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[摘要]数学教学中的反思是指学生自觉地对数学认知活动进行观察、分析、总结、评价、调节的过程。通过反思可以提高学生的数学意识，优化思维品质；可以拓宽解题思路，优化解题方法，促进创新思维的发展；使学生的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为，从而提高学习效率。
[关键词]反思 认知结构 数学意识 思维活动
《数学课程标准》指出：通过数学学习，使学生初步形成反思意识以及进行质疑和独立思考的习惯。数学教学中的反思是指学生自觉地对数学认知活动进行观察、分析、总结、评价、调节的过程。在教学中，培养学生的反思意识，引导学生多层次、多角度地对解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，可以深化对问题的理解，优化思维的过程，完善认知结构。从而揭示问题本质，探索一般规律，获得新的发现。通过反思可以提高学生的数学意识，优化思维品质；可以拓宽解题思路，优化解题方法，促进创新思维的发展；通过反思可以深化对知识的理解，使学生的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为，从而提高学习效率。下面结合自身的教学实践，谈谈如何在数学教学中引导学生开展反思活动的。
一、反思概念、公式、定理，以便深刻理解、灵活应用
在数学教学中，可能老师经常会发出这样的感慨：对一些数学概念、定理、公式的教学，反来复去地讲解和训练，感觉学生弄懂了，但一应用起来多数学生还是存在问题。究其原因，主要是在教学中，教师往往在这些知识的形成上，注重培养学生思维的逻辑性和严谨性，而忽视了学生接受知识的层次性。强制性地把新知识注入学生头脑，学生的学习非常被动，形成的知识呆板，不求甚解。对这些知识往往知其然而不知所以然，无法达到全面地、深刻地理解和灵活应用。因此，教师在教学中除了要引导学生积极参与概念、定理、公式的形成过程外，还应引导学生运用已有的知识、经验、方法对所学内容进行全方位的反思，使其深刻理解其内涵和外延，揭示其本质，从而达到灵活、有效的运用。
如在学习方差概念时，经常有这样的题目：甲、乙两人参加射击选拔比赛，各打十枪，计算这两组数据的方差，如甲方差较小，则甲发挥的更稳定，那么是不是甲的成绩就越好呢？ 学生经常把方差越小时的“稳定”与“好”等同起来，错误地认为方差越小成绩就越好。对方差的概念进一步的理解可知：方差是反映一组数据的波动大小，这个“波动”必须是相对某个标准（一般是平均数）而言的，是指在这个平均数上下的波动大小。很显然在上例中，平均数大，方差越小，则成绩越好。如方差小，平均数也较小，则不仅说明整体成绩差，而且还说明这个运动员没有什么潜力。
对方差概念进一步反思：再追问现实生活中有没有方差越大越好的情况呢？如现在很多公司为了促销，推销员的收入直接和他的销售量挂钩，实行多劳多得。那么所有推销员收入的方差越大，则说明推销员间的收入差距较大，就说明这种制度能充分调动推销员的积极性，符合多劳多得，少劳少得，不劳不得的时代特征。由此经过多角度、多侧面的反思，学生对方差的概念有了更全面、更深入的了解。
又如学习整式乘法的平方差公式时，不少学生往往只记住公式，虽能掌握最基本的用法，但缺乏对公式特征较深入的了解，难以灵活运用公式。如计算（2x-3y）（-2x-3y）时 ，部分学生就直接运用平方差公式，出现：（2x-3y）（-2x-3y）=-（2x）2-（3y）2的错误结果。原因主要是对平方差公式的特征没有准确的把握，弄错了原题中的项和平方差公式中a、b的对应关系。教学中应引导学生对公式特征进行分析：两个完全相同的项对应公式中的a，互为相反的项对应公式中的b，注意a、b的位置是a前b后，结果是a2-b2。因此原题可转化得到（2x-3y）（-2x-3y）=（-3y +2x）（-3y-2x）=（-3y）2-（2x）2。由此，经过对平方差公式的深入的反思、总结，使学生对公式有了更深刻的理解，从而能灵活、准确地运用公式。
