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[摘 要]“拼图与周长”是培养学生运用所学知识解决怎样拼周长最短的内容。教师需要善用“放大”的艺术，让学生置身于探究的全过程，在拼图中发现奥秘，在反思中提炼方法，让探究成为整节课的核心，让数学学习往“深刻”中走。
[关键词]拼图;周长;数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0055-02
【教学内容】人教版教材三年级上册第86页。
【课前慎思】“拼图与周长”这节课的教学目的是让学生在学习周长概念，掌握长方形和正方形的周长计算之后，能够运用所学知识解决怎样拼周长最短的问题，从而发展深度学习与思考的能力。如何设计教学方能更好地培养学生的思考力，促进学生进行深刻的学习？如何让课堂学习更有价值？笔者以为，需要善用“放大”的艺术，让数学学习往“深刻”中走。
教学中，依托简单的操作素材——边长是1厘米的小正方形，将教学重点放在“拼图操作”上。在学生自主探究用16个小正方形拼图时，教师通过巧妙的环节设计和启发、引导，让学生经历拼一拼、算一算、比一比、想一想等系列学习活动，进一步巩固周长的意义，探索计算图形周长的多种方法，并最终得出周长最短的图形的拼法，理解周长的长短本质是重合的边的多少。整节课要让学生在拼图中发现奥秘，在反思中提炼方法，让探究成为整节课的核心。如此，学生用自己的方式去接近数学、经历数学，思维自然会向更深处漫溯。
【课中笃行】
一、在回顾中引入新知
师：请说一说长方形和正方形周长的计算公式。
师：今天，我们就运用所学知识去解决生活中的实际问题，探究拼图与周长之间的关系。
二、在探究中解决问题
出示：用16张边长是1厘米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使图形的周长最短？
探究要求：（1）拼一拼：借助小正方形学具摆一摆，有几种不同的拼法？ （2）算一算：每种拼法的周长分别是多少厘米？（3）说一说：同桌交流，说说每种拼法的过程与周长。
生1：我们是拼成2行，每行8个小正方形。
师：这个长方形的长是多少，宽是多少？周长又是多少？
生1：拼成的长方形的长是8厘米，宽是2厘米，周长是（8 2）×2=20（厘米）。
生2：我们把16个小正方形摆成一行。这样拼成的长方形的长是16厘米，宽是1厘米，周长等于（16 1）×2=34（厘米）。我们发现这样拼成的长方形，周长比生1的长。
师：比较这两种拼法，第一种拼法的周长要短一些。还有其他拼法吗？
生3：我们是拼成4行，每行4个小正方形。拼成的大正方形的每条边有4个小正方形，所以长是4厘米，周长等于4×4=16（厘米）。我们还发现，这样拼成的大正方形的周长最短。
师：你们找到了使得周长最短的方法是拼成正方形。真棒！
师：老师把这3种拼法请到了屏幕上。第一种，长是16厘米，宽是1厘米，周长是34厘米;第二种，长是8厘米，宽是2厘米，周长是20厘米;第三种，长和宽都是4厘米，周长等于16厘米。
生4：这样能更加清晰和有序地看出第三种拼法的图形的周长最短。
师：是的。解决问题时，有序思考就能更好地做到不重复、不遗漏，让结论清晰可见。
【设计意图：引导学生完整经历解决问题的三个步骤“阅读与理解，分析与解答，回顾与反思”，积累解决问题的经验。学生在探究与交流的过程中，形成动手操作能力，提升数学思维品质，从而提高解决问题的能力。】
三、在深入中探究本质
师：仔细观察三种拼法得到的图形，有什么共同点？又有什么不同点？
生1：共同点是都用了16个小正方形。不同点是拼的行数不同，每行的小正方形个数也不同，周长就不相同。
师：与16个小正方形的周长总和比较，这些拼成的图形周长有什么变化？为什么？
