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摘要：为了揭示46型内曲线行星齿轮泵的流量特性，利用三维软件结合内曲线行星齿轮泵节曲线方程，建立了46型内曲线行星齿轮泵的结构模型，重点介绍了中心轮和内曲线齿圈的实体模型的建立以及轮齿的加载过程，分析了单个容腔的最大截面积和最小截面积，通过CAD软件的面积计算功能，对46型内曲线行星齿轮泵进行了瞬时排量的计算，绘制了单个容腔从最大截面积到最小截面积的变化曲线以及所有排油腔的面积积的变化曲线。研究结果表明，内曲线行星齿轮泵单个容腔截面积的变化曲线近似于内曲线齿圈的节曲线，其瞬时排量的脉动率小于普通外啮合齿轮泵的脉动率。
关键词：内曲线行星齿轮泵；46型；结构模型；流量特性
中图分类号：TH13751文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0034-04
非圆齿轮机构可以实现变传动比传动，将其与某些机构组合可以实现许多特殊规律的运动，从而使机构的运动性能和动力性能大大改善[1]。非圆行星齿轮机构包含两种类型，一种是定中心距非圆行星齿轮机构，其特点是支承行星轮的系杆有固定的长度，通常用作减速器；另一种是变中心距非圆行星齿轮机构，其特点是无固定长度的系杆，因此不能用于动力传动。1977年，波兰人B. Sieninwski首次利用变中心距非圆行星齿轮机构研发出SOK型低速大扭矩液压马达。对于SOK型液压马达，尽管国内外许多学者进行了仿制，并展开了应用研究[2-3]，但是，迄今其它国家尚无人能揭示SOK型液压马达的秘密[4]。
鉴于非圆行星齿轮马达具有许多优点，文献[5]尝试将非圆行星齿轮机构用于液压泵。非圆行星齿轮机构中包含一个非圆中心轮、一个非圆内齿圈和若干个圆形行星轮，考虑到机构中既有非圆齿轮又有圆齿轮，而非圆内齿圈的节曲线是多边曲线，并且三个零件均为齿轮，故将其称作为内曲线行星齿轮泵。文献[6]分析了内曲线行星齿轮泵的结构类型，文献[7]研究了内曲线行星齿轮泵节曲线的设计方法，本文研究内曲线行星齿轮泵的三维建模和流量特性。
1内曲线行星齿轮泵建模
内曲线行星齿轮泵的建模，必须依据所求得的节曲线方程。本文借助Pro/E软件的极坐标功能和取点拟合来进行节曲线的生成，再利用一些实体特征进行相应的操作，得到内曲线行星齿轮泵的结构模型。所谓46型内曲线行星齿轮泵，是指中心轮节曲线的周期数为n1=4，内曲线齿圈节曲线的周期数为n3=6。进一步地，中心轮节曲线为4阶椭圆曲线，其极坐标方程为
r1=A（1-k2）1-k cos（4θ1）（1）
式中：A为椭圆长轴半径；k为椭圆偏心率。
设行星轮的节圆半径为r2，根据文献[8]知，内曲线齿圈的节曲线方程为
r3=r1+2r2sin μ1（2）
θ3=∫θ10r1+2r2sin μ1dμ1dθ1r1+2r2sin μ1 dθ1（3）
式中：μ1为行星轮与中心轮啮合点处节曲线切线与向径r1的夹角。
由于模数不影响节曲线的形状，所以取模数m=1.0。 若取中心轮的齿数为z1=76， 根据非圆行星齿轮机构的配齿条件， 可得行星轮的齿数为z2=18，内曲线齿圈的齿数为z3=114，则根据中心轮和内曲线齿圈的节曲线的封闭条件和轮齿均布条件[8]，可得A=37.9135，k=0.0693。
11中心轮的建立
