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摘要：线性规划是以不等式（或不等式组）为基础，一般考查学生对数形结合思想的应用能力． 但它对一些双变量或含双参数问题的处理有着独到的不可忽视的作用． 本文试着从五个方面来阐述站在线性规划的角度探讨双变量或含双参数的数学问题．
关键词：多变量；最值；策略
数学枯燥，数学难学，成为一部分学生对数学望而生畏的缘由，作为数学教师，我们应该反思． 如何让数学内容生动，数学教学别样，数学课堂精彩，这取决于教师在教学时，如何多角度多层次地展开数学教学，用联系和变化的观点演绎数学． 对于一些数学问题，如果仅从表象分析，只是属于某类数学问题的范畴，但如果另辟蹊径从另外的视角求解，充分发掘数学知识之间的横向联系，就会打开另一扇门，展现出另一个奇异的世界． 双参数数学问题，就是这种新视角研究的一个很好的范本． 这种双参数数学问题，若采用主客元换位的思维方式，从线性规划的视角来理解与演绎，就可激发学生对数学学习的热情和兴趣． 究其因，主要是以这样的视角看问题与开展教学活动，可以让学生从一个崭新的角度去欣赏数学、学习数学．通过欣赏别样的风景来产生愉悦的体验，从而提高学习的积极性．
基于线性规划的角度探讨方程问题
一个方程含有双变量或双参数，并通过方程条件，建立了参数之间的联系． 若从方程条件入手分析，双变量或双参数就会成为解题中的复杂因素，如果我们利用线性规划思想，把方程条件转换成双参数的可行域，利用线性规划的思想来解题，则可简化解题．
例1 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________．
（2011年浙江高考理科第16题）
解析：由4x2+y2+xy=x2++y2=1，可令+y=b，x=a，于是
a2+b2=1且x=，y=b－， 从而z=2x+y=+b． 所以，原问题等价于已知P（a，b）是单位圆a2+b2=1上一动点，求z=+b的最大值问题． 不难得到当直线b=－+z与单位圆相切且位于圆上方时z有最大值．
点评：本题若用不等式的角度求解，这对不等式的变形以及等与不等之间的转换要求较高，而这往往又是学生思维的难点，而从几何的视角——线性规划的知识来求解此题，可以渗透数形结合的数学思想方法，提供操作性较强的运算方法，更主要的是可以开阔学生的数学眼界和思维，发展学生的创新能力． 此题也可以构造椭圆4x2+y2+xy=+=1求解，方法类似，读者不妨一试．
例2 设集合A（p，q）=｛x∈Rx2+px+q=0｝，当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，求所有集合A（p，q）的并集．
解析：将方程x2+px+q=0看做关于p，q的二元一次方程px+q+x2=0，它表示一条直线． 当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，点（p，q）满足的条件可转化为图1中阴影部分的区域ABCD，由题意得直线与此区域有公共点，从而只需满足
x≥0，x2－x－1≤0 或x<0，x2+x－1≤0，
故－≤x≤，所以集合A（p，q） =x－≤x≤.
点评：本题难度很大，初看此题，题意甚难理解． 事实上，题中集合A（p，q）中的元素是方程x2+px+q=0的根，而系数p，q需满足－1≤p，q≤1，所求的问题则是求方程x2+px+q=0所有根构成的集合．注意到条件是双参数p，q问题，且p，q范围可知，于是可以主客换位，联想运用线性规划的知识求解，把原问题转化为在线性约束条件－1≤p，q≤1下，直线x2+px+q=0与区域有公共点时求“参数x”的取值范围． 真可谓，构思巧妙，视角新颖．
基于线性规划的角度探讨函数问题
含有多参数的函数问题，如果纠缠于简单地列出条件，处理一系列参数条件，往往难以处理，如果我们以参量为变数，用线性规划的视角处理问题，就会峰回路转，捷径顿现．
