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摘要：基于数学史的数学探究是实现数学知识“再发现”“再创造”的有效途径，有助于学生进一步激发兴趣、开阔视野，理解数学、提升素养。结合2019年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中一些参赛教师的教学设计，谈一谈如何将数学史融入数学课堂探究的各个环节中：以史入境，开启探究之旅;以史明理，寻求探究之法;以史作证，确认探究之效;以史为练，巩固探究之果;以史促思，延伸探究之获。
关键词：数学史数学探究优秀课评比教学环节
“数学史是教学的指南”（M.克莱因语），基于数学史的数学探究是实现数学知识“再发现”“再创造”的有效途径，有助于学生进一步激发兴趣、开阔视野，理解数学、提升素养。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。”
2019年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的课题是“弧度制”和“等差数列的前n项和”。这两节课的内容都有着丰富的数学历史背景。本文结合此次活动中一些参赛教师的教学设计，谈一谈笔者对如何挖掘数学史特有的教育价值，将其合理地应用于数学课堂探究各个环节中的思考。
一、以史入境，开启探究之旅
数学史中一個个与知识相连的故事，往往会因其鲜活性和生动性自然而然地进入学生的认知结构与思维空间，成为学生探究与之相关的概念、定理等内容的导引线。在课堂教学中，教师可以将数学史上有关知识的发生背景以问题情境的形式呈现给学生，以引入新知。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一些引入情境设计：
情境1（同步出示张丘建画像，如图1所示）《张丘建算经》中的一段原文：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？大致译文：今天有人来给钱，第一个人给一钱，第二个人给两钱，第三个人给三钱，以此类推，一百个人总共给多少钱？
情境2（同步出示《九章算术·盈不足》一页配图，如图2所示）《九章算术·盈不足》中的一段原文：今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何？大致译文：假设有良马与劣马自长安出发到齐地。齐地距长安有3000里。良马第1日走193里，每日增加13里;劣马第1日走97里，每日减少12里。良马先到达齐地，又回头去迎劣马。问：它们几日后相逢？各走多少里？
情境3（同步出示毕达哥拉斯画像及“三角形数”问题，如图3所示）公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状，来研究各种有形的数。比如，“三角形数”：1，3，6，10，…。
情境1、情境2源自我国古代数学史，情境3源自西方古代数学史。选用这3个情境，最直接的目的是建立数学模型，将实际问题转化为求等差数列的前n项和问题，从而引出课题。相比较而言，情境1、情境3引出的表达式相同，而情境3数形结合，更加直观;情境2需要结合问题进行必要的数学抽象，同时，图片材料为后续通过图形的“割”与“补”理解倒序相加法做了必要的铺垫，这样的情境可以贯穿于整节课的探究中。
再如，《弧度制》一课的一个引入情境设计：
情境4（同步出示图4）早在公元前1世纪，古巴比伦人受“黄道十二星座”和“春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径”的启发，把圆周分为360等份，定义每一份为1度，每一份所对的圆心角为1度的角。
这一情境从角度制的由来说起，一方面引出本节课的研究对象“角”，另一方面自然引入研究“角”的载体“圆”和方法“等分圆周”，为后续进一步通过弧长公式研究弧度制做好准备，可谓一举多得。
二、以史明理，寻求探究之法
数学史的功能不仅仅是激发学生的学习兴趣，更重要的是改善学生的数学观。数学史材料蕴含前人研究数学的思想，体现数学发展的主要进程。数学教学中，教师要善于借助数学史材料，剖析其中蕴含的数学思想方法，以此引领学生“再发现”“再创造”。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个探究过程设计：
针对上述情境2，教师引导学生沿着古人的足迹，结合“良马图”（即图2），探求良马前15日的行程总和S15，得到如下两种方案：
（1）先将良马前15日行程中共同的193“割”出来，再将剩余不同的0、1×13、2×13……14×13“倒”过来，“补”成15个长均为14×13的条形（如图5所示），从而可以求得良马前15日的行程总和S15=15×193+15×142×13。
（2）直接将“良马图”整体“倒”过来，“补”成15个长均为193+193+14×13的条形（如图6所示），从而可以求得良马前15日的行程总和S15=15×（193+193+14×13）2。
这里，还原古代数学家的计算方法，让学生经历“良马图”的“倒”与“补”，推导等差数列的前n项和公式。由图形的“倒”与“补”迁移到数式的“倒”与“补”，进而发现倒序相加法，这样的探究是自然的、深刻的。同时，通过图形的直观，也能让学生认识到“等”与“不等”的辩证统一，感受到将“不等数”求和转化为“相等数”求和的数学化归之美。 再如，《弧度制》一课的一个探究过程设计：
教师提出问题：如何建立一种新的度量角的制度呢？然后，出示表1和图7、图8，讲述秦始皇统一度量衡的故事。
这里，通过秦始皇统一度量衡，推动社会发展的故事，让学生认识到“单位1”的重要性，从而启发学生为建立新的度量角的制度寻找合理的“单位1”。
在此基础上，学生开展探究活动，触类旁通，合理迁移，最终合作形成如图9所示的成果。
三、以史作证，确认探究之效
