值的正态分布。同时我们允许 和 随时间变化。
根据 的定义，可以给出 ，其中 为证券价格。我们将 视为 在离散时间下的近似，故我们有以下近似的随机微分方程：
其中 。 和 是已知的函数， 是一个零均值，方差为 的随机变量。并假设 是一个白噪声过程，一个高斯不相关过程。
至此我们就构建完成了考虑证券收益率不确定下的企业现金管理模型，并给出了一个较为合理的描述不确定证券收益率的形式。并且，值得注意的是，对于这个描述不确定证券收益率的形式中的参数，可以考虑通过以往的实际数据训练得到。
3.2 一个最优现金管理策略
我们不妨先假设证券收益率是确定的，这样引入的伴随函数 和 就和确定性下的情况一样，满足：
3.3 的计算
根据上文已给出的描述不确定证券收益率的模型，我们首先引入 作为以下方程的解：
4 总结与展望
本文基于Sethi & Thompson的企业现金管理模型，考虑股票会支付红利和证券收益率不确定的两种情况，对模型进行了拓展研究，对于股票会支付红利的情况，我们直接基于Pontryagin最大化准则求解到了企业最优的现金管理策略。而对于证券收益率不确定的情况，我们首先将引入的伴随函数赋予了期望的形式，再根据最大化准则求解得到了最优的现金管理策略。其中对于附有期望形式的伴随函数，我们根据一个描述证券不确定收益率的模型，得到了伴随函数的显示表达。
本文研究的不足之处，首先在于对证券收益率不确定下的模型的最优现金管理策略，其伴随函数的表达依旧较为复杂，增加了在实际应用时需要考虑的因素的数量和实际操作时的复杂程度，表达形式更简洁的不确定性下的最优现金管理策略值得进一步寻找；其次，由于现如今企业内部数据的获取难度较大，我们期望在未来，能够将我们得到的最优现金管理策略进行进一步的实证应用与分析，探索其在社会中的价值。
参考文献
[1] W.J. Baumol， The transactions demand for cash： An inventory theoretic approach[J]， Quarterly Journal of Economics，1952，66（4）：545-556.
[2] J. Tobin， The interest elasticity of transactions demand for cash[J]， Review of Economics and Statistics，1956，38： 241-247.
[3] G.D. Eppen， E.F. Fama， Solutions for cash balance and dynamic portfolio problems[J]， Journal of Business，1968，41（1）： 94-112.
[4] S.P. Sethi， G.L. Thompson， Application of mathematical control theory to finance[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis，1970， 5（45）： 381-394.
[5] R.C. Merton， Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]， Journal of Economic Theory，1971，3（4）： 373-413.
[6] G.M. Constantinides， Stochastic cash management with fixed and proportional transaction costs[J]， Management Science1976，22（12）：1320-1331.
[7] M.H. Miller， O. Orr， A model of the demand for money by firms[J]， Quarterly Journal of Economics，1966，80（3）： 413-435.
[8] R.G. Vickson， Simple optimal policy for cash management： The average balance requirement case[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis1985，20（3）：353-369.
[9] H.G. Daellenbach， A stochastic cash balance model with two sources of short term funds[J]， International Economic Review，1971，12（2）：250-256.