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【摘要】数学文化越来越受到专家、学者、研究机构和社会各界的关注，数学文化不再只是需要学生个人去感悟，更重要的是需要教师有计划、有目的地引入到数学的课堂教学中，在知识教学的同时，去体现数学的文化价值，全面提高学生的数学素养.将“文化立人”的思想较好地贯彻到数学课堂教学之中.
【关键词】数学文化；综合素质；大学数学；素质教育
【基金项目】山东省2012教研项目（项目编号2012204），济南大学2012教研项目（项目编号JZC12013）
一、引 言
数学作为一种文化，对全社会成员起着潜移默化的作用：深深铭刻在人们心中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法和看问题分析问题的方法等，都随时随地发生作用，使人终生受益.正因如此，许多物理学家同时也是数学家，很多经济学家也是数学出身，比如经济学家 Markowitz因为用二次规划解决了证券组合选择理论获得了经济学诺贝尔奖，对于这一成就，他没有归功于他的经济专业知识和具体数学知识，而是归功于他的数学理念、内在数学素质和从数学衍生的创新精神.因此应使大学生感染数学文化，了解数学历史，体会数学的美，加深对数学知识体系的理解，了解数学和其他学科的融合，增强创新能力，提高他们的科研能力和工作能力.这对于培养高素质创新型人才有着重要的实际意义.因此研究数学文化课程建设是素质教育中必不可少的一项工作.
二、数学文化简介
在现代意义下，数学文化作为一种基本的文化形态，属于科学文化的范畴，它可以表述为以知识、方法、技术、理论等所辐射到相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统，其基本要素是数学（各个分支领域）及与之相关的各种文化对象（各个自然科学）.数学文化涉及的基本的文化因素包括数学、哲学、艺术、历史（不仅是数学史）、教育、思维科学、社会学、文化学、物理学、生物学等.数学不仅是物质文明的基石，而且是精神文明的宝贵财富.根据马林诺夫斯基对文化层次的理解，由此概括数学文化的形态有以下几个方面：
（一）物质形态
人们在探索数学的过程中要借助一定的设备与工具，像语言、文字、符号、印刷品、计算器、计算机网络以及通信设备等.这些既是数学文化发展所必需的工具，也是传播数学文化的手段，它们使数学文化以物质的形态对人们的生产方式与日常生活产生影响.
（二）知识形态
人们在不断地探索数学的过程中，建立起了完善的数学概念，发现了不同的数学规律，构建了系统的数学理论，并且用专门的语言与符号将它们表达了出来，这样就构成了一个综合的数学知识体系.这是人们对数学世界探究所获得的劳动与智慧的结晶，是数学文化的知识形态.
（三）组织形态
人们在不断地从事数学活动以及探索数学的过程中形成了一个特殊的群体，即数学共同体.数学共同体包含一切从事或者探索和数学相关的活动的社会群体以及活动与活动方式.例如，从事数学研究的技术人员与科研人员，探索数学教育事业的工作者与数学文化的学习者.广泛的社会群体、组织形式以及数学活动，是数学文化存在和发展的基本保障.
（四）精神形态
数学文化不但隐含着数学家的道德观念、内心信念、情感态度以及价值体系，而且数学本身也蕴含着理性精神，如公正性、理智性、客观性、追求完美、严谨性等.正是这些多种多样的精神形态，使得数学文化有着多种多样的表现形式和存在状态以及丰富的内涵.
三、加强数学文化建设提升学生综合素质的途径
（一）通过介绍数学史渗透数学文化，让学生了解数学与人类社会发展的关系
数学史是数学文化的代言.自古就有“教书、育人不分家”，将数学史的内容融入大学课堂，不论是数学家或者数学界的逸闻趣事，还是数学发展中遇到的难题，都会激发学生的学习兴趣，并且还有较强的励志作用.比如，在讲积分时，可以介绍一下积分符号“∫”是莱布尼兹发明的，它是英文单词“sum”的首字母缩写，数学上许多符号如“dx”“dy”“dxdy”“d-n”等都是由莱布尼兹发明的.还可以介绍双目失明的欧拉的顽强拼搏精神和陈景润为数学而献身的精神，从而激发学生的学习斗志.