首先，建立行星轮的模型，由于行星轮为普通圆柱齿轮，根据已知条件可以方便地建立起行星轮的模型。其次，将式（1）编程输入记事本中，打开Pro/E的工作界面窗口，添加所求得的节曲线方程，选取坐标原点，设定坐标系为圆柱坐标系，可得到中心轮的节曲线图形，然后将其进行实体模型的拉伸操作，即得到中心轮的实体模型，如图1所示；然后，将行星轮加载到中心轮的模型中，设置行星轮的约束类型为与中心轮的节曲线相切，如图2所示；利用Pro/E中实体提取功能提取行星轮的齿廓曲线，并进行镜像处理，得到中心轮的齿廓曲线；再将得到的这个轮齿依据节曲线作为参照，进行1/4曲线阵列，得到中心轮上1/4部分的轮齿，如图3所示；再进行相应的列阵操作，即可得整个中心轮的模型，如图4所示。
图1中心轮实体
图2装配模型图
图31/4列阵图4中心轮模型
12内曲线齿圈的建立
内曲线齿圈节曲线的极坐标表达式比较复杂，所以通过坐标取点来模拟其节曲线。
首先，利用Matlab对内曲线齿圈的节曲线方程（2）和（3）进行取点，分别得到每一个点对应的坐标。然后将取得的点的坐标值导入到Excal文档中，再将所得的数据转入记事本txt文档中，并在数据前面加上一些建模用的程序语句。将以上文档另存为以.ibl为后缀的文档格式，以利于在Pro/E软件中建模。
其次，在Pro/E中新建模型，选择坐标系，导入之前保存的.ibl数据文件，即可得到内曲线齿圈的节曲线的二维曲线图形，再进行相应的草绘提取——拉伸操作，就可以得到内曲线齿圈的实体模型，根据中心轮类似的加载方法，即可得到内曲线齿圈的模型，如图5所示。
图5内曲线齿圈的模型
以上分别进行了行星轮、中心轮、内曲线齿圈的建模，将上述单个零件进行装配，即可得到内曲线行星齿轮泵主要构件的装配图，如图6所示。图6内曲线行星齿轮泵主要构件的装配图
2内曲线行星齿轮泵的流量特性
随着中心轮转角的连续变化，其径向也随之变化，这就使得由中心轮、行星轮、内曲线齿圈以及左右配流盘构成的容腔容积产生周期性的变化，利用这种容腔容积的周期性变化可以进行液体的输送。从横截面来看，容腔的面积是由中心轮、行星轮以及内曲线齿圈的齿廓曲线所围成的，但是，按轮齿的齿廓曲线精确计算各个容腔的面积，过程十分复杂，而且最终也只能是近似值，因此，为简化计算过程，本文按各齿轮节曲线（节圆）围成的面积进行近似计算。 内曲线行星齿轮泵的容腔截面积由中心轮节曲线、内曲线齿圈节曲线和两个相邻的行星轮的节圆所围成，如图7所示。理论上，该面积可通过积分求得，但是，由于内曲线齿圈的节曲线是通过逐点积分取得的，无法获得其解析表达式，因此，不能通过积分直接求得该面积。本文按照作图法求取容腔的截面积。
21理论排量
内曲线行星齿轮泵运行过程中，当中心轮最小向径与内曲线齿圈最大向径重合时，容腔截面积达到最大值；相反，当中心轮的最大向径与内曲线齿圈的最小向径重合时，容腔截面积达到最小值。当中心轮旋转一周时，容腔会转换次，因此，只需研究一次转换中，容腔截面积的变化量[9]。中心轮上4个最小向径与内曲线齿圈上6个最大向径共发生了24次重合。因此46型内曲线行星齿轮泵的理论排量为
q=24（Amax-Amin）b（4）
式中：Amax为容腔的最大截面积；Amin为容腔的最小截面积；b为齿轮宽度。
在AutoCAD里面，按轮齿的啮合关系调整好各个齿轮的装配位置，使容腔截面积为最大值（见图7）。利用软件的面积法求得Amax=331.79 mm2。再调整好各个齿轮的装配位置，使容腔截面积为最小值（见图8），得Amin=209.55 mm2。按结构确定齿轮宽度b，代入式（4）即可求得泵的理论排量。
图7容腔最大截面积
图8容腔最小截面积
22瞬时排量
