[摘要]介绍测度链以及测度链上的微分方程的起源及发展过程，详细介绍二阶微分方程，在测度链上和特征值上的具体体现，测度链上微分方程的研究是目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重要的理论价值和实际应用价值。开展测度链上微分方程的应用性方面研究，可以加强与其它学科的联系。所以，将已有的微分方程结论推广和改进到测度链上的微分方程中去很有必要。
　　[关键词]测度链 微分方程 二阶 特征值
　　中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0810134－02
　　
　　1988年德国数学家Hilger在他的博士论文中首次提出了测度链的理论，将对离散和连续变量的分析统一起来。所谓测度链是指实数集上的任一非空闭子集。如果选择测度链是实数集，它就是通常的微分方程，如果选择测度链是整数集，那么它就是差分方程。近年来，测度链上微分方程的研究得到了较快的发展。所采用的研究方法是把微分方程与差分方程研究方法进行比较、统一，然后再推广到测度链上。
　　许多物理、力学、工程上的实际问题，都可以归结为求解微分方程的问题；而在解决一个具体问题时，除了微分方程本身以外，还需要一定的定解条件。在一般的微分方程的讨论中，定解条件为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。它可表述为：已知运动在初始时刻的状态，探求运动的规律。但是，有许多实际问题却不能这样表述，它们虽然也可以归结为求解微分方程的问题，而定解条件却分别在所考虑的区间两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题就称为边值问题。基于丰富的实际应用背景，非线性微分方程边值问题正解的存在性问题，在整个微分方程研究领域显得尤为重要，由于计算机技术的飞速发展，对连续的数学模型，数值计算它的解就需要把其离散化，即变成差分方程求解。差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质(平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等)，从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。那么把微分方程差分化后得到的差分方程，其性质与原来的微分方程是否相同呢？许多经验表明，微分方程的许多性质经差分后是保留下来了，但是，也有许多例子表明微分方程与相应的差分方程会有一些不同的性质，例如，观察单个种群的生态数学模型的Logistic方程
　　 的每个解都是单调增长的。但与上式相应的差分方程有可能出现混沌解，这就有了本质性的区别。例如二阶常微分方程
　　的某些性质与相应的差分方程是不同的。这种可能的差异性，使得对许多微分方程和它们相应的差分方程进行重复的研究。
　　例如，对动力系统
　　其中二十世纪初李雅普诺夫建立了李雅普诺夫直接法，并通过李雅普诺夫函数建立了上述动力系统的稳定性准则。上世纪60 年代Lasalle推广李雅普诺夫直接法到相应的差分系统，其中， 。
　　
　　另一方面，观察差分算子 的结构和微分算子
　　
　　的结构又十分类似。因此启发我们去定义一个更一般的算子，这个算子可以包括这两种特殊的算子。德国数学家Hilger 在1990年发表了测度链(Measurechain)分析一个连续与离散计算的统一方法[8]。给微分方程和差分方程统一研究提供了有力的工具，引起了国内外许多学者的广泛关注。Lakshmikantham 等在1996年建立了测度链上动力系统的李雅普诺夫稳定性理论。Bohner 和 Peterson系统分析了测度链上动力系统的重要一类：时间测度上的动力方程，称之为测度链的微分方程。我们研究测度链上非线性微分方程边值问题正解的存在性。
　　
　　一、测度链上的二阶微分方程
　　
　　Chuan Jen Chyan，Johnny Henderson 讨论了在测度链上边值问题
　　
　　
　　 的正解问题。文中用不动点定理证明了上述边值问题至少有两个正解。在这里设是实数的一个子集，对任意的 ，当 时 ，当
　　时 。
　　Elvan Akin讨论了边值问题
　　
　　 的解的情况，文中用上下解方法证明了解的存在性，并表明，对每一个固定的，若 关于是严格单调递增的，则这个边值问题有唯一解，最后说明了当 满足一定的条件时，可以得到解的存在唯一性定理。
　　L.erbe和A.peterson 讨论了形如
　　
　　两个条件有一个成立时，上述边值问题有一个正解。这里要求
　　
　　Richard I. Avery和 Douglas R. Anderson 也讨论了上述边值问题的正解的情况。当满足一定条件时，利用Leggett-Williams不动点定理可以得到边值问题至少有三个正解。Bai Chuan zhi 同样讨论了上述边值问题的正解情况，对的取值的不同范围，论文利用 LeggettWilliams 不动点定理证明该问题至少有三个正解。
　　Zhao-Cai Hao等研究了如下边值问题
　　
　　作者运用Krasnoselskii不动点定理，研究得出当满足一定条件时，此边值问题至少存在一个正解。
　　
　　二、具有特征值的二阶微分方程
　　
　　受Henderson Jdeng等人的启发，王大斌讨论了非线性特征问题
　　
　　满足边值条件的正解的情况,其中
　　是连续的，且 在的任何闭子区间上不一致为零。这里不要求
　　存在。当满足条件时，边值问题存在正解。作者后来又一次讨论此问题，当在某区间时，此边值问题有一序列正解 ，使得
　　或。
　　Chen Huang Hong ，Cheh Chih Yeh 讨论了测度链上的微分方程
　　
　　的正解问题。文中用Krasnoselskii不动点定理证明了在的某个区间内，方程至少存在一个正解。
　　DouglasR. Anderson 讨论了
　　 的正解情况。在这里是一个正函数，是区间 上的非负函数。文中用Krasnoselskii不动点定理证明了在的某个区间内，方程至少存在一个正解。
　　Anderson 研究了如下二阶测度链上的Sturm-Liouville型边值问题
　　
　　作者通过运用Krasnoselskii不动点定理，研究了此边值问题解的存在性，从而得到了特征值区间的存在性。Agarwal 等通过运用上下解方法，研究了实数域上此问题解的存在性。
　　杜增吉，葛渭高讨论了如下测度链上的Sturm-Liouville型边值问题
　　
　　作者通过运用LeggettWilliams 不动点定理，研究了此边值问题正解的存在性。
　　Lynn Erbe， Allan Peterson，和 Ronald Mathsen讨论了
　　
　　的正解的存在情况。
　　三、非线性动力系统边值问题
　　
　　Wan Tong Li ，Hong Rui Sun讨论了测度链上的形如
　　
　　满足SturmLiouville 边值条件
　　
　　的非线性动力系统的正解问题。文中用LeggettWilliams 不动点定理得到上述边值问题正解的存在性。
　　
　　参考文献：
　　郭大钧、孙经先.非线性常微分方程泛函方法.山东科学技术出版社,1995.
　　邓宗琦.常微分方程边值问题和比较定理引论.华东师范大学出版社，1978.
　　Hilger S. Analysis on measure chain-a unified approach to continuous and discrete calculus. Results Math, 1990, 18:18-56.
　　Martin Bohner, Allan Peterson. Dynamic Equations on Time Scales, An Introduction with Applications. Boston: Birkhauser,2001.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”