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转化思想是中学数学中最重要、最基本的思想方法之一，其覆盖面之广不仅使之成为一种基本的数学解题策略，更是我们在日常生活中的一种重要的思维方法。在转化思想方法指导下，我们常常可以将不熟悉和难解决的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，从而使问题得以解决。转化思想在中学数学教材中体现得较为宽广，数学中可以实现转化的方法是很多的，本文主要通过举例子的方法谈谈转化思想在中学数学应用中主要涉及的基本类型。
一、未知向已知转化
例1、已知α，β都是锐角，sin α=1 2，cos（α+β）=1 2，则cos β等于（ ）
A. 1-3 2 B. 3-1 2C. 1 2D. 3 2
解析：∵a 是锐角，且sin a=1 2
∴cos a=3 2
又∵β是锐角，且cos（α+β）= 1 2
∴sin（α+β）=3 2
∴cos β=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cos α+sin（a+β）sin α
=1 2×3 2+3 2×1 2=3 2
∴选D
点评：很多同学容易注意到此题的特殊性，给出角的三角函数值均为特殊值，由此可将角α和α+β求出，从而求出角β的大小，进而求出 .但是如果此题给出的不是特殊值该如何求解呢？能不能找到适合此类题目的一般解法呢？有的同学也许会说将 展开，利用已知条件及1=sin2α+cos2α=sin2+cos2β即可求解，但是这种做法有时计算量较大，因为涉及到平方问题。此时我们注意到已知角和所求角之间的关系，将所求的β用已知三角函数值的角α和α+β表示出来，即将未知的转化为已知的来表示，便可得到解此类问题的一般方法。
二、复杂向简单转化
复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，一个较复杂或难解决的问题，通过对问题深入观察和探讨，转化成简单问题可迅速求解。
例2、若不等式x2+ax-2﹥0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（ ）
A. （-23 5，+∞）B. [-23 5，1]C. （1，+∞）D. （-∞，-23 5）
解析：若不等式x2+ax-2﹥0在区间[1，5]上无解，设f（x）=x2+ax-2，则在区间[1，5]上f（x）≤0恒成立，由二次函数的图象，可得△>0
f（1）≤0
f（5）≤0，解得a≤-23 5，所以不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]有解时，a的取值范围为（-23 5，+∞）。所以选A。
点评：题目给出的是一个含参数的一元二次不等式，如果单纯从不等式入手的话，有的同学认为可以求出不等式的解集，使得解集与区间[1，5]有交集即可，但是画数轴发现要分成几种情况，比较麻烦，而且涉及到无理不等式；如果从一元二次函数入手的话，简单画出符合条件的图象，会发现也要分为几种情况。针对于以上情况，我们通常采用的方法是，将复杂问题简单化，正面考查比较复杂的话我们可以先考虑其反面，即先求出使不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上无解的a的范围，再找补集即可。而“不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上无解”可直接转化为x2+ax-2≤0“ 在区间[1，5]上恒成立”，应用二次函数的性质求解，也可再将“ x2+ax-2≤0在区间[1，5]上恒成立”转化为“x2-2 x≤a在[1，5]上恒成立”，即转化为最值问题来解决。
三、数与形的转化
数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。
例3、设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=1g（3a-ax-x2）总有意义，求实数a的取值范围。
解析：f（x）有意义，有3a-ax-x2>0，
即x2+ax-3a<0在x∈[-2，2]时总成立，
设g（x）=x2+ax-3a，即当x∈[-2，2]，时，g（x）<0总成立。
根据抛物线y=g（x）的特征，
有G（-2）<0
G（2）<0→4-5a<0
4-a<0解得：a>4
点评： 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，所以建立了实数a的不等式组，从而求出a的范围。
四、一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然。这种辩证思想在中学数学中普遍存在，经常运用，这也是转化思想的体现。
例4、设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_______ 。
分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：S2，S1，S3成等差数列，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.
解析：由题意，设S2，S1，S3成等差数列，则S2=a1+a1qS1=a1，S3=a1+a1q+a1q2
∵ S2+S3=2S1∴ 2a1+2a1q+a1q2=2a1（a1≠0）
∴q=-2或q=0（舍去）
即q的值为-2。
例5、已知函数f（x）=ax ax+a（a>0且a≠0），
求f（1 100）+f（2 100）+…+f（99 100）的值。
分析：直接代入计算较为复杂，可寻求f（x）与f（1-x）的关系.