下面以单个容腔的截面积为研究对象，分析泵的流量特性。
对于46型内曲线行星齿轮泵，容腔截面积从最大到最小的过程中，中心轮的转角是[10]
φ=πn1+πn3=π4+π6=75°（5）
如图7所示，由中心轮、内曲线齿圈、行星轮1和行星轮2所围成的容腔截面积为曲线abcdefgha所围面积，在图示位置，该容腔截面积达到最大值，此时，中心轮的对称轴与水平轴的夹角为0°，以此为基准，顺时针旋转中心轮，每隔5°测量容腔的截面积，直到中心轮旋转75°，容腔截面积达到最小值（见图8）。分别记录各个转角单个容腔的截面积，并将数据导入Matlab中，拟合成曲线，可得如图9所示的曲线。该曲线反映了容腔截面积从最大值到最小值的变化情况，即单个排油腔的容积变化情况。按照相同的方法，可得容腔截面积从最小值到最大值的变化情况。
φ/（°）
图9单个容腔截面积变化曲线
考察每个瞬时各个容腔的截面积变化情况，将所有排油腔的截面积叠加在一起，可得图10所示的曲线，该曲线反映了泵的瞬时排量。
φ/（°）
图10所有排油腔截面积变化曲线
由图10可以看出，内曲线行星齿轮泵的瞬时排量是脉动的，经过计算，其瞬时排量的脉动率为0118。而对于普通外啮合齿轮泵，最常用的齿数为8～14齿，对应的脉动率为0263～0153[11]，可见，内曲线行星齿轮泵比普通外啮合齿轮泵的流量脉动率小。
由内曲线行星齿轮泵的结构原理可知，单个容腔的容积变化规律与容腔截面积的变化规律相同，并呈现出与内曲线齿圈节曲线相似的变化关系，所不同的是，各个容腔之间的变化相差一个时差。
3结论
通过对内曲线行星齿轮泵三维模型的研究，可得到以下主要结论：
1） 内曲线行星齿轮泵取得最大截面积和最小截面积的位置，与中心轮节曲线的周期数与内曲线齿圈节曲线的周期数有关。
2） 单个容腔截面积的变化规律是相同的，只是在时间上有一个时差。
3） 内曲线行星齿轮泵的结构是对称的，这使得泵的吸油过程和排油过程比较平稳，理论上可减少泵的流量脉动，降低泵的噪声和振动，提高泵的流量品质。
参考文献：
[1]李宝妮，张迎春.非圆齿轮的应用及其发展动向[J].机床与液压， 2008，36（4）：286-288，307.
[2]熊镇芹，吴序堂，高本河.非圆行星齿轮液压马达参数设计[J].机床与液压，2004，32（5）：50-52.
[3]张始斋，向毅，黄学满，等.非圆行星齿轮液压马达节曲线的数值计算[J].机械设计，2013，30（4）：37-39.
[4]徐瑶.非圆行星齿轮液压马达设计系统[D].合肥：合肥工业大学，2012.
[5]栾振辉.内曲线行星齿轮泵的结构原理[J].安徽理工大学学报：自然科学版，2010，30（2）：17-20.
[6]ZHENHUI LUAN， MING DING. Research on Non-circular Planetary Gear Pump[C]// Advanced Materials Research， 2011（339）：140-143.
[7]CHAO WANG，ZHENHUI LUAN.Design of Pitch Curve of Internal-curved Planetary Gear Pump Strain in Type N-G-W Based on Three-order ellipse[C]// Advanced Materials Research，2013（787）：567-571.
[8]吴序堂，王贵海.非圆齿轮及非匀速比传动[M].北京：机械工业出版社，1997：8-150.
