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[摘 要]采用卡方（χ2）拟合优度检验法可以检验学生成绩是否服从正态分布，以近五年机械制造基础课程学生成绩为样本，该方法得以应用验证。根据该课程连续五个学年考试成绩的统计分布曲线的变化规律，可以探讨具有较强实践性课程的教学方法。
[关键词]课程成绩;数理统计;χ2拟合优度检验;正态分布
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）07-0192-04
近日，笔者再次阅读了姜文涛先生在1993年《沈阳大学学报》上发表的论文《教学效果评价方法的思考》[1]，提出了一个想法：近几年所带的机械制造基础本科生课程的考试成绩符合怎样的统计学规律？并通过连续五个学年成绩分布规律的对比，从中寻求该课程教学内容和方法改革的新思路。从统计学教学法观点来看，教学本身是一个多因素的综合事件，将每个学生个体的考分作为随机变量，如这些随机变量叠加在一起构成的分布规律符合正态分布，往往被作为试卷考核内容是否客观的判据之一[2-3]。因此，怎样判断考试成绩是否符合正态分布？以及如何从不同届学生成绩的分布规律中获取有价值的信息？这是本文重点关注的两个问题。
一、正态分布模型及其卡方（χ2）拟合优度检验
统计学中正态分布（Normal distribution）的含义是：如果一个指标受到若干独立因素的共同影响，且每个因素不能产生支配性的影响条件，那么这个指标就服从中心极限定理;其概率密度函数曲线呈钟形，即“两头低，中间高”的数据分布曲线[4]。凡是符合教育规律的考试，即试题合理、难度适中，学生考试成绩应该是中等分数段的学生人数较多，而高分段和低分段学生人数较少，即呈现出正态分布[4]。依据正态分布的四个教学效果评测指标：平均数（正态分布曲线峰值）、标准差（分数差异程度）、难度指数以及区分度指数（试卷难易程度合理性）[1]，该四个指标被广泛地应用于教学效果的定量评价中，虽然对此存在一定异议[5]，但是究其缘由可能是这些成绩数据本身并非呈准确的正态分布。因此，确定正态分布判据就显得尤为关键了[6]。
二、机械制造基础课程考试成绩样本分析
样本数据来源于西北工业大学材料学院连续五届四个本科生班机械制造基础课程考试的卷面成绩，以每个自然班或者每一届作为一个样本空间，为了保证数据的可靠性，去除缺考和重修的学生成绩。分别对每一学年学生成绩进行χ2拟合优度检验。设置置信度水平α=0.01。将学生成绩每十分为一区间。χ2 拟合优度检验结果见表1。
从检验结果来看，2012-2013学年与2013-2014学年不接受原假设，即2012-2013学年与2013-2014学年学生成绩不符合正态分布，其他学年成绩符合正态分布。各学年、各分数段分布频率直方图及其正态分布拟合曲线见图2。在2012-2013学年和2013-2014学年部分分数段与正态分布拟合曲线存在较大偏差，也验证了表1中χ2拟合优度检验分析结果。虽然2015-2016学年在65-70分数段与正态分布拟合曲线间也存在较大偏差，但并不影响主体的正态分布。可见，采用χ2拟合优度检验法验证数据样本是否符合正态分布具有较高的准确性。当然，不符合正态分布的成绩单简单地采用正态分布的四个指标评价教学效果，其偏颇性显而易见。