二、反思知识之间的联系，实现知识的系统化
教师的教学不仅是“教”，更重要的是指导学生有个良好的学习方法。而好的学习方法应该是符合学生认知规律的科学的学习方式、方法，能够使学生更有效的掌握所学的知识，并能灵活运用所学的知识解决一些实际问题。数学学习的过程，无论是对新知的探究，还是对所学知识的运用，都要求有高度的思维活动，而反思正是思维活动的主要体现。因此，在数学教学中，教师要引导学生对各个教学环节进行全面的反思，反思知识点与知识点、新旧知识点之间的内在联系，形成知识的系统性和完整性，建立合理的知识结构和知识体系，提高学生综合运用知识的能力。
学完一单元后，要引导学生对这一章的内容进行反思：这一章主要研究了那些问题？各知识点间有什么联系？重点是什么？用了那些数学思想和方法？与以前的内容有什么联系？通过反思，使知识更加系统化，这样学生能更有效地掌握和运用知识。
如在学完《平行四边形》这章后，引导学生反思平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定有什么联系？学好这部分内容的关键是什么？学生对它们的关系进行深入的反思会发现：矩形和菱形是特殊的平行四边形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。掌握矩形和菱形的两个特有的性质是学好这部分内容的关键。如理解矩形的性质时，由矩形的定义知，矩形是特殊的平行四边形故它具有平行四边形的所有性质，还具有它的特殊性质：四个角都是直角和对角线相等；理解菱形的性质时，同样具有平行四边形所有性质，还具有它的特殊性质四条边都相等及对角线互相垂直，且平分每一组内角；正方形的性质，很显然具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质。
三、反思解题方法，提高解题能力
在教学中，老师往往怕学生走弯路，浪费时间，于是按照自己的经验将现成的解法、解题技巧直接灌输给学生，感觉学生听懂了，同类型的题目也会做了，但题目稍作变化，学生就感觉有困难。究其原因，就是教师缺乏指导学生对学习活动，解题过程进行深入、有效的反思。由于缺乏解题后的反思，学生往往只会对现成的解题过程生搬硬套，没有形成自己的解题思路和方法，学生的解题能力没有得到根本提高。因此，在教学中，学生做完一道题后，要引导他们进行及时、深入的反思，这不仅是简单的回顾和总结，而是引导学生根据问题的结构特点，从解题思路，解题方法，解题途径进行多角度的反思。如反思解题过程中出现错误的原因：是审题不清？还是知识性错误？方法错误？提出改进措施；反思解题过程和思路，有没有更简捷，更巧妙的解题方法？反思题目的条件和结论经常有那些变化？如何应答？总结解某一类题的一般规律，形成正确的解题思路等。如若代数式4x2+2mx+16是个完全平方式，求m的值.学生容易出现下面错解：
由4x2+2mx+16=（2x）2+2mx+42 则： 2m=2×2×4 ∴ m=8
上面的错误在于对完全平方式的特征了解不够深入、全面，没有注意到完全平方式a2±2ab+b2的中间项可以为正，也可为负。出现了漏解。
正确的解应是： 2m=±2×2×4 ∴ m=±8
上题中，在反思解题出错的原因，总结如何处理后，可引导学生进一步的反思有没有其它好的解题方法。联想到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有两个相等的实数根，则方程的左边ax2+bx+c必是个完全平方式。因此，本题可设 4x2+2mx+16=0，则4x2+2mx+16是个完全平方式，方程有两个相等的实数根，故△=（2m）2-4×4×16=0，直接解得m=±8，不会出现漏解的情况。由此，通过反思开阔了解题思路和方法，能够创造性地运用知识解决一些问题。