例3 已知函数f（x）=x2++a·x++b（x∈R，且x≠0），若实数a，b使得函数y=f（x）在定义域上有零点，求a2+b2的最小值．
解析：由函数y=f（x）在定义域上有零点，可得方程x2++ax++b=0有解．
一方面，把上述方程看做关于a，b的一个二元一次方程x+a+b+x2+=0，则它表示一条直线；另一方面a2+b2表示点P（a，b）到原点的距离的平方． 令x+=t，则ta+b+t2－2=0，于是（a2+b2）min==（t2+1）+－6． 由于t=x+∈［2，+∞）∪（－∞，－2］，故t2+1≥5． 注意到函数f（x）=x+在［5，+∞）上是增函数，所以a2+b2的最小值为．
点评：此题的视角新颖之处在于对参变量的认识和处理，本题解法中采用主客换位，把参数看做主变元，变量看做参数，并把目标式看做动点P（a，b）到原点的距离的平方，实现了代数与几何之间的沟通与转化，实为巧妙之构思也．
基于线性规划的角度探讨向量问题
平面向量沟通了几何与代数之间的联系，一组向量基底和一个数组可表示平面中的任意向量，因此向量之间的关系，可转化为数组表示的坐标之间的关系，这就可把向量问题转化为参量问题，从而可用线性规划视角来处理．
例4 设两个向量a=（λ+2，λ2－cos2α）和b=m，+sinα，其中λ，m，α为实数． 若a=2b，则的取值范围是（）
A． ［-6，1］ B． ［4，8］
C． （-∞，1］ D． ［-1，6］
（2007年天津高考理科第10题）
解析：由a=2b得
λ+2=2m （1）λ2－cos2α=m+2sinα （2）
于是由（2）式可得λ2－m=cos2α+2sinα∈［－2，2］，从而原问题被转化为在约束条件λ+2=2m，－2≤λ2－m≤2 下，求目标函数的取值范围问题． 作出可行域如图2所示，线段AB即为动点P（m，λ）所在的区域，不难得到A（2，2），B，－，故－6=kOB≤kOP=≤kOA=1，即有－6≤≤1．
点评：本题的常规方法是采用函数思想求解，即先根据条件等式与不等式组求出λ（或μ）的取值范围，把目标式转化为关于λ（或μ）的函数，然后利用函数思想求解，读者不妨一试．
例5设点P是△ABC内一点（不包括边界），且=m+n（m，n∈R），求m2+n2－2m－2n+2的取值范围．
解析：如图3，设直线AP的延长线与AB相交于P′，由于A、P、P′与B、P′、C三点都共线，所以存在实数x，y，使得=x+（1－x），=y（0 得m=xy，n=y（1－x），m+n=y， 从而有0 点评：本题的解题入口较难，很多同学面对本题往往束手无策． 本解法首先是将点P转移到三角形的边界上，然后充分利用三点共线的充要条件引进两个参数x，y表示题目中的给定参数m，n，最后由x，y的取值范围来确定m，n的取值范围，进而得到关于m，n的不等式组，才得以凸显出m，n之间的内在联系，最后从线性规划的视角看待此问题．另外，注意到题中三角形没有注明是什么类型的三角形，于是就可以将此三角形看做特殊情形来验算，结合条件向量的起点字母，我们可以把A看做坐标原点，AB，AC所在的直线看做x轴与y轴，最终可转化为同样的线性规划问题求解．
基于线性规划的角度探讨数列问题
数列问题常可归结为关于a1，an，Sn，n，d（或q）的基本量，因此数列条件常以基本量的条件来呈现，这种双参数问题的背景为线性规划思想的应用创设了有利的条件．
例6 已知等差数列｛ａn｝的前n的和为Sn，满足S5≥10，S6≤15，求a4的最大值．
解析：设等差数列｛a｝的首项为a，公差为d，由S5≥10，S6≤15得a1+2d≥2，2a1+5d≤5. 它表示的区域可以如图4所示，又a4=a1+3d，所以当直线l：t=a1+3d经过A（1，0）时a4的值最大为3．