在课堂上渗入数学史的内容，把学生认为“枯燥的数学课”，转变成“生动有趣的数学课”.与此同时，学生不再是“只会做题的机器”，通过数学史的知识，学生开阔了视野，并且学数学也懂数学，真正让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，加强对数学创新的认识，受到优秀文化的熏陶.
（二）通过灌输数学思想方法渗透数学文化，提高学生思维能力与创新能力
数学思想是数学中高度抽象与概括的内容，也是数学知识的本质.数学方法即是解决数学问题的步骤、过程与格式，它是实施数学思想的手段与解决问题的具体实行办法.大学数学中蕴含着丰富的思想方法，比如，类比思想、化归转化、变换、构造、反证法、数形结合、分类讨论、分段处理、归纳递推、猜想假设、特殊化与一般化的思想、随机思想、统计思想等等.具体渗透数学文化思想的方法有以下几种：
第一，运用类比推理，增强数学创新能力
大学数学中很多知识可通过类比来得到，从低维到高维、从有限到无限等，可以使学生在原有的认知结构基础上，应用类比推理，使知识、方法、技能向更高层次迁移.
例如积分中的类比：奇函数在对称区间上的定积分为零.数学语言表述为：若f（x）为[-a，a]上的奇函数，则有∫a-af（x）dx=0.此基本结论可以类比到线积分、面积分、二重积分和三重积分上.
（1）线积分：如果平面光滑曲线l关于x（或y）轴对称，f（x，y）是关于y（或x）的奇函数且在l上有连续的偏导数，则有∫f（x，y）dx=0.
（2）面积分：如果空间光滑曲面Ω关于xOy（或xOz或yOz）面对称，f（x，y，z）是关于z（或y或x）的奇函数且在Ω上有连续的偏导数，则有Ωf（x，y，z）ds=0. （3）二重积分：如果平面闭区域M关于x（或y）轴对称，f（x，y）是关于y（或x）的奇函数，则有Mf（x，y）dσ=0.
（4）三重积分：如果空间闭区域V关于xOy（或xOz或yOz）面对称，f（x，y，z）是关于z（或y或x）的奇函数，则有Vf（x，y，z）=0.
又如，不同学科的类比：
由A∪B=A B-A∩B（其中A和B为集合）
类比结论：
（1）线性代数中，若V1，V2是线性空间V的两个子空间，则有
dim（V1 V2）=dimV1 dimV2-dim（V1∩V2）.
（2）概率论与数理统计中，若A1，A2是两个随机事件，则有
P（A1 A2）=P（A1） P（A2）-P（A1∩A2）.
第二，运用化归思想，加强学生思维能力
在大学数学教学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略.化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
以上只列举了大学数学思想方法中的类比法与化归法，在大学数学中还有许多其他的数学思想方法，学生如果能够掌握大学数学中解决问题的独特与新颖的思想方法，且掌握其精髓，就可以使学生形成正确的数学观念，培养学生的创造性思维，学生的思维能力与创新能力得到加强.
（三）通过挖掘数学美渗透数学文化，让学生领会数学的美学价值
随着社会的进步，人们对审美的追求越来越高，数学具有特殊的美育和人文素养塑造功能，感染着人们对主观世界的认识与升华.
1.挖掘数学的简洁美
简洁美是数学美的基本内容.爱因斯坦曾说过：“美，本质上终究是简单.”举几个数学简洁美的例子：（1）数学分析中的数列极限的ε-N定义.用语言叙述为：“设{an}为数列，a为定数.若对任意给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.”而用数学语言表述为：“ε>0，N ，n>N 时，|an-a|<ε，则{an}以a为极限.”（2）线性代数中用数学语言表示一个矩阵非常简洁、直观，而用其他语言其复杂性不言而喻.