2011-2012年学频率分布直方图（图2a）正态拟合效果最佳，直观地反映出学生整体学习效果是良态的。随后两个学年均不符合正态分布，并出现典型的“正偏移”，即正态分布拟合曲线峰值位于频率直方图峰值左侧，2012-2013学年（图2b）50-60分数段出现小凸峰以及2013-2014学年（图2c）60-70分数段出现小凸峰使得拟合曲线整体左移。2014-2015学年（图2d）和2015-2016学年（图2e）虽然在30分左右出现频率小凸峰，但是孤单的小凸峰属于偶发事件;此外，2015-2016学年（图2e）正态分布拟合曲线扁平，说明平均峰值下降。图2e略微的正偏移分布也说明高分数段分布频率略大于低分数段频率，仍属于χ2拟合优度检验置信度内可接受的正态分布。值得注意的是，对比图2d和图2e可以看到频数的最高峰明显高于拟合曲线峰值（平均值），尤其图2e（2015-2016学年）两者差异更大，这属于比较典型的“正偏态”，即在某一分数段成绩比较集中，使得考试成绩区分度下降，教学效果大打折扣[6]。连续5个学年考题来自同一个试题库，难度指数相当，2015-2016学年（图2e）学生考试成绩虽然符合正态分布，但是平均成绩与往年比较下降明显，而且出现成绩断层的“双驼峰”现象，即30分左右出现小凸峰和65分左右的大凸峰，说明实际教学效果较差。各学年平均分数及其标准差变化框图见图3。平均成绩呈明显的下降趋势，2015-2016年参加考试学生106人，不及格学生达45人之多，平均成绩61.7分已逼近及格线。通过比较标准差，一般教学效果评价里标准差的标准值约为9.62，上限值14，成績标准差过大表明学生两极分化比较严重，教学效果不佳[1]。可以看到较大的正偏移和正偏态均会造成标准差值的增大。
造成某学年教学效果不佳的因素是多方面的，有社会氛围、个人理想和追求以及学校的管理状况[7， 8]，也不排除某一届学生整体学习素养较差。2012年后以小米手机为代表的国产智能手机大量上市，某些学生沉溺于手机游戏;再加上该课程安排在大二下，学生已熟悉了大学生活，只是寄希望于考前找往届课程考题，部分学生对自己疏于管理;此外，大学基础课程为大班教学，师生之间互动较少，课时也由原来的48学时减少到40学时，课堂教学时间紧，教师难以及时了解学生的学习状态。因此，如何跟上快速发展的信息时代，课程教学内容和教学方法也应改变。
三、机械制造基础课程教学方法的探讨
（一）要有效地促进师生互动 智能手机的普遍使用使得信息沟通也变得非常便利，因此，在课程开课之初便在授课班建立一个QQ群或微信群。其作用是，每当一部分教学内容完成之后，教师可上传课堂演示的课件PDF文件;每节课就上次课讲授内容提两到三个问题，也提前写在微信群中让学生提前准备;每次作业的准确答案，也可以在网上发布;学生的问题也可以及时回复，同学之间也可及时方便地展开讨论。上述措施在随后的几个学年使用效果较好。2017年课程组在爱课程网上建设有机械制造基础慕课（http：//www.icourse163.org/learn/NWPU-1001813005），上课的学生也可注册后利用其网上资源。
（二）注重学生差异化教学
由于学生对自己要求的差异性，布置作业时也要分为必做题和选做题两个部分，当然平时的作业都给出A、B、C三档成绩。此外，在群中也发布了一些国外知名高校机械制造基础课程所使用的教材和教案，有些经典教材在国内是可以购买到的，有精力的学生可以拓展自己的学习面和阅读量。再者，可以布置工艺设计题，让学生针对某一具体零件或工具，编制其工艺路线和工艺规程，以个人或小组（不超过三人）为单位提交给老师，作为平时成绩的一部分。学生学以致用，并且经过思考的问题讨论也会更为深入，当然其中也会发现一些发展势头比较好的学生。这种差异化教学对于促进学生学习的主动性大有帮助。
（三）将机械制造基础与金工实习合并作为一门课程开展教学
机械制造基础是一门实践性很强的课程，其应该是在经过金工实习后开设的课程，两者相辅相成。未经过金工实习的培训或实习效果欠佳的学生，很难理解机械制造课程工艺性的概念;当然，有了机械制造课程的基础理论，也更有利于学生理解工程制造工艺性概念。因此，将两者合并为一门课或合计学分，根本性地改变课程考核方式，将课堂教学与工程实践有机结合也是具有现实意义的。
四、结论
