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【摘 要】余弦定理是高中数学的重要定理之一，它表达了三角形的边角关系，内涵丰富，用途广泛。教师从HPM视角设计本节课的教学，通过展现余弦定理不同历史阶段的表现形式和证明方法，呈现几何与代数的统一。教师从几何背景的介绍、几何方法的推导和几何定理的联系等方面进行教学，让学生对余弦定理的认知从定理公式上升为几何关系，进一步发展学生数学核心素养，实施数学学科德育。
【关键词】HPM;余弦定理;勾股定理;核心素养
【作者简介】杜金金，上海市建平中学数学教师，主要研究方向为高中数学课堂教学;林庄燕，福建省厦门第一中学数学教师，主要研究方向为数学史与数学教育;沈中宇，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要研究方向为数学史与数学教育。
一、引言余弦定理是高中数学的重要定理之一，它表达了三角形的边角关系，内涵丰富，用途广泛[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理，能用余弦定理解决简单的实际问题[2]。在沪教版高中一年级第二学期的数学教材中，余弦定理是第5章“三角比”中第三节“解斜三角形”的内容。从初中到高中，学生经历了从“解直角三角形”到“解斜三角形”的转变，随着知识抽象程度的提高以及应用范围的扩大，教师需要进一步在余弦定理的课堂中落实数学核心素养。
在教学实践中，许多教师对余弦定理的教学进行了探索，有的教师通过创设测量两点间距离的情境，将其抽象为已知三角形两边及其夹角，求第三条边的问题[3];有的教师直接从已知三角形两边及其夹角解三角形入手[4];有的教师从探究一般三角形三边平方之间的关系入手[5];还有的教师直接从三角形三边所对应向量之间的运算出发，形成余弦定理[6]。向量虽然是解决问题的有效工具，但是如果简单交给学生，不利于提高学生的思维水平，因此教师需要在教学中创设相应的情境[7]。同时，余弦定理是勾股定理推广的产物[8]，在教学中突出直角三角形与一般三角形的关系是十分恰当的[9]。
在历史上，余弦定理最先以几何定理的形式出现，到后期才出现三角形式，而且主要用于解决“已知三角形三边求各角”的问题[10]9-13。余弦定理的历史不仅为教师的教学提供借鉴，而且让学生的学习聚焦本源。因此，数学史的融入让余弦定理的教学始于几何，终于几何。在教学过程中，教师从几何背景的介绍、几何方法的推导和几何定理的联系等方面入手，让学生对余弦定理的记忆从死记硬背演变为融会贯通，对余弦定理的认知从定理公式上升为几何关系。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是余弦定理在数学学习中具有重要的地位。从勾股定理到余弦定理的推广看似是数学推导中的一小步，实则是数学发展中的一大步，由此可以进一步发展学生的数学核心素养，实施数学学科德育[11]。
有鉴于此，笔者从HPM视角设计本节课的教学，并拟订如下教学目标。
（1）掌握余弦定理及其推导过程，运用余弦定理解斜三角形;
（2）经历余弦定理的发现、猜想、探索、证明、固化和应用的学习过程，数形结合地认识余弦定理，培养学生数学运算的核心素养;
（3）在数学活动中培养学生的探究意识，在数学文化中传承数学精神。二、历史材料及其运用
余弦定理经历了漫长的历史发展过程，基于学生的认知基础，本节课将余弦定理的历史分为三个阶段：从勾股定理到余弦定理，从几何形式到三角形式，从几何方法到解析方法。
（一） 从勾股定理到余弦定理
公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》第一卷首先给出了勾股定理的证明。