点评：基本量的思想，是解决等差、等比数列问题的常规方法．在等差或等比的背景条件下，当条件中出现不等关系，目标量又是跟取值范围或最值有关时，我们就可以尝试把首项与公差（或公比）看做两个变量，然后构造出不等式组和目标关系式，并利用线性规划的有关知识来求解． 此题如果从数列的角度来求解，简解如下：由S5≥10得a3≥2；由S6≤15得a3+a4≤5，两式相结合不难得到a4≤5－a3≤3． 但从线性规划的视角来看，本解法把等差数列的两个基本量看做两个变量，由此根据条件构造出不等式组，并从几何的视角显现出线性规划的特性，由此得到的解法构思新颖，给人以耳目一新之感． 此视角对培养学生学习数学的热情和兴趣非常有效，同时对培养学生的创新意识大有裨益，值得借鉴和渗透．
综上所述，对某些双参数或可以构造出双参数的数学问题，如果条件式可以转化为不等式（或等式）或不等式（或等式）组（或混合组），而目标式又具有明显的线性意义的时候，我们就可以另辟蹊径，从线性规划的视角看此数学问题，从而使问题获解． 这种转化思想，体现了数学各种内容的内在联系，打破了僵守表象的陋习，活跃了数学的解题思维，实现了知识点之间的有益转换，让学生体会到活化的数学和流动的思维．在平时的教学中，充分利用这些有效素材来开阔学生的视野，发展学生的思维，对破解学生对数学的畏难情绪，培养学生的创新能力起到了良好的收效． 真可谓：另眼看数学，数学真奇妙．
关键词：多变量；最值；策略
数学枯燥，数学难学，成为一部分学生对数学望而生畏的缘由，作为数学教师，我们应该反思． 如何让数学内容生动，数学教学别样，数学课堂精彩，这取决于教师在教学时，如何多角度多层次地展开数学教学，用联系和变化的观点演绎数学． 对于一些数学问题，如果仅从表象分析，只是属于某类数学问题的范畴，但如果另辟蹊径从另外的视角求解，充分发掘数学知识之间的横向联系，就会打开另一扇门，展现出另一个奇异的世界． 双参数数学问题，就是这种新视角研究的一个很好的范本． 这种双参数数学问题，若采用主客元换位的思维方式，从线性规划的视角来理解与演绎，就可激发学生对数学学习的热情和兴趣． 究其因，主要是以这样的视角看问题与开展教学活动，可以让学生从一个崭新的角度去欣赏数学、学习数学．通过欣赏别样的风景来产生愉悦的体验，从而提高学习的积极性．
基于线性规划的角度探讨方程问题
一个方程含有双变量或双参数，并通过方程条件，建立了参数之间的联系． 若从方程条件入手分析，双变量或双参数就会成为解题中的复杂因素，如果我们利用线性规划思想，把方程条件转换成双参数的可行域，利用线性规划的思想来解题，则可简化解题．
例1 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________．
（2011年浙江高考理科第16题）
解析：由4x2+y2+xy=x2++y2=1，可令+y=b，x=a，于是
a2+b2=1且x=，y=b－， 从而z=2x+y=+b． 所以，原问题等价于已知P（a，b）是单位圆a2+b2=1上一动点，求z=+b的最大值问题． 不难得到当直线b=－+z与单位圆相切且位于圆上方时z有最大值．
点评：本题若用不等式的角度求解，这对不等式的变形以及等与不等之间的转换要求较高，而这往往又是学生思维的难点，而从几何的视角——线性规划的知识来求解此题，可以渗透数形结合的数学思想方法，提供操作性较强的运算方法，更主要的是可以开阔学生的数学眼界和思维，发展学生的创新能力． 此题也可以构造椭圆4x2+y2+xy=+=1求解，方法类似，读者不妨一试．
例2 设集合A（p，q）=｛x∈Rx2+px+q=0｝，当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，求所有集合A（p，q）的并集．
解析：将方程x2+px+q=0看做关于p，q的二元一次方程px+q+x2=0，它表示一条直线． 当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，点（p，q）满足的条件可转化为图1中阴影部分的区域ABCD，由题意得直线与此区域有公共点，从而只需满足
x≥0，x2－x－1≤0 或x<0，x2+x－1≤0，
故－≤x≤，所以集合A（p，q） =x－≤x≤.