2.发现数学的对称美
对称美是数学美的另外一种表现形式.如：ΩR3，Ω是球心在原点、半径为1的球.计算三重积分（x y z）2dv，若将这个问题直接来计算会相当的烦琐，但如果利用对称性来计算，则非常简单：
（x y z）2dv =（x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz）dv =（x2 y2 z2）dv=3x2dv =24Ω1x2dv.
此处Ω1为球体在第一卦限部分，这里就运用了对称性.
数学对称美无处不在，指数与对数互为逆运算，除法是乘法的逆运算，这些均可看成是对称关系.
（四）开设第二课堂渗透数学文化，增加学生领会数学文化的机会
1.开设“数学文化赏析”通选课，提升学生的数学素养
现在的数学课，由于各种原因，常常采取重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法.大多数学生对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，而这些数学素养，反而是数学让人终身受益的精华.而“数学文化赏析”通选课正是以数学知识为载体，讲授数学思想、方法、数学美等内容，从而提升学生的数学文化素养.通过“数学文化赏析”通选课让全校学生，特别是像文学院、体育学院的学生也有了学习数学思想的机会了.
2.开展“数学文化”系列讲座
国内外有好多专家、学者对“数学文化”有了比较深入的研究，南开大学的顾沛教授从1999年就开始了数学文化的研究，学校和学院可根据学校的学术氛围，聘请一些专家和学者做关于“数学文化”的讲座，像顾沛教授的讲座“邮票中的数学文化”就给学生留下了非常深刻的印象，激发学生探索生活中所蕴含的数学文化的热情，开设数学文化讲座是开拓学生视野的一条有效途径.
四、结 论
随着数学文化研究的深入，人们越来越认识到在大学数学教学中渗透数学文化，对于提高大学生的综合素质具有非常重要且深远的意义，不仅能使他们感受和体验数学文化的魅力，更能使他们接受数学文化的感染和熏陶.张奠宙教授曾强调：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位和世俗的人情味.”
随着数学教育改革的深入，人们也越来越关注数学文化在数学教育中的地位和作用，我们相信，数学文化的深入发展必将对中国数学教育改革产生深远的影响.
【关键词】数学文化；综合素质；大学数学；素质教育
【基金项目】山东省2012教研项目（项目编号2012204），济南大学2012教研项目（项目编号JZC12013）
一、引 言
数学作为一种文化，对全社会成员起着潜移默化的作用：深深铭刻在人们心中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法和看问题分析问题的方法等，都随时随地发生作用，使人终生受益.正因如此，许多物理学家同时也是数学家，很多经济学家也是数学出身，比如经济学家 Markowitz因为用二次规划解决了证券组合选择理论获得了经济学诺贝尔奖，对于这一成就，他没有归功于他的经济专业知识和具体数学知识，而是归功于他的数学理念、内在数学素质和从数学衍生的创新精神.因此应使大学生感染数学文化，了解数学历史，体会数学的美，加深对数学知识体系的理解，了解数学和其他学科的融合，增强创新能力，提高他们的科研能力和工作能力.这对于培养高素质创新型人才有着重要的实际意义.因此研究数学文化课程建设是素质教育中必不可少的一项工作.
二、数学文化简介
在现代意义下，数学文化作为一种基本的文化形态，属于科学文化的范畴，它可以表述为以知识、方法、技术、理论等所辐射到相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统，其基本要素是数学（各个分支领域）及与之相关的各种文化对象（各个自然科学）.数学文化涉及的基本的文化因素包括数学、哲学、艺术、历史（不仅是数学史）、教育、思维科学、社会学、文化学、物理学、生物学等.数学不仅是物质文明的基石，而且是精神文明的宝贵财富.根据马林诺夫斯基对文化层次的理解，由此概括数学文化的形态有以下几个方面：
（一）物质形态
人们在探索数学的过程中要借助一定的设备与工具，像语言、文字、符号、印刷品、计算器、计算机网络以及通信设备等.这些既是数学文化发展所必需的工具，也是传播数学文化的手段，它们使数学文化以物质的形态对人们的生产方式与日常生活产生影响.