欧几里得在《几何原本》第二卷分别给出钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。[13]命题Ⅱ12 在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角顶点向对边延长线作垂线，垂足到钝角顶点之间的一段所构成。
命题Ⅱ13 在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和，其差为一矩形的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该銳角顶点向对边作垂线，垂足到原锐角顶点之间的一段所构成。以上命题实际上就是余弦定理的几何形式，欧几里得利用勾股定理对上述命题进行证明。事实上，利用欧几里得证明勾股定理的方法，也可以证明余弦定理，证明方法如下。
因此，可得到余弦定理的三角比例形式。
17至18世纪，在大部分三角学著作中，给出的余弦定理仍然是几何形式的，少数数学家和韦达一样，由欧几里得的几何命题导出余弦定理的三角比例形式，其中意大利数学家卡诺里在《平面与球面三角形》中利用欧几里得的证法得到我们熟知的余弦定理的形式[10]9-13。
进入19世纪，大部分三角学教科书开始给出三角形式的余弦定理而不涉及几何形式。同时，数学家开始注重余弦定理与和角公式、正弦定理及射影公式之间的关系。
（三）从几何方法到解析方法
20世纪之后，除几何证明方法之外，开始出现用解析几何证明余弦定理的方法。美国数学家库尔提斯在其著作《三角学及其应用》中利用平面直角坐标系推导余弦定理[14];直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其著作《三角学》中才开始真正采用解析几何的方法证明余弦定理[15]，而向量法的出现则为之更晚。
三、教学设计与实施
（一）观察类比，引出猜想
师：上节课，我们运用正弦定理解决了解斜三角形的问题。我们发现正弦定理可以解决“两角一夹边、两角一对边和两边及夹角”的问题，但似乎无法轻易解决三角形三边的问题，这节课我们便以此为切入点进行探索。请同学们判断以下六个三角形的形状（见表1）。
生：①—⑥的三角形形状分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：你的判断依据和标准是什么？
生：直角三角形可以用勾股定理进行判断，而锐角三角形和钝角三角形除非是特殊的三角形，例如等腰三角形和等边三角形，否则无法直接判断。
师：我们可以借助作图等方法直观判断，这里我们采用几何画板进行验证。勾股定理刻画了直角三角形中三边平方的等量关系，那么对于一般的三角形，是否三边平方之间也存在着某种关系？
生：在锐角三角形中，锐角所对的边的平方小于其余两锐角所对的边的平方和;在钝角三角形中，钝角所对的边的平方大于其余两锐角所对的边的平方和。
师：如同欧几里得在《几何原本》中给出的结论一样：在钝（锐）角三角形中，钝（锐）角对边上的正方形面积之和大（小）于其余两锐角对边上的正方形面积之和，从表2中，我们可以初步验证这一猜想。
（二）几何探索，发现定理
师：同学们还记得欧几里得在《几何原本》中是如何发现并证明勾股定理的吗？
生：如图5，将以a，b为直角边，c为斜边的直角三角形ABC的三边向外延拓为三个正方形，利用等面积法可以将以c为边长的正方形分割成两个面积分别为a2和b2的矩形，即证明了勾股定理a2+b2=c2。
师：余弦定理诞生于几何，作为勾股定理的推广，有着不亚于勾股定理的美妙和价值。希望同学们可以作为余弦定理的代言人，让余弦定理进入大众的视野。（五）巩固练习，定理应用
首先，教师出示以下练习1和练习2，让学生在应用中进一步巩固对余弦定理的认识，并应用余弦定理解决一般的三角形问题。
练习1 在△ABC中，a=6，b=3+1，C=45°，求c。