[9]梁增贺.非圆液压马达行星轮系研究及性能分析[D].青岛：山东科技大学，2011.
[10]陈作庆，胡松年，翟春香，等.非圆行星齿轮液压马达的结构分析与研究[J].机床与液压，2010，38（23）：45-47.
[11]龚肖新，吴冉.液压传动[M].北京：北京大学出版社，2010：25.
（责任编辑：李丽）
关键词：内曲线行星齿轮泵；46型；结构模型；流量特性
中图分类号：TH13751文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0034-04
非圆齿轮机构可以实现变传动比传动，将其与某些机构组合可以实现许多特殊规律的运动，从而使机构的运动性能和动力性能大大改善[1]。非圆行星齿轮机构包含两种类型，一种是定中心距非圆行星齿轮机构，其特点是支承行星轮的系杆有固定的长度，通常用作减速器；另一种是变中心距非圆行星齿轮机构，其特点是无固定长度的系杆，因此不能用于动力传动。1977年，波兰人B. Sieninwski首次利用变中心距非圆行星齿轮机构研发出SOK型低速大扭矩液压马达。对于SOK型液压马达，尽管国内外许多学者进行了仿制，并展开了应用研究[2-3]，但是，迄今其它国家尚无人能揭示SOK型液压马达的秘密[4]。
鉴于非圆行星齿轮马达具有许多优点，文献[5]尝试将非圆行星齿轮机构用于液压泵。非圆行星齿轮机构中包含一个非圆中心轮、一个非圆内齿圈和若干个圆形行星轮，考虑到机构中既有非圆齿轮又有圆齿轮，而非圆内齿圈的节曲线是多边曲线，并且三个零件均为齿轮，故将其称作为内曲线行星齿轮泵。文献[6]分析了内曲线行星齿轮泵的结构类型，文献[7]研究了内曲线行星齿轮泵节曲线的设计方法，本文研究内曲线行星齿轮泵的三维建模和流量特性。
1内曲线行星齿轮泵建模
内曲线行星齿轮泵的建模，必须依据所求得的节曲线方程。本文借助Pro/E软件的极坐标功能和取点拟合来进行节曲线的生成，再利用一些实体特征进行相应的操作，得到内曲线行星齿轮泵的结构模型。所谓46型内曲线行星齿轮泵，是指中心轮节曲线的周期数为n1=4，内曲线齿圈节曲线的周期数为n3=6。进一步地，中心轮节曲线为4阶椭圆曲线，其极坐标方程为
r1=A（1-k2）1-k cos（4θ1）（1）
式中：A为椭圆长轴半径；k为椭圆偏心率。
设行星轮的节圆半径为r2，根据文献[8]知，内曲线齿圈的节曲线方程为
r3=r1+2r2sin μ1（2）
θ3=∫θ10r1+2r2sin μ1dμ1dθ1r1+2r2sin μ1 dθ1（3）
式中：μ1为行星轮与中心轮啮合点处节曲线切线与向径r1的夹角。
由于模数不影响节曲线的形状，所以取模数m=1.0。 若取中心轮的齿数为z1=76， 根据非圆行星齿轮机构的配齿条件， 可得行星轮的齿数为z2=18，内曲线齿圈的齿数为z3=114，则根据中心轮和内曲线齿圈的节曲线的封闭条件和轮齿均布条件[8]，可得A=37.9135，k=0.0693。
11中心轮的建立
首先，建立行星轮的模型，由于行星轮为普通圆柱齿轮，根据已知条件可以方便地建立起行星轮的模型。其次，将式（1）编程输入记事本中，打开Pro/E的工作界面窗口，添加所求得的节曲线方程，选取坐标原点，设定坐标系为圆柱坐标系，可得到中心轮的节曲线图形，然后将其进行实体模型的拉伸操作，即得到中心轮的实体模型，如图1所示；然后，将行星轮加载到中心轮的模型中，设置行星轮的约束类型为与中心轮的节曲线相切，如图2所示；利用Pro/E中实体提取功能提取行星轮的齿廓曲线，并进行镜像处理，得到中心轮的齿廓曲线；再将得到的这个轮齿依据节曲线作为参照，进行1/4曲线阵列，得到中心轮上1/4部分的轮齿，如图3所示；再进行相应的列阵操作，即可得整个中心轮的模型，如图4所示。