生2：周长变短了，因为这些拼成的图形都有重合的边，而周长是图形一周的长度，重合的边是不算的。
师：看来边的重合会影响周长的大小。那么，拼成正方形时周长最短，第一种拼法得到的图形的周长最长，是否跟重合的边有关呢？
生3：第三种拼法重合的边最多，所以周长最短。
生4：第一种拼法重合的边最少，所以周长最长。
师：是吗？每种拼法到底重合了多少条边？我们一起来数一数、算一算。
生5：第一种拼法，只摆成1行，少了15×2=30（条）边。
生6：第二种拼法，摆成2行，每行少了7条边，2行就少了7×2×2=28（条），再加上中间少了8×2=16（条），一共少了44条边。
生7：第三种拼法重合的边就更多了。
生8：我发现，拼的行数越多，越紧凑，重合的边就越多，周长就越短。
师：“紧凑”这个词用得好！
师：第三种拼法“最紧凑”，所以重合的边最多，周长自然就最短。这样的规律和长方形的长、宽有没有关系呢？我们继续研究。
【设计意图：知其然，更要知其所以然。通过计算得出周长最短的图形拼法后，需进一步引导学生观察正方形重合的边的多少引起的周长的变化。因为学生直觉上能感觉周长最短、最长的拼法，但是不清楚背后的原理。】
師：用36张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼得到的图形的周长最短？
师：如果用36个小正方形去拼，你觉得怎么样？
生9：太多了，有点麻烦！
师：确实有点麻烦。有没有更简洁的方法？
生10：可以用列表格的方法。
师：请独立思考，完成表格。（在学生完成后，出示下表） 师：观察表中的数据，你有什么发现？
生11：拼成1行，周长最长。
生12：拼成6行，周长最短。
生13：长越来越小，周长也越来越小。
生14：当长和宽越接近时，周长越短。
师：如果表格中再增加一行，长减少，宽增加，周长又有什么变化？
生15：周长又会增加，重复上面的数据。
师：用小正方形怎样拼图才能使得周长最短？
生16：拼成的长方形的长和宽越接近，它们的和就越小，周长也就越短。
师：是的。长与宽越接近，和就越小，周长也就越短。本质原因是什么？
生17：因为紧凑了，重合的边多了，周长就短了。
【设计意图：从拼图到不拼，从具象到想象。运用表格的策略，学生可以更加清楚地发现规律。同时，学生在数形结合中能够理解周长的长短本质是重合的边的多少，而不只局限于结论的得出。这为后续进一步学习正方体埋下伏笔。】
四、在回顾中沟通延伸（略）
【课后研思】
佐藤学认为：“教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀一些有用的东西。”本节课围绕“怎样拼周长最短”这一主问题，以操作探究与辨析理解为研究方式，引导学生从长方形的长和宽以及长与宽之和的关系探寻周长变化的规律。
解决“怎样拼小正方形周长最短”问题，学生除了需要必备的知识基础外，还需具备操作经验，即“怎样拼”，以及思维经验，即“拼起来周长为什么变短”，而数学活动经验需要在“做”和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。学生第一次接触长方形和正方形，不管是操作经验，还是思维经验都比较匮乏。那么，如何丰富学生的经验？教学中，教师放大了探究过程，给学生足够的时间探究16个小正方形的不同拼法，让学生的思维可视，再通过计算得出拼成4行、每行4个时周长最短。在这个过程中，人人参与其中，学会方法，不仅积累经验，而且形成动手操作能力，提升思维素养。
数学学习提倡从学生已有的知识经验出发，让新知的锚泊在旧知上。比如初次动手探究为什么拼起来周长会变短，就让学生感受到拼的边越多、周长越短。第三环节中通过计算确定最紧凑的拼法，为揭示规律背后的数学本质铺垫。运用表格策略，学生可以更加清晰地发现规律，同时数形结合，感悟周长最短的本质，为后续五年级进一步研究正方体的拼搭做好了孕伏。層层递进的环节设计，沟通了周长的变化规律与长、宽、长与宽之和之间的联系，逐步凸显数学本质，让学生的数学理解更加深刻。