练习2 已知三角形的三边之比为3∶5∶7，求这个三角形的最大内角。接着，教师通过以下练习3，进一步提高学生将余弦定理应用于实际生活的能力。
练习3 解决测量不可及物体的问题：如何测量一段隧道的长度。学生给出的方案如下。
方案1：我们可以乘坐直升机在隧道正上方平行隧道飞行（如图9所示）。在矩形ABCD中AB=CD，故通过测量直升机飞行的距离CD，即可求得隧道的长AB。
方案2：我们可以从隧道的一端A沿隧道AB的方向滑滑板至障碍C处，然后沿垂直于隧道AB的方向滑行至E处，再沿平行于隧道AB的方向滑行至F处，成功绕开障碍后再沿垂直于隧道AB的方向回到隧道上的D处，继续沿隧道AB的方向滑至B处（如图10所示）。测量滑行过程中AC，EF和DB的距离，将它们相加即可求得隧道的长度AB。
方案3：我们可以从隧道的一端A沿垂直于隧道AB的方向小跑至C处，再小跑至B处，C处的选择使得两次小跑避开障碍即可（如图11所示）。测量两次小跑的距离AC和BC，在直角三角形ABC中通过勾股定理即可求得隧道的长度AB。
方案4：我们可以从隧道的一端A骑自行车直行至C处，再转向直行至B处，C处的选择使得两次直行避开障碍即可（如图12所示）。测量两次自行车直行的距离AC和BC以及角C的大小，在△ABC中通过余弦定理即可求得隧道的长度AB。
师：同学们都非常棒，将之前学习的知识都运用到了实际生活中。随着知识的增长，我们能够采用的方案也越来越多，而且实施起来的难度也越来越小，这就是数学带给我们的力量。（六）拓展延伸，價值升华
师：请同学们说一说余弦定理的价值。
生1：余弦定理和正弦定理一样均刻画了边与角的等量关系，从定量的角度认知三角形。
生2：余弦定理与正弦定理在解斜三角形的作用上互补，能够高效地解决不同类型的解斜三角形问题，从而能解决生活中不可及物体的测量问题。
师：余弦定理作为一个定理可以研究其对象、结构、作用、表述、联系，而这个定理的研究过程更具有一般的推广性：发现→猜想→探索→验证→固化→应用→价值。从特殊到一般，从定性到定量，从几何到代数，从联系到统一的思想方法为研究增加了系统性和科学性。
师：事实上，余弦定理还可以通过托勒密定理、割线定理、相似三角形、和角公式、射影定理以及正弦定理证明。最后请同学们课后自行完成这个证明。四、课后反馈与调查
课后，教师对全班40名学生进行了问卷调查，主要从学习动机、证明方法、数学思想和情感德育等方面收集学生对本节课的反馈。
在课堂的整体理解方面，所有学生都表示能听懂这节课的教学内容，其中95 的学生表示喜欢课堂融入的数学史。
在学习动机方面，625 的学生认为学习余弦定理是因为解题需要，主要用于解决正弦定理难解的三角形问题;125 的学生认为是生活实际需要，可应用于建筑学、航海等领域;部分学生认为是考试需要，能培养数学思维;还有的学生提到余弦定理将几何与代数结合起来。
在证明方法方面，625 的学生学会了3种余弦定理的证明方法（面积法、作高法和解析法），325 的学生学会了2种证明方法，极个别学生学会了更多的证明方法。同时，35 的学生喜欢用面积法证明，理由是直观、有趣、巧妙;15 的学生喜欢用解析法，因为其简单、方便;50 的学生喜欢用正弦定理推导余弦定理的方法，因为与之前学习的内容有关联性，体现了已知到未知的思想。
在测验中，教师分别让两个传统教学班级和两个HPM教学班级的学生证明余弦定理，两个HPM教学班级学生的得分率明显优于两个传统教学班级。此外，传统教学班级中的大部分学生首选用“作高法”证明余弦定理，不少学生因运算量过大或不做分类讨论而未获得正确结果。而在HPM教学班级中，学生证明方法层出不穷，用几何方法证明以及用正弦定理证明的学生不少于选择坐标系证明的学生人数，而且鲜有学生未完成证明。