（二）知识形态
人们在不断地探索数学的过程中，建立起了完善的数学概念，发现了不同的数学规律，构建了系统的数学理论，并且用专门的语言与符号将它们表达了出来，这样就构成了一个综合的数学知识体系.这是人们对数学世界探究所获得的劳动与智慧的结晶，是数学文化的知识形态.
（三）组织形态
人们在不断地从事数学活动以及探索数学的过程中形成了一个特殊的群体，即数学共同体.数学共同体包含一切从事或者探索和数学相关的活动的社会群体以及活动与活动方式.例如，从事数学研究的技术人员与科研人员，探索数学教育事业的工作者与数学文化的学习者.广泛的社会群体、组织形式以及数学活动，是数学文化存在和发展的基本保障.
（四）精神形态
数学文化不但隐含着数学家的道德观念、内心信念、情感态度以及价值体系，而且数学本身也蕴含着理性精神，如公正性、理智性、客观性、追求完美、严谨性等.正是这些多种多样的精神形态，使得数学文化有着多种多样的表现形式和存在状态以及丰富的内涵.
三、加强数学文化建设提升学生综合素质的途径
（一）通过介绍数学史渗透数学文化，让学生了解数学与人类社会发展的关系
数学史是数学文化的代言.自古就有“教书、育人不分家”，将数学史的内容融入大学课堂，不论是数学家或者数学界的逸闻趣事，还是数学发展中遇到的难题，都会激发学生的学习兴趣，并且还有较强的励志作用.比如，在讲积分时，可以介绍一下积分符号“∫”是莱布尼兹发明的，它是英文单词“sum”的首字母缩写，数学上许多符号如“dx”“dy”“dxdy”“d-n”等都是由莱布尼兹发明的.还可以介绍双目失明的欧拉的顽强拼搏精神和陈景润为数学而献身的精神，从而激发学生的学习斗志.
在课堂上渗入数学史的内容，把学生认为“枯燥的数学课”，转变成“生动有趣的数学课”.与此同时，学生不再是“只会做题的机器”，通过数学史的知识，学生开阔了视野，并且学数学也懂数学，真正让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，加强对数学创新的认识，受到优秀文化的熏陶.
（二）通过灌输数学思想方法渗透数学文化，提高学生思维能力与创新能力
数学思想是数学中高度抽象与概括的内容，也是数学知识的本质.数学方法即是解决数学问题的步骤、过程与格式，它是实施数学思想的手段与解决问题的具体实行办法.大学数学中蕴含着丰富的思想方法，比如，类比思想、化归转化、变换、构造、反证法、数形结合、分类讨论、分段处理、归纳递推、猜想假设、特殊化与一般化的思想、随机思想、统计思想等等.具体渗透数学文化思想的方法有以下几种：
第一，运用类比推理，增强数学创新能力
大学数学中很多知识可通过类比来得到，从低维到高维、从有限到无限等，可以使学生在原有的认知结构基础上，应用类比推理，使知识、方法、技能向更高层次迁移.
例如积分中的类比：奇函数在对称区间上的定积分为零.数学语言表述为：若f（x）为[-a，a]上的奇函数，则有∫a-af（x）dx=0.此基本结论可以类比到线积分、面积分、二重积分和三重积分上.
（1）线积分：如果平面光滑曲线l关于x（或y）轴对称，f（x，y）是关于y（或x）的奇函数且在l上有连续的偏导数，则有∫f（x，y）dx=0.
（2）面积分：如果空间光滑曲面Ω关于xOy（或xOz或yOz）面对称，f（x，y，z）是关于z（或y或x）的奇函数且在Ω上有连续的偏导数，则有Ωf（x，y，z）ds=0. （3）二重积分：如果平面闭区域M关于x（或y）轴对称，f（x，y）是关于y（或x）的奇函数，则有Mf（x，y）dσ=0.