图1中心轮实体
图2装配模型图
图31/4列阵图4中心轮模型
12内曲线齿圈的建立
内曲线齿圈节曲线的极坐标表达式比较复杂，所以通过坐标取点来模拟其节曲线。
首先，利用Matlab对内曲线齿圈的节曲线方程（2）和（3）进行取点，分别得到每一个点对应的坐标。然后将取得的点的坐标值导入到Excal文档中，再将所得的数据转入记事本txt文档中，并在数据前面加上一些建模用的程序语句。将以上文档另存为以.ibl为后缀的文档格式，以利于在Pro/E软件中建模。
其次，在Pro/E中新建模型，选择坐标系，导入之前保存的.ibl数据文件，即可得到内曲线齿圈的节曲线的二维曲线图形，再进行相应的草绘提取——拉伸操作，就可以得到内曲线齿圈的实体模型，根据中心轮类似的加载方法，即可得到内曲线齿圈的模型，如图5所示。
图5内曲线齿圈的模型
以上分别进行了行星轮、中心轮、内曲线齿圈的建模，将上述单个零件进行装配，即可得到内曲线行星齿轮泵主要构件的装配图，如图6所示。图6内曲线行星齿轮泵主要构件的装配图
2内曲线行星齿轮泵的流量特性
随着中心轮转角的连续变化，其径向也随之变化，这就使得由中心轮、行星轮、内曲线齿圈以及左右配流盘构成的容腔容积产生周期性的变化，利用这种容腔容积的周期性变化可以进行液体的输送。从横截面来看，容腔的面积是由中心轮、行星轮以及内曲线齿圈的齿廓曲线所围成的，但是，按轮齿的齿廓曲线精确计算各个容腔的面积，过程十分复杂，而且最终也只能是近似值，因此，为简化计算过程，本文按各齿轮节曲线（节圆）围成的面积进行近似计算。 内曲线行星齿轮泵的容腔截面积由中心轮节曲线、内曲线齿圈节曲线和两个相邻的行星轮的节圆所围成，如图7所示。理论上，该面积可通过积分求得，但是，由于内曲线齿圈的节曲线是通过逐点积分取得的，无法获得其解析表达式，因此，不能通过积分直接求得该面积。本文按照作图法求取容腔的截面积。
21理论排量
内曲线行星齿轮泵运行过程中，当中心轮最小向径与内曲线齿圈最大向径重合时，容腔截面积达到最大值；相反，当中心轮的最大向径与内曲线齿圈的最小向径重合时，容腔截面积达到最小值。当中心轮旋转一周时，容腔会转换次，因此，只需研究一次转换中，容腔截面积的变化量[9]。中心轮上4个最小向径与内曲线齿圈上6个最大向径共发生了24次重合。因此46型内曲线行星齿轮泵的理论排量为
q=24（Amax-Amin）b（4）
式中：Amax为容腔的最大截面积；Amin为容腔的最小截面积；b为齿轮宽度。
在AutoCAD里面，按轮齿的啮合关系调整好各个齿轮的装配位置，使容腔截面积为最大值（见图7）。利用软件的面积法求得Amax=331.79 mm2。再调整好各个齿轮的装配位置，使容腔截面积为最小值（见图8），得Amin=209.55 mm2。按结构确定齿轮宽度b，代入式（4）即可求得泵的理论排量。
图7容腔最大截面积
图8容腔最小截面积
22瞬时排量
下面以单个容腔的截面积为研究对象，分析泵的流量特性。
对于46型内曲线行星齿轮泵，容腔截面积从最大到最小的过程中，中心轮的转角是[10]
φ=πn1+πn3=π4+π6=75°（5）