在数学思想方面，60 的学生认为体现了数形结合的思想，利用面积法证明余弦定理培养了直观想象素养;275 的学生认为体现了先猜想后验证的思想，余弦定理的证明让学生经历了从猜想到验证，从特殊到一般的过程，培养了逻辑推理素养，还有部分学生提到了分类讨论的思想。 在情感德育方面，学生印象最深刻的是欧几里得在《几何原本》中使用的面积法，有的学生提到因为数学史地融入，让课堂多了文化的元素，比起单纯地学公式、背公式，让他们觉得数学学习变得更有趣、更有意义，发挥了数学立德树人的教育价值。
五、结语
基于余弦定理不同时期的证明方法，本节课主要采用了探索的方式重构历史的发展过程。数学史为余弦定理的发现和猜想提供了背景和依据。此外，类比勾股定理猜想出余弦定理的过程对于学生而言是不可多得的宝贵经历。只有让学生在几何直观上认可余弦定理，才不会让学生漫无目的地去证明一个未知的结论。以附加式的形式向学生呈现正弦定理和余弦定理的等价是课堂末尾的点睛之笔，从数学史中细细品味定理之间的联系，让学生从“借问酒家何处有”的困惑中收获“柳暗花明又一村”的豁然。
本节课通过展现余弦定理不同历史阶段的表现形式和证明方法，呈现了几何与代数的统一，正弦定理与余弦定理的等价无疑展现了知识之谐;学生完整地经历并主导了余弦定理的探索过程，让课堂妙趣横生，充分体现了探究之乐;学生在余弦定理公式的推导和应用中提高了数学运算的核心素养，彰显了能力之助;在教学中，教师不仅再现了贯穿古今的数学史，而且还将数形结合和类比联系的数学思想方法融入课堂并推向高潮，凸显了文化之魅;学生对余弦定理的认知不再只是一个冰冷的公式，而是多个维度、富有情感的认知过程，学生不再只是公式的使用者，还是公式的见证者、公式的传承者，达成了德育之效。
参考文献：
[1]刘桦.深化余弦定理教学的探讨[J].数学通报，1993（5）：12-15.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社， 2018.
[3]张跃红.“余弦定理”一課的教学设计[J].数学通报，2007（8）：39-41.
[4]赵文博. “余弦定理”教学实录与反思[J].中国数学教育，2017（1/2）： 67-70.
[5]李孝林.关于探究和证明余弦定理的教学设想[J].中小学数学（高中版），2016（1/2）： 68.
[6]常国庆.数学教学中问题设计与创新能力的培养：正（余）弦定理的教学设计与反思[J].中学数学月刊， 2013（1）： 5-7.
[7]张爱民.从听“余弦定理”课谈新授课的几个问题[J].中学数学月刊，2014（7）：25-26.
[8]于小平.应站在“统一”的高度来认识余弦定理[J].中学数学教学参考，2000（7）：61.
[9]郑毓信.设问应合乎情理，力求自然：从“课例点评：余弦定理（第一课时） ”谈起[J].中学数学教学参考，2000（7）： 60-61.
[10]汪晓勤.20世纪中叶以前的余弦定理历史[J].数学通报，2015 （8）：9-13.
[11]WANG X Q，QI C Y，WANG K.A categorization model for educational values of the history of mathematics[J].Science & Education，2017（7/9）：1029-1052.
[12]欧几里得.欧几里得几何原本[M].兰纪正，朱恩宽，译.西安：陕西科学技术出版社，2003.
[13]HEATH T L.The thirteen books of euclids elements（Vol.1）[M].Cambridge：The University Press，1968.
[14]CURTISS D R，MOULTON E J.Essentials of trigonometry with applications[M].Boston：D.C.Heath & Co.，1942.