在数学知识的探究过程中，也许不是所有的发现都源自数学史材料，但是，很多的探究却可能与古代数学家的做法相吻合。适时进行古今思想方法的对照，用数学史作证，可以让学生获得思想的启迪和成功的喜悦，使学生回归思考原始的问题，这对于培养学生的思维能力和创新意识都有着重要的作用。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个“探究回顾”设计：
教师引导学生从生活情境出发，经历从梯形的倒置相补到数列的倒序相加的探究过程（如图10所示），得出等差数列的前n项和公式。然后，教师提问：“在我们以往的学习中，有过类似的通过‘配对’的方法，将不同的数的加法转化为相同的数的加法，进而用乘法简化运算的经历吗？”学生回答：高斯小时候计算1+2+3+…+100的方法。
这里，教师没有将高斯小时候计算1+2+3+…+100的故事作为引入情境，是因为这一情境早在小学时就已被学生熟知，对调动学生学习动机的作用不大;而在引导学生经历探究之后，通过启发问答的方式回顾高斯的算理，这时的回顾便不再是一种记忆，而是一种理解基础上的升华。
再如，《弧度制》一课的一个“探究回顾”设计：
教师引导学生经历如图11所示的探究过程。然后，教师出示图12，指出：“弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角。历史上，弧度制的建立经历了漫长的过程。这一思想起源于古印度，萌发于2世纪希腊数学家、天文学家托勒密等在天文学测量中度量弧长的需要。直到1748年，瑞士数学家欧拉在他的名著《无穷小分析引论》中，才提出以半径为单位来度量弧长的弧度概念。”
这里，教师利用欧拉提出弧度概念的历史，让学生在经历探究后发现，自己的探究成果居然与大数学家的研究成果是一致的，从而激发学生学习的积极性，鼓励学生在学习中不断探索、勇于创新。
四、以史为练，巩固探究之果
高考命题改革注重“以真情实景落实‘五育并举’，以理性思维践行‘立德树人’”。近年来，越来越多的基于数学史和数学文化的高考数學试题便是明证。将以数学史情境为载体的数学题目作为课堂练习，帮助学生巩固探究成果，既能激发学生的兴趣，开阔学生的视野，又能渗透数学思想方法，传承数学文化。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一些练习设计：
练习1（出自《九章算术·均输》）今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容，各多少？（大致译文：假设有一支竹，共9节，下3节的容积是4升，上4节的容积是3升。问：如果想使中间2节的容积均匀递减，各节的容积是多少？）
练习2《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类成果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样两题：
（1）今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？
（2）今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则某一等人比其下一等人多得斤金。
五、以史促思，延伸探究之获
数学史是一座宝库，其中的资源不能仅仅运用在课堂教学中，也应该延伸到课堂教学外。教师可以适当地介绍一些拓展的数学研究成果，促进学生（尤其是学有余力的学生）深入思考，进一步感受数学的魅力，培养研究的精神和兴趣。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个课后探究设计：
探究你能用今天的研究方法研究以下问题吗？
13世纪，我国著名数学家杨辉把毕生对数学的研究成果，写成《详解九章算法》一书。该书中有一道计算“三角垛”物体总数的题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？答曰：三百六十四个。术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法。”意思是说：“有一个三角垛（如图13），底层每条边上有12个物体，上面是尖的（只有1个物体），问：总共有多少个物体？答案是：364个。计算方法是：用12加1的和乘12，作为底面的面积，再用12加2的和作为高来乘，得到一个长方体的体积，取它的六分之一，就是这道题目的解。”
再如，《弧度制》一课的一个“拓展链接”设计：
链接弧度制大约直到18世纪才被提出来，它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。弧度制下，与三角函数有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。例如：角度制下，正弦函数的导数公式为（sinx）′=π180cosx;泰勒展开式为sinx=π180x-π1803x33！+π1805·x55！-…+π1802n+1（-1）n（2n+1）！x2n+1+…，x∈R;弧度制下，正弦函数的导数公式为（sinx）′=cosx;泰勒展开式为sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）n（2n+1）！·x2n+1+…，x∈R。正是因为这样的优越性，弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用。
*本文系江苏省中小学教学研究课题“基于高中数学学业测评的微专题教学的实践与研究”（编号：2017JK12L131）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 曾荣.创设阅读情境，提炼数学问题[J].高中数学教与学，2011（7）.