解析： f（x）+f（1-x）=ax ax+a+ ax+1 ax-1+a=ax ax+a+a a+axa=ax ax+a+a a+ax=a+ax ax+a=1 于是f（1 100）+f（2 100）+…+f（99 100）=[f（1 100）+f（99 100） ]+[f（2 100）+f（98 100） ]+…[f（49 100）+f（51 100） ]+f（50 100） =1×49+1 2=99 2
评析：一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从整体的高度把握问题的一般规律，从而达到解决问题的目的。
五、正面与反面的转化
例6：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：
（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率。
（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率。
分析：
（1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率。
（2）找对立事件→求对立事件 概率→求出原事件概率。
解：（1）甲、乙二人依次从九张卡 片中各抽取一张的可能结果有С1 9·С1 8，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有С1 5·С1 4种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P1，则P1=С1 5·С1 4 С1 9·С1 8=20 72=5 18
（2）设甲、乙二人至少抽到奇数数字概率为 ，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片.设为Ρ2ˉ，则Ρ2=1-Ρ2ˉ=1-С1 3·С1 3 С1 9·С1 8=5 6
评析：一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反面考虑，多使用于“至多”“至少”这种情形。
六、空间与平面的转化
例7、如图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P-ABC。
（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PB⊥AC；
（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角的余弦值；
（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示.已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积。
解：（1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C.故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC
（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD.由三垂线定理得BD⊥AC。
∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连结BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.
设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= x 3=x2-4，∴EP3=2.
故CP3=22，P2P3=42，由AC·DP3=CP3·AEDP3= 8 3，又BP3=
2
2+P22
3=6，∴BD=10 3.在△PDB中，cos∠PDB=4 5，
∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为4 5。
（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点。由此得：AB=BC，AC=a.在三棱锥中，取AC中点D，连结PD、BD，由AC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，
∴S△PDB=1 2ad，∴V= 1 6a2d。
评析：立体几何问题一般都可以用两种方法：综合法和向量法.都要经过转化，把空间问题转化为平面问题，把几何问题转化为代数运算从而证得求出。
七、常量与变量的转化
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。
例8、已知曲线系CK的方程为x2 9-k+y2 4-k=1，试证明：坐标平面内任一点（a，b）（a，b≠0），CK中总存在一椭圆和一双曲线过该点。
分析：若从曲线的角度去考虑，即以x，y为主元，思维受阻.若从k来考虑，不难看出，当4 解：设点（a，b）（a，b≠0）在曲线CK上，则x2 9-k+y2 4-k=1整理得
k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0①
令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），
∴f（4）=-5b2<0，f（9）=5b2﹥0
可知f（k）=0，根据函数图象开口向上，可知方程①在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根，即对平面内任一点（a，b），在曲线系CK中总存在一椭圆 和一双曲线通过该点。
评析：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题，降低了难度，这种方法在解析几何中运用较为普遍。
总之，转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。
一、未知向已知转化
例1、已知α，β都是锐角，sin α=1 2，cos（α+β）=1 2，则cos β等于（ ）
A. 1-3 2 B. 3-1 2C. 1 2D. 3 2
解析：∵a 是锐角，且sin a=1 2
∴cos a=3 2
又∵β是锐角，且cos（α+β）= 1 2
∴sin（α+β）=3 2
∴cos β=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cos α+sin（a+β）sin α
=1 2×3 2+3 2×1 2=3 2
∴选D
点评：很多同学容易注意到此题的特殊性，给出角的三角函数值均为特殊值，由此可将角α和α+β求出，从而求出角β的大小，进而求出 .但是如果此题给出的不是特殊值该如何求解呢？能不能找到适合此类题目的一般解法呢？有的同学也许会说将 展开，利用已知条件及1=sin2α+cos2α=sin2+cos2β即可求解，但是这种做法有时计算量较大，因为涉及到平方问题。此时我们注意到已知角和所求角之间的关系，将所求的β用已知三角函数值的角α和α+β表示出来，即将未知的转化为已知的来表示，便可得到解此类问题的一般方法。
二、复杂向简单转化
复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，一个较复杂或难解决的问题，通过对问题深入观察和探讨，转化成简单问题可迅速求解。
例2、若不等式x2+ax-2﹥0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（ ）
A. （-23 5，+∞）B. [-23 5，1]C. （1，+∞）D. （-∞，-23 5）
解析：若不等式x2+ax-2﹥0在区间[1，5]上无解，设f（x）=x2+ax-2，则在区间[1，5]上f（x）≤0恒成立，由二次函数的图象，可得△>0
f（1）≤0
f（5）≤0，解得a≤-23 5，所以不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]有解时，a的取值范围为（-23 5，+∞）。所以选A。
点评：题目给出的是一个含参数的一元二次不等式，如果单纯从不等式入手的话，有的同学认为可以求出不等式的解集，使得解集与区间[1，5]有交集即可，但是画数轴发现要分成几种情况，比较麻烦，而且涉及到无理不等式；如果从一元二次函数入手的话，简单画出符合条件的图象，会发现也要分为几种情况。针对于以上情况，我们通常采用的方法是，将复杂问题简单化，正面考查比较复杂的话我们可以先考虑其反面，即先求出使不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上无解的a的范围，再找补集即可。而“不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上无解”可直接转化为x2+ax-2≤0“ 在区间[1，5]上恒成立”，应用二次函数的性质求解，也可再将“ x2+ax-2≤0在区间[1，5]上恒成立”转化为“x2-2 x≤a在[1，5]上恒成立”，即转化为最值问题来解决。
三、数与形的转化
数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。
例3、设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=1g（3a-ax-x2）总有意义，求实数a的取值范围。
解析：f（x）有意义，有3a-ax-x2>0，
即x2+ax-3a<0在x∈[-2，2]时总成立，
设g（x）=x2+ax-3a，即当x∈[-2，2]，时，g（x）<0总成立。
根据抛物线y=g（x）的特征，
有G（-2）<0
G（2）<0→4-5a<0
4-a<0解得：a>4
点评： 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，所以建立了实数a的不等式组，从而求出a的范围。
四、一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然。这种辩证思想在中学数学中普遍存在，经常运用，这也是转化思想的体现。
例4、设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_______ 。
分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：S2，S1，S3成等差数列，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.