点评：本题难度很大，初看此题，题意甚难理解． 事实上，题中集合A（p，q）中的元素是方程x2+px+q=0的根，而系数p，q需满足－1≤p，q≤1，所求的问题则是求方程x2+px+q=0所有根构成的集合．注意到条件是双参数p，q问题，且p，q范围可知，于是可以主客换位，联想运用线性规划的知识求解，把原问题转化为在线性约束条件－1≤p，q≤1下，直线x2+px+q=0与区域有公共点时求“参数x”的取值范围． 真可谓，构思巧妙，视角新颖．
基于线性规划的角度探讨函数问题
含有多参数的函数问题，如果纠缠于简单地列出条件，处理一系列参数条件，往往难以处理，如果我们以参量为变数，用线性规划的视角处理问题，就会峰回路转，捷径顿现．
例3 已知函数f（x）=x2++a·x++b（x∈R，且x≠0），若实数a，b使得函数y=f（x）在定义域上有零点，求a2+b2的最小值．
解析：由函数y=f（x）在定义域上有零点，可得方程x2++ax++b=0有解．
一方面，把上述方程看做关于a，b的一个二元一次方程x+a+b+x2+=0，则它表示一条直线；另一方面a2+b2表示点P（a，b）到原点的距离的平方． 令x+=t，则ta+b+t2－2=0，于是（a2+b2）min==（t2+1）+－6． 由于t=x+∈［2，+∞）∪（－∞，－2］，故t2+1≥5． 注意到函数f（x）=x+在［5，+∞）上是增函数，所以a2+b2的最小值为．
点评：此题的视角新颖之处在于对参变量的认识和处理，本题解法中采用主客换位，把参数看做主变元，变量看做参数，并把目标式看做动点P（a，b）到原点的距离的平方，实现了代数与几何之间的沟通与转化，实为巧妙之构思也．
基于线性规划的角度探讨向量问题
平面向量沟通了几何与代数之间的联系，一组向量基底和一个数组可表示平面中的任意向量，因此向量之间的关系，可转化为数组表示的坐标之间的关系，这就可把向量问题转化为参量问题，从而可用线性规划视角来处理．
例4 设两个向量a=（λ+2，λ2－cos2α）和b=m，+sinα，其中λ，m，α为实数． 若a=2b，则的取值范围是（）
A． ［-6，1］ B． ［4，8］
C． （-∞，1］ D． ［-1，6］
（2007年天津高考理科第10题）
解析：由a=2b得
λ+2=2m （1）λ2－cos2α=m+2sinα （2）
于是由（2）式可得λ2－m=cos2α+2sinα∈［－2，2］，从而原问题被转化为在约束条件λ+2=2m，－2≤λ2－m≤2 下，求目标函数的取值范围问题． 作出可行域如图2所示，线段AB即为动点P（m，λ）所在的区域，不难得到A（2，2），B，－，故－6=kOB≤kOP=≤kOA=1，即有－6≤≤1．
点评：本题的常规方法是采用函数思想求解，即先根据条件等式与不等式组求出λ（或μ）的取值范围，把目标式转化为关于λ（或μ）的函数，然后利用函数思想求解，读者不妨一试．
例5设点P是△ABC内一点（不包括边界），且=m+n（m，n∈R），求m2+n2－2m－2n+2的取值范围．
解析：如图3，设直线AP的延长线与AB相交于P′，由于A、P、P′与B、P′、C三点都共线，所以存在实数x，y，使得=x+（1－x），=y（0
基于线性规划的角度探讨数列问题
数列问题常可归结为关于a1，an，Sn，n，d（或q）的基本量，因此数列条件常以基本量的条件来呈现，这种双参数问题的背景为线性规划思想的应用创设了有利的条件．
例6 已知等差数列｛ａn｝的前n的和为Sn，满足S5≥10，S6≤15，求a4的最大值．
解析：设等差数列｛a｝的首项为a，公差为d，由S5≥10，S6≤15得a1+2d≥2，2a1+5d≤5. 它表示的区域可以如图4所示，又a4=a1+3d，所以当直线l：t=a1+3d经过A（1，0）时a4的值最大为3．
点评：基本量的思想，是解决等差、等比数列问题的常规方法．在等差或等比的背景条件下，当条件中出现不等关系，目标量又是跟取值范围或最值有关时，我们就可以尝试把首项与公差（或公比）看做两个变量，然后构造出不等式组和目标关系式，并利用线性规划的有关知识来求解． 此题如果从数列的角度来求解，简解如下：由S5≥10得a3≥2；由S6≤15得a3+a4≤5，两式相结合不难得到a4≤5－a3≤3． 但从线性规划的视角来看，本解法把等差数列的两个基本量看做两个变量，由此根据条件构造出不等式组，并从几何的视角显现出线性规划的特性，由此得到的解法构思新颖，给人以耳目一新之感． 此视角对培养学生学习数学的热情和兴趣非常有效，同时对培养学生的创新意识大有裨益，值得借鉴和渗透．
综上所述，对某些双参数或可以构造出双参数的数学问题，如果条件式可以转化为不等式（或等式）或不等式（或等式）组（或混合组），而目标式又具有明显的线性意义的时候，我们就可以另辟蹊径，从线性规划的视角看此数学问题，从而使问题获解． 这种转化思想，体现了数学各种内容的内在联系，打破了僵守表象的陋习，活跃了数学的解题思维，实现了知识点之间的有益转换，让学生体会到活化的数学和流动的思维．在平时的教学中，充分利用这些有效素材来开阔学生的视野，发展学生的思维，对破解学生对数学的畏难情绪，培养学生的创新能力起到了良好的收效． 真可谓：另眼看数学，数学真奇妙．