[2] 陈莎莎，汪晓勤.2007～2016十年间基于数学史的高考数学试题分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（5）.
关键词：数学史数学探究优秀课评比教学环节
“数学史是教学的指南”（M.克莱因语），基于数学史的数学探究是实现数学知识“再发现”“再创造”的有效途径，有助于学生进一步激发兴趣、开阔视野，理解数学、提升素养。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。”
2019年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的课题是“弧度制”和“等差数列的前n项和”。这两节课的内容都有着丰富的数学历史背景。本文结合此次活动中一些参赛教师的教学设计，谈一谈笔者对如何挖掘数学史特有的教育价值，将其合理地应用于数学课堂探究各个环节中的思考。
一、以史入境，开启探究之旅
数学史中一個个与知识相连的故事，往往会因其鲜活性和生动性自然而然地进入学生的认知结构与思维空间，成为学生探究与之相关的概念、定理等内容的导引线。在课堂教学中，教师可以将数学史上有关知识的发生背景以问题情境的形式呈现给学生，以引入新知。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一些引入情境设计：
情境1（同步出示张丘建画像，如图1所示）《张丘建算经》中的一段原文：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？大致译文：今天有人来给钱，第一个人给一钱，第二个人给两钱，第三个人给三钱，以此类推，一百个人总共给多少钱？
情境2（同步出示《九章算术·盈不足》一页配图，如图2所示）《九章算术·盈不足》中的一段原文：今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何？大致译文：假设有良马与劣马自长安出发到齐地。齐地距长安有3000里。良马第1日走193里，每日增加13里;劣马第1日走97里，每日减少12里。良马先到达齐地，又回头去迎劣马。问：它们几日后相逢？各走多少里？
情境3（同步出示毕达哥拉斯画像及“三角形数”问题，如图3所示）公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状，来研究各种有形的数。比如，“三角形数”：1，3，6，10，…。
情境1、情境2源自我国古代数学史，情境3源自西方古代数学史。选用这3个情境，最直接的目的是建立数学模型，将实际问题转化为求等差数列的前n项和问题，从而引出课题。相比较而言，情境1、情境3引出的表达式相同，而情境3数形结合，更加直观;情境2需要结合问题进行必要的数学抽象，同时，图片材料为后续通过图形的“割”与“补”理解倒序相加法做了必要的铺垫，这样的情境可以贯穿于整节课的探究中。
再如，《弧度制》一课的一个引入情境设计：
情境4（同步出示图4）早在公元前1世纪，古巴比伦人受“黄道十二星座”和“春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径”的启发，把圆周分为360等份，定义每一份为1度，每一份所对的圆心角为1度的角。
这一情境从角度制的由来说起，一方面引出本节课的研究对象“角”，另一方面自然引入研究“角”的载体“圆”和方法“等分圆周”，为后续进一步通过弧长公式研究弧度制做好准备，可谓一举多得。
二、以史明理，寻求探究之法
数学史的功能不仅仅是激发学生的学习兴趣，更重要的是改善学生的数学观。数学史材料蕴含前人研究数学的思想，体现数学发展的主要进程。数学教学中，教师要善于借助数学史材料，剖析其中蕴含的数学思想方法，以此引领学生“再发现”“再创造”。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个探究过程设计：
针对上述情境2，教师引导学生沿着古人的足迹，结合“良马图”（即图2），探求良马前15日的行程总和S15，得到如下两种方案：
（1）先将良马前15日行程中共同的193“割”出来，再将剩余不同的0、1×13、2×13……14×13“倒”过来，“补”成15个长均为14×13的条形（如图5所示），从而可以求得良马前15日的行程总和S15=15×193+15×142×13。
（2）直接将“良马图”整体“倒”过来，“补”成15个长均为193+193+14×13的条形（如图6所示），从而可以求得良马前15日的行程总和S15=15×（193+193+14×13）2。
这里，还原古代数学家的计算方法，让学生经历“良马图”的“倒”与“补”，推导等差数列的前n项和公式。由图形的“倒”与“补”迁移到数式的“倒”与“补”，进而发现倒序相加法，这样的探究是自然的、深刻的。同时，通过图形的直观，也能让学生认识到“等”与“不等”的辩证统一，感受到将“不等数”求和转化为“相等数”求和的数学化归之美。 再如，《弧度制》一课的一个探究过程设计：
教师提出问题：如何建立一种新的度量角的制度呢？然后，出示表1和图7、图8，讲述秦始皇统一度量衡的故事。
这里，通过秦始皇统一度量衡，推动社会发展的故事，让学生认识到“单位1”的重要性，从而启发学生为建立新的度量角的制度寻找合理的“单位1”。
在此基础上，学生开展探究活动，触类旁通，合理迁移，最终合作形成如图9所示的成果。
三、以史作证，确认探究之效
在数学知识的探究过程中，也许不是所有的发现都源自数学史材料，但是，很多的探究却可能与古代数学家的做法相吻合。适时进行古今思想方法的对照，用数学史作证，可以让学生获得思想的启迪和成功的喜悦，使学生回归思考原始的问题，这对于培养学生的思维能力和创新意识都有着重要的作用。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个“探究回顾”设计：
