什么是数学中的特例？特例就是特殊的例子，是一般规律在某些特殊条件下的结果，如零是特殊的有理数；正方形是特殊的矩形和菱形；全等三角形是相似比为1的相似三角形；直径是特殊的弦；30°、45°、60°的角是特殊的角；等边三角形是特殊的三角形；勾股定理是余弦定理的特例等等。
　　数学中特例的地位和作用是相当重要的，这不仅因为忽视特例会导致不易发觉的错误，而且特例常常是研究问题的起点。数学方法中的归纳法就是由特例到一般的推理，特例常常是一般结论的先导，一般情况是特例的发展与完善，由特例可进而研究一般规律，忽视特例往往会潜伏错误，注意特例才能使思考严谨完善，掌握了一般规律，再用以指导特殊问题的解决。如《周髀算经》开宗明义第一章就记载着周公与商高的对话。他们首先提出了勾股形的问题，商高说：“故折矩以为句广三，股修四，径隅五”。这说明，如果直角三角形的长度是3和4，那么它的斜边必定是5；反之，如果三角形三个边长的比为a：b：c=3：4：5，那么这个三角形必定是直角三角形，这就是勾股定理的一个特例。
　　那么，数学特例有什么作用呢？
　　一、特例用于反驳
　　一个数学结论的成立必须对其允许的各种情况都经过判断之后才能确认，好比一台机器由许多部件组成，必须当每个部件都运转正常时，整个机器才能正常运转，如若有一个部件出了问题，就不能说这台机器完好。按照这种思想方法，要证明一个命题正确，理所当然必须对其各种情况加以证明，而要否定一个数学命题，只要能举出一个不能令其成立的特例（即所谓的举反例）进行反驳即可，这就是特例反驳法，历史上许多有名的数学难题就是用这种方法解决的。
　　例1：已知|m|>|n|，能够断定m>n吗？
　　解：不能断定，只要举一个反例来说明，例如，当m=-5，n=3时，|-5|>|3|，而-5<3。
　　例2：一学生证明一道几何题有这样一段：在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，因为AC=BD，所以四边形是矩形。
　　显然这个结论是靠不住的，就是说它不具有一般性，这时只要举一反例进行反驳，就会加深理解为什么以上证明是不对的，如上图所示，在四边形ABCD中，AC=BD，而四边形ABCD是等腰梯形，显然不是矩形。
　　例3：“如果两个三角形的三个内角和三条边六个元素中有五个元素分别相等，那么这两个三角形全等”。这种说法对吗？
　　解：我们来构造一个反例对这个命题进行反驳，如构造⊿ABC和⊿DEF，如上图，其中BC=DE=12，CA=EF=18，AB=8，DF=27，显然有AB/DE=AC/DF=BC/EF=2/3，∴⊿ABC∽⊿DEF，∴　　这两个三角形满足了五个元素分别相等的要求（注意：“分别”二字，不是“对应”），但是它们显然不全等。
　　二、特例用于解题
　　例4：若n是大于2的自然数，则2n-1与2n+1中（ ）
　　（A）至多有一个是质数；
　　（B）至少有一个是质数；
　　（C）至多有一个是合数；
　　（D）恰好有一个是合数。
　　解：如果用正解比较麻烦，而假如取特殊值n=6，则26=64，2n-1=63，2n+1=65，而63和65均为合数，所以排除（B）（C）（D），故选（A）。
　　例5：已知x-y-z=0，y-z=0，xyz≠0，
　　那么1998x2+1999y2-2000z2/1998x2-1999y2+2000z2=______
　　解：取x=2，y=z=1，则有原式1998×4-1/1998×4+1=7991/7993。
　　例6：已知a（x-1）（x-2）+b（x-2）（x-3）+c（x-3）（x-1）=5x2-4x+1，求a、b、c的值。
　　解：这是恒等式，对于x允许的值均恒等。
　　令x=3，得2a=34，a=17，
　　令x=1，得2b=2，b=1，
　　令x=2，得-c=13，b=-13，若将原式左边展开，利用多项式恒等来解，显然是相当麻烦的。
　　三、特例用于验证
　　一个结论的成立，应对其允许的所有各种情况均成立，所以我们以允许的特例代入也应该成立。如果不成立，就说明有错误，通过特例进行验证，从而帮助我们发现错误。
　　例7：验证习题答案的正确性，有的同学将代数式
　　化简后，其答案为3/x，这个结果是否有错误。可根据代数式恒等变形的意义，取特殊值进行验证，如令x=2，原式=1，而当x=2时，3/x=3/2，显然1≠3/2，可见原题的答案是错误的。
　　（作者单位：贵州省惠水县第二中学）