解析：由题意，设S2，S1，S3成等差数列，则S2=a1+a1qS1=a1，S3=a1+a1q+a1q2
∵ S2+S3=2S1∴ 2a1+2a1q+a1q2=2a1（a1≠0）
∴q=-2或q=0（舍去）
即q的值为-2。
例5、已知函数f（x）=ax ax+a（a>0且a≠0），
求f（1 100）+f（2 100）+…+f（99 100）的值。
分析：直接代入计算较为复杂，可寻求f（x）与f（1-x）的关系.
解析： f（x）+f（1-x）=ax ax+a+ ax+1 ax-1+a=ax ax+a+a a+axa=ax ax+a+a a+ax=a+ax ax+a=1 于是f（1 100）+f（2 100）+…+f（99 100）=[f（1 100）+f（99 100） ]+[f（2 100）+f（98 100） ]+…[f（49 100）+f（51 100） ]+f（50 100） =1×49+1 2=99 2
评析：一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从整体的高度把握问题的一般规律，从而达到解决问题的目的。
五、正面与反面的转化
例6：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：
（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率。
（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率。
分析：
（1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率。
（2）找对立事件→求对立事件 概率→求出原事件概率。
解：（1）甲、乙二人依次从九张卡 片中各抽取一张的可能结果有С1 9·С1 8，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有С1 5·С1 4种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P1，则P1=С1 5·С1 4 С1 9·С1 8=20 72=5 18
（2）设甲、乙二人至少抽到奇数数字概率为 ，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片.设为Ρ2ˉ，则Ρ2=1-Ρ2ˉ=1-С1 3·С1 3 С1 9·С1 8=5 6
评析：一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反面考虑，多使用于“至多”“至少”这种情形。
六、空间与平面的转化
例7、如图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P-ABC。
（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PB⊥AC；
（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角的余弦值；
（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示.已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积。
解：（1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C.故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC
（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD.由三垂线定理得BD⊥AC。
∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连结BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.
设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= x 3=x2-4，∴EP3=2.
故CP3=22，P2P3=42，由AC·DP3=CP3·AEDP3= 8 3，又BP3=
2
2+P22
3=6，∴BD=10 3.在△PDB中，cos∠PDB=4 5，
∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为4 5。
（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点。由此得：AB=BC，AC=a.在三棱锥中，取AC中点D，连结PD、BD，由AC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，
∴S△PDB=1 2ad，∴V= 1 6a2d。
评析：立体几何问题一般都可以用两种方法：综合法和向量法.都要经过转化，把空间问题转化为平面问题，把几何问题转化为代数运算从而证得求出。
七、常量与变量的转化
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。
例8、已知曲线系CK的方程为x2 9-k+y2 4-k=1，试证明：坐标平面内任一点（a，b）（a，b≠0），CK中总存在一椭圆和一双曲线过该点。
分析：若从曲线的角度去考虑，即以x，y为主元，思维受阻.若从k来考虑，不难看出，当4
k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0①
令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），
∴f（4）=-5b2<0，f（9）=5b2﹥0
可知f（k）=0，根据函数图象开口向上，可知方程①在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根，即对平面内任一点（a，b），在曲线系CK中总存在一椭圆 和一双曲线通过该点。
评析：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题，降低了难度，这种方法在解析几何中运用较为普遍。
总之，转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。