（责编 金 铃）
[关键词]拼图;周长;数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0055-02
【教学内容】人教版教材三年级上册第86页。
【课前慎思】“拼图与周长”这节课的教学目的是让学生在学习周长概念，掌握长方形和正方形的周长计算之后，能够运用所学知识解决怎样拼周长最短的问题，从而发展深度学习与思考的能力。如何设计教学方能更好地培养学生的思考力，促进学生进行深刻的学习？如何让课堂学习更有价值？笔者以为，需要善用“放大”的艺术，让数学学习往“深刻”中走。
教学中，依托简单的操作素材——边长是1厘米的小正方形，将教学重点放在“拼图操作”上。在学生自主探究用16个小正方形拼图时，教师通过巧妙的环节设计和启发、引导，让学生经历拼一拼、算一算、比一比、想一想等系列学习活动，进一步巩固周长的意义，探索计算图形周长的多种方法，并最终得出周长最短的图形的拼法，理解周长的长短本质是重合的边的多少。整节课要让学生在拼图中发现奥秘，在反思中提炼方法，让探究成为整节课的核心。如此，学生用自己的方式去接近数学、经历数学，思维自然会向更深处漫溯。
【课中笃行】
一、在回顾中引入新知
师：请说一说长方形和正方形周长的计算公式。
师：今天，我们就运用所学知识去解决生活中的实际问题，探究拼图与周长之间的关系。
二、在探究中解决问题
出示：用16张边长是1厘米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使图形的周长最短？
探究要求：（1）拼一拼：借助小正方形学具摆一摆，有几种不同的拼法？ （2）算一算：每种拼法的周长分别是多少厘米？（3）说一说：同桌交流，说说每种拼法的过程与周长。
生1：我们是拼成2行，每行8个小正方形。
师：这个长方形的长是多少，宽是多少？周长又是多少？
生1：拼成的长方形的长是8厘米，宽是2厘米，周长是（8 2）×2=20（厘米）。
生2：我们把16个小正方形摆成一行。这样拼成的长方形的长是16厘米，宽是1厘米，周长等于（16 1）×2=34（厘米）。我们发现这样拼成的长方形，周长比生1的长。
师：比较这两种拼法，第一种拼法的周长要短一些。还有其他拼法吗？
生3：我们是拼成4行，每行4个小正方形。拼成的大正方形的每条边有4个小正方形，所以长是4厘米，周长等于4×4=16（厘米）。我们还发现，这样拼成的大正方形的周长最短。
师：你们找到了使得周长最短的方法是拼成正方形。真棒！
师：老师把这3种拼法请到了屏幕上。第一种，长是16厘米，宽是1厘米，周长是34厘米;第二种，长是8厘米，宽是2厘米，周长是20厘米;第三种，长和宽都是4厘米，周长等于16厘米。
生4：这样能更加清晰和有序地看出第三种拼法的图形的周长最短。
师：是的。解决问题时，有序思考就能更好地做到不重复、不遗漏，让结论清晰可见。
【设计意图：引导学生完整经历解决问题的三个步骤“阅读与理解，分析与解答，回顾与反思”，积累解决问题的经验。学生在探究与交流的过程中，形成动手操作能力，提升数学思维品质，从而提高解决问题的能力。】
三、在深入中探究本质
师：仔细观察三种拼法得到的图形，有什么共同点？又有什么不同点？
生1：共同点是都用了16个小正方形。不同点是拼的行数不同，每行的小正方形个数也不同，周长就不相同。
师：与16个小正方形的周长总和比较，这些拼成的图形周长有什么变化？为什么？
生2：周长变短了，因为这些拼成的图形都有重合的边，而周长是图形一周的长度，重合的边是不算的。
师：看来边的重合会影响周长的大小。那么，拼成正方形时周长最短，第一种拼法得到的图形的周长最长，是否跟重合的边有关呢？