[15]HOLMES C T.Trigonometry[M].New York：Mcgraw-Hill Book Company，1951.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】HPM;余弦定理;勾股定理;核心素养
【作者简介】杜金金，上海市建平中学数学教师，主要研究方向为高中数学课堂教学;林庄燕，福建省厦门第一中学数学教师，主要研究方向为数学史与数学教育;沈中宇，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要研究方向为数学史与数学教育。
一、引言余弦定理是高中数学的重要定理之一，它表达了三角形的边角关系，内涵丰富，用途广泛[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理，能用余弦定理解决简单的实际问题[2]。在沪教版高中一年级第二学期的数学教材中，余弦定理是第5章“三角比”中第三节“解斜三角形”的内容。从初中到高中，学生经历了从“解直角三角形”到“解斜三角形”的转变，随着知识抽象程度的提高以及应用范围的扩大，教师需要进一步在余弦定理的课堂中落实数学核心素养。
在教学实践中，许多教师对余弦定理的教学进行了探索，有的教师通过创设测量两点间距离的情境，将其抽象为已知三角形两边及其夹角，求第三条边的问题[3];有的教师直接从已知三角形两边及其夹角解三角形入手[4];有的教师从探究一般三角形三边平方之间的关系入手[5];还有的教师直接从三角形三边所对应向量之间的运算出发，形成余弦定理[6]。向量虽然是解决问题的有效工具，但是如果简单交给学生，不利于提高学生的思维水平，因此教师需要在教学中创设相应的情境[7]。同时，余弦定理是勾股定理推广的产物[8]，在教学中突出直角三角形与一般三角形的关系是十分恰当的[9]。
在历史上，余弦定理最先以几何定理的形式出现，到后期才出现三角形式，而且主要用于解决“已知三角形三边求各角”的问题[10]9-13。余弦定理的历史不仅为教师的教学提供借鉴，而且让学生的学习聚焦本源。因此，数学史的融入让余弦定理的教学始于几何，终于几何。在教学过程中，教师从几何背景的介绍、几何方法的推导和几何定理的联系等方面入手，让学生对余弦定理的记忆从死记硬背演变为融会贯通，对余弦定理的认知从定理公式上升为几何关系。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是余弦定理在数学学习中具有重要的地位。从勾股定理到余弦定理的推广看似是数学推导中的一小步，实则是数学发展中的一大步，由此可以进一步发展学生的数学核心素养，实施数学学科德育[11]。
有鉴于此，笔者从HPM视角设计本节课的教学，并拟订如下教学目标。
（1）掌握余弦定理及其推导过程，运用余弦定理解斜三角形;
（2）经历余弦定理的发现、猜想、探索、证明、固化和应用的学习过程，数形结合地认识余弦定理，培养学生数学运算的核心素养;
（3）在数学活动中培养学生的探究意识，在数学文化中传承数学精神。二、历史材料及其运用
余弦定理经历了漫长的历史发展过程，基于学生的认知基础，本节课将余弦定理的历史分为三个阶段：从勾股定理到余弦定理，从几何形式到三角形式，从几何方法到解析方法。
（一） 从勾股定理到余弦定理
公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》第一卷首先给出了勾股定理的证明。
欧几里得在《几何原本》第二卷分别给出钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。[13]命题Ⅱ12 在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角顶点向对边延长线作垂线，垂足到钝角顶点之间的一段所构成。
命题Ⅱ13 在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和，其差为一矩形的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该銳角顶点向对边作垂线，垂足到原锐角顶点之间的一段所构成。以上命题实际上就是余弦定理的几何形式，欧几里得利用勾股定理对上述命题进行证明。事实上，利用欧几里得证明勾股定理的方法，也可以证明余弦定理，证明方法如下。