如图7所示，由中心轮、内曲线齿圈、行星轮1和行星轮2所围成的容腔截面积为曲线abcdefgha所围面积，在图示位置，该容腔截面积达到最大值，此时，中心轮的对称轴与水平轴的夹角为0°，以此为基准，顺时针旋转中心轮，每隔5°测量容腔的截面积，直到中心轮旋转75°，容腔截面积达到最小值（见图8）。分别记录各个转角单个容腔的截面积，并将数据导入Matlab中，拟合成曲线，可得如图9所示的曲线。该曲线反映了容腔截面积从最大值到最小值的变化情况，即单个排油腔的容积变化情况。按照相同的方法，可得容腔截面积从最小值到最大值的变化情况。
φ/（°）
图9单个容腔截面积变化曲线
考察每个瞬时各个容腔的截面积变化情况，将所有排油腔的截面积叠加在一起，可得图10所示的曲线，该曲线反映了泵的瞬时排量。
φ/（°）
图10所有排油腔截面积变化曲线
由图10可以看出，内曲线行星齿轮泵的瞬时排量是脉动的，经过计算，其瞬时排量的脉动率为0118。而对于普通外啮合齿轮泵，最常用的齿数为8～14齿，对应的脉动率为0263～0153[11]，可见，内曲线行星齿轮泵比普通外啮合齿轮泵的流量脉动率小。
由内曲线行星齿轮泵的结构原理可知，单个容腔的容积变化规律与容腔截面积的变化规律相同，并呈现出与内曲线齿圈节曲线相似的变化关系，所不同的是，各个容腔之间的变化相差一个时差。
3结论
通过对内曲线行星齿轮泵三维模型的研究，可得到以下主要结论：
1） 内曲线行星齿轮泵取得最大截面积和最小截面积的位置，与中心轮节曲线的周期数与内曲线齿圈节曲线的周期数有关。
2） 单个容腔截面积的变化规律是相同的，只是在时间上有一个时差。
3） 内曲线行星齿轮泵的结构是对称的，这使得泵的吸油过程和排油过程比较平稳，理论上可减少泵的流量脉动，降低泵的噪声和振动，提高泵的流量品质。
参考文献：
[1]李宝妮，张迎春.非圆齿轮的应用及其发展动向[J].机床与液压， 2008，36（4）：286-288，307.
[2]熊镇芹，吴序堂，高本河.非圆行星齿轮液压马达参数设计[J].机床与液压，2004，32（5）：50-52.
[3]张始斋，向毅，黄学满，等.非圆行星齿轮液压马达节曲线的数值计算[J].机械设计，2013，30（4）：37-39.
[4]徐瑶.非圆行星齿轮液压马达设计系统[D].合肥：合肥工业大学，2012.
[5]栾振辉.内曲线行星齿轮泵的结构原理[J].安徽理工大学学报：自然科学版，2010，30（2）：17-20.
[6]ZHENHUI LUAN， MING DING. Research on Non-circular Planetary Gear Pump[C]// Advanced Materials Research， 2011（339）：140-143.
[7]CHAO WANG，ZHENHUI LUAN.Design of Pitch Curve of Internal-curved Planetary Gear Pump Strain in Type N-G-W Based on Three-order ellipse[C]// Advanced Materials Research，2013（787）：567-571.
[8]吴序堂，王贵海.非圆齿轮及非匀速比传动[M].北京：机械工业出版社，1997：8-150.
[9]梁增贺.非圆液压马达行星轮系研究及性能分析[D].青岛：山东科技大学，2011.
[10]陈作庆，胡松年，翟春香，等.非圆行星齿轮液压马达的结构分析与研究[J].机床与液压，2010，38（23）：45-47.
[11]龚肖新，吴冉.液压传动[M].北京：北京大学出版社，2010：25.
（责任编辑：李丽）