生3：第三种拼法重合的边最多，所以周长最短。
生4：第一种拼法重合的边最少，所以周长最长。
师：是吗？每种拼法到底重合了多少条边？我们一起来数一数、算一算。
生5：第一种拼法，只摆成1行，少了15×2=30（条）边。
生6：第二种拼法，摆成2行，每行少了7条边，2行就少了7×2×2=28（条），再加上中间少了8×2=16（条），一共少了44条边。
生7：第三种拼法重合的边就更多了。
生8：我发现，拼的行数越多，越紧凑，重合的边就越多，周长就越短。
师：“紧凑”这个词用得好！
师：第三种拼法“最紧凑”，所以重合的边最多，周长自然就最短。这样的规律和长方形的长、宽有没有关系呢？我们继续研究。
【设计意图：知其然，更要知其所以然。通过计算得出周长最短的图形拼法后，需进一步引导学生观察正方形重合的边的多少引起的周长的变化。因为学生直觉上能感觉周长最短、最长的拼法，但是不清楚背后的原理。】
師：用36张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼得到的图形的周长最短？
师：如果用36个小正方形去拼，你觉得怎么样？
生9：太多了，有点麻烦！
师：确实有点麻烦。有没有更简洁的方法？
生10：可以用列表格的方法。
师：请独立思考，完成表格。（在学生完成后，出示下表） 师：观察表中的数据，你有什么发现？
生11：拼成1行，周长最长。
生12：拼成6行，周长最短。
生13：长越来越小，周长也越来越小。
生14：当长和宽越接近时，周长越短。
师：如果表格中再增加一行，长减少，宽增加，周长又有什么变化？
生15：周长又会增加，重复上面的数据。
师：用小正方形怎样拼图才能使得周长最短？
生16：拼成的长方形的长和宽越接近，它们的和就越小，周长也就越短。
师：是的。长与宽越接近，和就越小，周长也就越短。本质原因是什么？
生17：因为紧凑了，重合的边多了，周长就短了。
【设计意图：从拼图到不拼，从具象到想象。运用表格的策略，学生可以更加清楚地发现规律。同时，学生在数形结合中能够理解周长的长短本质是重合的边的多少，而不只局限于结论的得出。这为后续进一步学习正方体埋下伏笔。】
四、在回顾中沟通延伸（略）
【课后研思】
佐藤学认为：“教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀一些有用的东西。”本节课围绕“怎样拼周长最短”这一主问题，以操作探究与辨析理解为研究方式，引导学生从长方形的长和宽以及长与宽之和的关系探寻周长变化的规律。
解决“怎样拼小正方形周长最短”问题，学生除了需要必备的知识基础外，还需具备操作经验，即“怎样拼”，以及思维经验，即“拼起来周长为什么变短”，而数学活动经验需要在“做”和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。学生第一次接触长方形和正方形，不管是操作经验，还是思维经验都比较匮乏。那么，如何丰富学生的经验？教学中，教师放大了探究过程，给学生足够的时间探究16个小正方形的不同拼法，让学生的思维可视，再通过计算得出拼成4行、每行4个时周长最短。在这个过程中，人人参与其中，学会方法，不仅积累经验，而且形成动手操作能力，提升思维素养。
数学学习提倡从学生已有的知识经验出发，让新知的锚泊在旧知上。比如初次动手探究为什么拼起来周长会变短，就让学生感受到拼的边越多、周长越短。第三环节中通过计算确定最紧凑的拼法，为揭示规律背后的数学本质铺垫。运用表格策略，学生可以更加清晰地发现规律，同时数形结合，感悟周长最短的本质，为后续五年级进一步研究正方体的拼搭做好了孕伏。層层递进的环节设计，沟通了周长的变化规律与长、宽、长与宽之和之间的联系，逐步凸显数学本质，让学生的数学理解更加深刻。
（责编 金 铃）