因此，可得到余弦定理的三角比例形式。
17至18世纪，在大部分三角学著作中，给出的余弦定理仍然是几何形式的，少数数学家和韦达一样，由欧几里得的几何命题导出余弦定理的三角比例形式，其中意大利数学家卡诺里在《平面与球面三角形》中利用欧几里得的证法得到我们熟知的余弦定理的形式[10]9-13。
进入19世纪，大部分三角学教科书开始给出三角形式的余弦定理而不涉及几何形式。同时，数学家开始注重余弦定理与和角公式、正弦定理及射影公式之间的关系。
（三）从几何方法到解析方法
20世纪之后，除几何证明方法之外，开始出现用解析几何证明余弦定理的方法。美国数学家库尔提斯在其著作《三角学及其应用》中利用平面直角坐标系推导余弦定理[14];直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其著作《三角学》中才开始真正采用解析几何的方法证明余弦定理[15]，而向量法的出现则为之更晚。
三、教学设计与实施
（一）观察类比，引出猜想
师：上节课，我们运用正弦定理解决了解斜三角形的问题。我们发现正弦定理可以解决“两角一夹边、两角一对边和两边及夹角”的问题，但似乎无法轻易解决三角形三边的问题，这节课我们便以此为切入点进行探索。请同学们判断以下六个三角形的形状（见表1）。
生：①—⑥的三角形形状分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：你的判断依据和标准是什么？
生：直角三角形可以用勾股定理进行判断，而锐角三角形和钝角三角形除非是特殊的三角形，例如等腰三角形和等边三角形，否则无法直接判断。
师：我们可以借助作图等方法直观判断，这里我们采用几何画板进行验证。勾股定理刻画了直角三角形中三边平方的等量关系，那么对于一般的三角形，是否三边平方之间也存在着某种关系？
生：在锐角三角形中，锐角所对的边的平方小于其余两锐角所对的边的平方和;在钝角三角形中，钝角所对的边的平方大于其余两锐角所对的边的平方和。
师：如同欧几里得在《几何原本》中给出的结论一样：在钝（锐）角三角形中，钝（锐）角对边上的正方形面积之和大（小）于其余两锐角对边上的正方形面积之和，从表2中，我们可以初步验证这一猜想。
（二）几何探索，发现定理
师：同学们还记得欧几里得在《几何原本》中是如何发现并证明勾股定理的吗？
生：如图5，将以a，b为直角边，c为斜边的直角三角形ABC的三边向外延拓为三个正方形，利用等面积法可以将以c为边长的正方形分割成两个面积分别为a2和b2的矩形，即证明了勾股定理a2+b2=c2。
师：余弦定理诞生于几何，作为勾股定理的推广，有着不亚于勾股定理的美妙和价值。希望同学们可以作为余弦定理的代言人，让余弦定理进入大众的视野。（五）巩固练习，定理应用
首先，教师出示以下练习1和练习2，让学生在应用中进一步巩固对余弦定理的认识，并应用余弦定理解决一般的三角形问题。
练习1 在△ABC中，a=6，b=3+1，C=45°，求c。
练习2 已知三角形的三边之比为3∶5∶7，求这个三角形的最大内角。接着，教师通过以下练习3，进一步提高学生将余弦定理应用于实际生活的能力。
练习3 解决测量不可及物体的问题：如何测量一段隧道的长度。学生给出的方案如下。
方案1：我们可以乘坐直升机在隧道正上方平行隧道飞行（如图9所示）。在矩形ABCD中AB=CD，故通过测量直升机飞行的距离CD，即可求得隧道的长AB。
方案2：我们可以从隧道的一端A沿隧道AB的方向滑滑板至障碍C处，然后沿垂直于隧道AB的方向滑行至E处，再沿平行于隧道AB的方向滑行至F处，成功绕开障碍后再沿垂直于隧道AB的方向回到隧道上的D处，继续沿隧道AB的方向滑至B处（如图10所示）。测量滑行过程中AC，EF和DB的距离，将它们相加即可求得隧道的长度AB。
方案3：我们可以从隧道的一端A沿垂直于隧道AB的方向小跑至C处，再小跑至B处，C处的选择使得两次小跑避开障碍即可（如图11所示）。测量两次小跑的距离AC和BC，在直角三角形ABC中通过勾股定理即可求得隧道的长度AB。
方案4：我们可以从隧道的一端A骑自行车直行至C处，再转向直行至B处，C处的选择使得两次直行避开障碍即可（如图12所示）。测量两次自行车直行的距离AC和BC以及角C的大小，在△ABC中通过余弦定理即可求得隧道的长度AB。