由此可见，反思是一把启迪学生数学智慧的钥匙。反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，更重要的是它能带动学生积极、主动、探究性地投入到数学学习活动中，增强学生学会数学思维的灵敏性，提高学生的创新能力。
（作者单位：陕西省西乡县板桥初级中学）
[关键词]反思 认知结构 数学意识 思维活动
《数学课程标准》指出：通过数学学习，使学生初步形成反思意识以及进行质疑和独立思考的习惯。数学教学中的反思是指学生自觉地对数学认知活动进行观察、分析、总结、评价、调节的过程。在教学中，培养学生的反思意识，引导学生多层次、多角度地对解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，可以深化对问题的理解，优化思维的过程，完善认知结构。从而揭示问题本质，探索一般规律，获得新的发现。通过反思可以提高学生的数学意识，优化思维品质；可以拓宽解题思路，优化解题方法，促进创新思维的发展；通过反思可以深化对知识的理解，使学生的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为，从而提高学习效率。下面结合自身的教学实践，谈谈如何在数学教学中引导学生开展反思活动的。
一、反思概念、公式、定理，以便深刻理解、灵活应用
在数学教学中，可能老师经常会发出这样的感慨：对一些数学概念、定理、公式的教学，反来复去地讲解和训练，感觉学生弄懂了，但一应用起来多数学生还是存在问题。究其原因，主要是在教学中，教师往往在这些知识的形成上，注重培养学生思维的逻辑性和严谨性，而忽视了学生接受知识的层次性。强制性地把新知识注入学生头脑，学生的学习非常被动，形成的知识呆板，不求甚解。对这些知识往往知其然而不知所以然，无法达到全面地、深刻地理解和灵活应用。因此，教师在教学中除了要引导学生积极参与概念、定理、公式的形成过程外，还应引导学生运用已有的知识、经验、方法对所学内容进行全方位的反思，使其深刻理解其内涵和外延，揭示其本质，从而达到灵活、有效的运用。
如在学习方差概念时，经常有这样的题目：甲、乙两人参加射击选拔比赛，各打十枪，计算这两组数据的方差，如甲方差较小，则甲发挥的更稳定，那么是不是甲的成绩就越好呢？ 学生经常把方差越小时的“稳定”与“好”等同起来，错误地认为方差越小成绩就越好。对方差的概念进一步的理解可知：方差是反映一组数据的波动大小，这个“波动”必须是相对某个标准（一般是平均数）而言的，是指在这个平均数上下的波动大小。很显然在上例中，平均数大，方差越小，则成绩越好。如方差小，平均数也较小，则不仅说明整体成绩差，而且还说明这个运动员没有什么潜力。
对方差概念进一步反思：再追问现实生活中有没有方差越大越好的情况呢？如现在很多公司为了促销，推销员的收入直接和他的销售量挂钩，实行多劳多得。那么所有推销员收入的方差越大，则说明推销员间的收入差距较大，就说明这种制度能充分调动推销员的积极性，符合多劳多得，少劳少得，不劳不得的时代特征。由此经过多角度、多侧面的反思，学生对方差的概念有了更全面、更深入的了解。
又如学习整式乘法的平方差公式时，不少学生往往只记住公式，虽能掌握最基本的用法，但缺乏对公式特征较深入的了解，难以灵活运用公式。如计算（2x-3y）（-2x-3y）时 ，部分学生就直接运用平方差公式，出现：（2x-3y）（-2x-3y）=-（2x）2-（3y）2的错误结果。原因主要是对平方差公式的特征没有准确的把握，弄错了原题中的项和平方差公式中a、b的对应关系。教学中应引导学生对公式特征进行分析：两个完全相同的项对应公式中的a，互为相反的项对应公式中的b，注意a、b的位置是a前b后，结果是a2-b2。因此原题可转化得到（2x-3y）（-2x-3y）=（-3y +2x）（-3y-2x）=（-3y）2-（2x）2。由此，经过对平方差公式的深入的反思、总结，使学生对公式有了更深刻的理解，从而能灵活、准确地运用公式。
二、反思知识之间的联系，实现知识的系统化