教师引导学生从生活情境出发，经历从梯形的倒置相补到数列的倒序相加的探究过程（如图10所示），得出等差数列的前n项和公式。然后，教师提问：“在我们以往的学习中，有过类似的通过‘配对’的方法，将不同的数的加法转化为相同的数的加法，进而用乘法简化运算的经历吗？”学生回答：高斯小时候计算1+2+3+…+100的方法。
这里，教师没有将高斯小时候计算1+2+3+…+100的故事作为引入情境，是因为这一情境早在小学时就已被学生熟知，对调动学生学习动机的作用不大;而在引导学生经历探究之后，通过启发问答的方式回顾高斯的算理，这时的回顾便不再是一种记忆，而是一种理解基础上的升华。
再如，《弧度制》一课的一个“探究回顾”设计：
教师引导学生经历如图11所示的探究过程。然后，教师出示图12，指出：“弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角。历史上，弧度制的建立经历了漫长的过程。这一思想起源于古印度，萌发于2世纪希腊数学家、天文学家托勒密等在天文学测量中度量弧长的需要。直到1748年，瑞士数学家欧拉在他的名著《无穷小分析引论》中，才提出以半径为单位来度量弧长的弧度概念。”
这里，教师利用欧拉提出弧度概念的历史，让学生在经历探究后发现，自己的探究成果居然与大数学家的研究成果是一致的，从而激发学生学习的积极性，鼓励学生在学习中不断探索、勇于创新。
四、以史为练，巩固探究之果
高考命题改革注重“以真情实景落实‘五育并举’，以理性思维践行‘立德树人’”。近年来，越来越多的基于数学史和数学文化的高考数學试题便是明证。将以数学史情境为载体的数学题目作为课堂练习，帮助学生巩固探究成果，既能激发学生的兴趣，开阔学生的视野，又能渗透数学思想方法，传承数学文化。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一些练习设计：
练习1（出自《九章算术·均输》）今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容，各多少？（大致译文：假设有一支竹，共9节，下3节的容积是4升，上4节的容积是3升。问：如果想使中间2节的容积均匀递减，各节的容积是多少？）
练习2《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类成果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样两题：
（1）今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？
（2）今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则某一等人比其下一等人多得斤金。
五、以史促思，延伸探究之获
数学史是一座宝库，其中的资源不能仅仅运用在课堂教学中，也应该延伸到课堂教学外。教师可以适当地介绍一些拓展的数学研究成果，促进学生（尤其是学有余力的学生）深入思考，进一步感受数学的魅力，培养研究的精神和兴趣。
例如，《等差数列的前n项和》一课的一个课后探究设计：
探究你能用今天的研究方法研究以下问题吗？
13世纪，我国著名数学家杨辉把毕生对数学的研究成果，写成《详解九章算法》一书。该书中有一道计算“三角垛”物体总数的题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？答曰：三百六十四个。术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法。”意思是说：“有一个三角垛（如图13），底层每条边上有12个物体，上面是尖的（只有1个物体），问：总共有多少个物体？答案是：364个。计算方法是：用12加1的和乘12，作为底面的面积，再用12加2的和作为高来乘，得到一个长方体的体积，取它的六分之一，就是这道题目的解。”
再如，《弧度制》一课的一个“拓展链接”设计：
链接弧度制大约直到18世纪才被提出来，它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。弧度制下，与三角函数有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。例如：角度制下，正弦函数的导数公式为（sinx）′=π180cosx;泰勒展开式为sinx=π180x-π1803x33！+π1805·x55！-…+π1802n+1（-1）n（2n+1）！x2n+1+…，x∈R;弧度制下，正弦函数的导数公式为（sinx）′=cosx;泰勒展开式为sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）n（2n+1）！·x2n+1+…，x∈R。正是因为这样的优越性，弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用。
*本文系江苏省中小学教学研究课题“基于高中数学学业测评的微专题教学的实践与研究”（编号：2017JK12L131）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 曾荣.创设阅读情境，提炼数学问题[J].高中数学教与学，2011（7）.
[2] 陈莎莎，汪晓勤.2007～2016十年间基于数学史的高考数学试题分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（5）.