师：同学们都非常棒，将之前学习的知识都运用到了实际生活中。随着知识的增长，我们能够采用的方案也越来越多，而且实施起来的难度也越来越小，这就是数学带给我们的力量。（六）拓展延伸，價值升华
师：请同学们说一说余弦定理的价值。
生1：余弦定理和正弦定理一样均刻画了边与角的等量关系，从定量的角度认知三角形。
生2：余弦定理与正弦定理在解斜三角形的作用上互补，能够高效地解决不同类型的解斜三角形问题，从而能解决生活中不可及物体的测量问题。
师：余弦定理作为一个定理可以研究其对象、结构、作用、表述、联系，而这个定理的研究过程更具有一般的推广性：发现→猜想→探索→验证→固化→应用→价值。从特殊到一般，从定性到定量，从几何到代数，从联系到统一的思想方法为研究增加了系统性和科学性。
师：事实上，余弦定理还可以通过托勒密定理、割线定理、相似三角形、和角公式、射影定理以及正弦定理证明。最后请同学们课后自行完成这个证明。四、课后反馈与调查
课后，教师对全班40名学生进行了问卷调查，主要从学习动机、证明方法、数学思想和情感德育等方面收集学生对本节课的反馈。
在课堂的整体理解方面，所有学生都表示能听懂这节课的教学内容，其中95 的学生表示喜欢课堂融入的数学史。
在学习动机方面，625 的学生认为学习余弦定理是因为解题需要，主要用于解决正弦定理难解的三角形问题;125 的学生认为是生活实际需要，可应用于建筑学、航海等领域;部分学生认为是考试需要，能培养数学思维;还有的学生提到余弦定理将几何与代数结合起来。
在证明方法方面，625 的学生学会了3种余弦定理的证明方法（面积法、作高法和解析法），325 的学生学会了2种证明方法，极个别学生学会了更多的证明方法。同时，35 的学生喜欢用面积法证明，理由是直观、有趣、巧妙;15 的学生喜欢用解析法，因为其简单、方便;50 的学生喜欢用正弦定理推导余弦定理的方法，因为与之前学习的内容有关联性，体现了已知到未知的思想。
在测验中，教师分别让两个传统教学班级和两个HPM教学班级的学生证明余弦定理，两个HPM教学班级学生的得分率明显优于两个传统教学班级。此外，传统教学班级中的大部分学生首选用“作高法”证明余弦定理，不少学生因运算量过大或不做分类讨论而未获得正确结果。而在HPM教学班级中，学生证明方法层出不穷，用几何方法证明以及用正弦定理证明的学生不少于选择坐标系证明的学生人数，而且鲜有学生未完成证明。
在数学思想方面，60 的学生认为体现了数形结合的思想，利用面积法证明余弦定理培养了直观想象素养;275 的学生认为体现了先猜想后验证的思想，余弦定理的证明让学生经历了从猜想到验证，从特殊到一般的过程，培养了逻辑推理素养，还有部分学生提到了分类讨论的思想。 在情感德育方面，学生印象最深刻的是欧几里得在《几何原本》中使用的面积法，有的学生提到因为数学史地融入，让课堂多了文化的元素，比起单纯地学公式、背公式，让他们觉得数学学习变得更有趣、更有意义，发挥了数学立德树人的教育价值。
五、结语
基于余弦定理不同时期的证明方法，本节课主要采用了探索的方式重构历史的发展过程。数学史为余弦定理的发现和猜想提供了背景和依据。此外，类比勾股定理猜想出余弦定理的过程对于学生而言是不可多得的宝贵经历。只有让学生在几何直观上认可余弦定理，才不会让学生漫无目的地去证明一个未知的结论。以附加式的形式向学生呈现正弦定理和余弦定理的等价是课堂末尾的点睛之笔，从数学史中细细品味定理之间的联系，让学生从“借问酒家何处有”的困惑中收获“柳暗花明又一村”的豁然。
本节课通过展现余弦定理不同历史阶段的表现形式和证明方法，呈现了几何与代数的统一，正弦定理与余弦定理的等价无疑展现了知识之谐;学生完整地经历并主导了余弦定理的探索过程，让课堂妙趣横生，充分体现了探究之乐;学生在余弦定理公式的推导和应用中提高了数学运算的核心素养，彰显了能力之助;在教学中，教师不仅再现了贯穿古今的数学史，而且还将数形结合和类比联系的数学思想方法融入课堂并推向高潮，凸显了文化之魅;学生对余弦定理的认知不再只是一个冰冷的公式，而是多个维度、富有情感的认知过程，学生不再只是公式的使用者，还是公式的见证者、公式的传承者，达成了德育之效。
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（责任编辑：陆顺演）