教师的教学不仅是“教”，更重要的是指导学生有个良好的学习方法。而好的学习方法应该是符合学生认知规律的科学的学习方式、方法，能够使学生更有效的掌握所学的知识，并能灵活运用所学的知识解决一些实际问题。数学学习的过程，无论是对新知的探究，还是对所学知识的运用，都要求有高度的思维活动，而反思正是思维活动的主要体现。因此，在数学教学中，教师要引导学生对各个教学环节进行全面的反思，反思知识点与知识点、新旧知识点之间的内在联系，形成知识的系统性和完整性，建立合理的知识结构和知识体系，提高学生综合运用知识的能力。
学完一单元后，要引导学生对这一章的内容进行反思：这一章主要研究了那些问题？各知识点间有什么联系？重点是什么？用了那些数学思想和方法？与以前的内容有什么联系？通过反思，使知识更加系统化，这样学生能更有效地掌握和运用知识。
如在学完《平行四边形》这章后，引导学生反思平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定有什么联系？学好这部分内容的关键是什么？学生对它们的关系进行深入的反思会发现：矩形和菱形是特殊的平行四边形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。掌握矩形和菱形的两个特有的性质是学好这部分内容的关键。如理解矩形的性质时，由矩形的定义知，矩形是特殊的平行四边形故它具有平行四边形的所有性质，还具有它的特殊性质：四个角都是直角和对角线相等；理解菱形的性质时，同样具有平行四边形所有性质，还具有它的特殊性质四条边都相等及对角线互相垂直，且平分每一组内角；正方形的性质，很显然具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质。
三、反思解题方法，提高解题能力
在教学中，老师往往怕学生走弯路，浪费时间，于是按照自己的经验将现成的解法、解题技巧直接灌输给学生，感觉学生听懂了，同类型的题目也会做了，但题目稍作变化，学生就感觉有困难。究其原因，就是教师缺乏指导学生对学习活动，解题过程进行深入、有效的反思。由于缺乏解题后的反思，学生往往只会对现成的解题过程生搬硬套，没有形成自己的解题思路和方法，学生的解题能力没有得到根本提高。因此，在教学中，学生做完一道题后，要引导他们进行及时、深入的反思，这不仅是简单的回顾和总结，而是引导学生根据问题的结构特点，从解题思路，解题方法，解题途径进行多角度的反思。如反思解题过程中出现错误的原因：是审题不清？还是知识性错误？方法错误？提出改进措施；反思解题过程和思路，有没有更简捷，更巧妙的解题方法？反思题目的条件和结论经常有那些变化？如何应答？总结解某一类题的一般规律，形成正确的解题思路等。如若代数式4x2+2mx+16是个完全平方式，求m的值.学生容易出现下面错解：
由4x2+2mx+16=（2x）2+2mx+42 则： 2m=2×2×4 ∴ m=8
上面的错误在于对完全平方式的特征了解不够深入、全面，没有注意到完全平方式a2±2ab+b2的中间项可以为正，也可为负。出现了漏解。
正确的解应是： 2m=±2×2×4 ∴ m=±8
上题中，在反思解题出错的原因，总结如何处理后，可引导学生进一步的反思有没有其它好的解题方法。联想到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有两个相等的实数根，则方程的左边ax2+bx+c必是个完全平方式。因此，本题可设 4x2+2mx+16=0，则4x2+2mx+16是个完全平方式，方程有两个相等的实数根，故△=（2m）2-4×4×16=0，直接解得m=±8，不会出现漏解的情况。由此，通过反思开阔了解题思路和方法，能够创造性地运用知识解决一些问题。
由此可见，反思是一把启迪学生数学智慧的钥匙。反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，更重要的是它能带动学生积极、主动、探究性地投入到数学学习活动中，增强学生学会数学思维的灵敏性，提高学生的创新能力。
（作者单位：陕西省西乡县板桥初级中学）