（4）三重积分：如果空间闭区域V关于xOy（或xOz或yOz）面对称，f（x，y，z）是关于z（或y或x）的奇函数，则有Vf（x，y，z）=0.
又如，不同学科的类比：
由A∪B=A B-A∩B（其中A和B为集合）
类比结论：
（1）线性代数中，若V1，V2是线性空间V的两个子空间，则有
dim（V1 V2）=dimV1 dimV2-dim（V1∩V2）.
（2）概率论与数理统计中，若A1，A2是两个随机事件，则有
P（A1 A2）=P（A1） P（A2）-P（A1∩A2）.
第二，运用化归思想，加强学生思维能力
在大学数学教学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略.化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
以上只列举了大学数学思想方法中的类比法与化归法，在大学数学中还有许多其他的数学思想方法，学生如果能够掌握大学数学中解决问题的独特与新颖的思想方法，且掌握其精髓，就可以使学生形成正确的数学观念，培养学生的创造性思维，学生的思维能力与创新能力得到加强.
（三）通过挖掘数学美渗透数学文化，让学生领会数学的美学价值
随着社会的进步，人们对审美的追求越来越高，数学具有特殊的美育和人文素养塑造功能，感染着人们对主观世界的认识与升华.
1.挖掘数学的简洁美
简洁美是数学美的基本内容.爱因斯坦曾说过：“美，本质上终究是简单.”举几个数学简洁美的例子：（1）数学分析中的数列极限的ε-N定义.用语言叙述为：“设{an}为数列，a为定数.若对任意给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.”而用数学语言表述为：“ε>0，N ，n>N 时，|an-a|<ε，则{an}以a为极限.”（2）线性代数中用数学语言表示一个矩阵非常简洁、直观，而用其他语言其复杂性不言而喻.
2.发现数学的对称美
对称美是数学美的另外一种表现形式.如：ΩR3，Ω是球心在原点、半径为1的球.计算三重积分（x y z）2dv，若将这个问题直接来计算会相当的烦琐，但如果利用对称性来计算，则非常简单：
（x y z）2dv =（x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz）dv =（x2 y2 z2）dv=3x2dv =24Ω1x2dv.
此处Ω1为球体在第一卦限部分，这里就运用了对称性.
数学对称美无处不在，指数与对数互为逆运算，除法是乘法的逆运算，这些均可看成是对称关系.
（四）开设第二课堂渗透数学文化，增加学生领会数学文化的机会
1.开设“数学文化赏析”通选课，提升学生的数学素养
现在的数学课，由于各种原因，常常采取重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法.大多数学生对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，而这些数学素养，反而是数学让人终身受益的精华.而“数学文化赏析”通选课正是以数学知识为载体，讲授数学思想、方法、数学美等内容，从而提升学生的数学文化素养.通过“数学文化赏析”通选课让全校学生，特别是像文学院、体育学院的学生也有了学习数学思想的机会了.
2.开展“数学文化”系列讲座
国内外有好多专家、学者对“数学文化”有了比较深入的研究，南开大学的顾沛教授从1999年就开始了数学文化的研究，学校和学院可根据学校的学术氛围，聘请一些专家和学者做关于“数学文化”的讲座，像顾沛教授的讲座“邮票中的数学文化”就给学生留下了非常深刻的印象，激发学生探索生活中所蕴含的数学文化的热情，开设数学文化讲座是开拓学生视野的一条有效途径.
四、结 论
随着数学文化研究的深入，人们越来越认识到在大学数学教学中渗透数学文化，对于提高大学生的综合素质具有非常重要且深远的意义，不仅能使他们感受和体验数学文化的魅力，更能使他们接受数学文化的感染和熏陶.张奠宙教授曾强调：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位和世俗的人情味.”
随着数学教育改革的深入，人们也越来越关注数学文化在数学教育中的地位和作用，我们相信，数学文化的深入发展必将对中国数学教育改革产生深远的影响.