我们不能想当然地认为学生成绩的分布状态符合正态分布，否则会忽略成绩分布所反映出的有价值的信息，与此同时也会造成统计结果和方法上的偏差。卡方（χ2）拟合优度检验法不失为一种分析和判断学生成绩是否符合正态分布的有效工具。正态分布拟合曲线峰值位于分数段分布频率直方图峰值左侧的“正偏移”，偏移程度较大时，学生成绩分布已经不属于正态分布;正态拟合曲线峰值远小于分数段频率直方图峰值的“正偏态”，同样也属于非正常教学效果的分布态。
造成非正常教学效果分布态的因素是多方面的，应从课程教学的形式和教学内容上采取相应对策。充分利用社交软件和课堂提问等形式增强教师与学生之间的互动，及时了解和把握学生课程学习过程;在教学内容上，要注重学生个体性的差异;机械制造基础课程要做到理论教学与工程实践的有机结合，做到“学以致用”，根本性地改变单一的课程考试方式。
致谢
在此特别感谢刘文斌、李东阳两位硕士研究生在课程成绩分析以及统计方法选择方面所做的工作及建议。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 姜文涛，黄晓梅.教学效果评价方法的思考[J].沈阳大学学报，1993（2）：85-90.
[2] 杜长江. 教学效果的统计分析（一）[J].高教研究，1990（1）： 52-58.
[3] Angela D. Miller， Erin M. Ramirez， Tamera B. Murdock. The influence of teachers’ self-efficacy on perceptions： perceived teacher competence and respect and student effort and achievement [J]. Teaching and Teacher Education， 2017（64）： 260-269.
[4] 魏文元，冯淑芬.关于百分制考试成绩检验的注记[J].数理統计与管理，1997（1）：35-38.
[5] 李晴，李门楼.对考试成绩正态分布绝对化的理性思考[J].黑龙江高教研究，2008（12）：158-161.
[6] 孙荣平，王秦辉.高校考试成绩正态检验的新思路[J].黑龙江高教研究，2006（10）：113-114.
[7] 伍玉功，黄首燕.90后大学生学习行为问题初探[J].大学教育，2013（7）：72-74.
[8] 从教学管理的视角看大学新生成绩下降原因及解决方案[J].课程教育研究（新教师教学），2014（24）：55.
[责任编辑：刘凤华]
[关键词]课程成绩;数理统计;χ2拟合优度检验;正态分布
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）07-0192-04
近日，笔者再次阅读了姜文涛先生在1993年《沈阳大学学报》上发表的论文《教学效果评价方法的思考》[1]，提出了一个想法：近几年所带的机械制造基础本科生课程的考试成绩符合怎样的统计学规律？并通过连续五个学年成绩分布规律的对比，从中寻求该课程教学内容和方法改革的新思路。从统计学教学法观点来看，教学本身是一个多因素的综合事件，将每个学生个体的考分作为随机变量，如这些随机变量叠加在一起构成的分布规律符合正态分布，往往被作为试卷考核内容是否客观的判据之一[2-3]。因此，怎样判断考试成绩是否符合正态分布？以及如何从不同届学生成绩的分布规律中获取有价值的信息？这是本文重点关注的两个问题。
一、正态分布模型及其卡方（χ2）拟合优度检验
统计学中正态分布（Normal distribution）的含义是：如果一个指标受到若干独立因素的共同影响，且每个因素不能产生支配性的影响条件，那么这个指标就服从中心极限定理;其概率密度函数曲线呈钟形，即“两头低，中间高”的数据分布曲线[4]。凡是符合教育规律的考试，即试题合理、难度适中，学生考试成绩应该是中等分数段的学生人数较多，而高分段和低分段学生人数较少，即呈现出正态分布[4]。依据正态分布的四个教学效果评测指标：平均数（正态分布曲线峰值）、标准差（分数差异程度）、难度指数以及区分度指数（试卷难易程度合理性）[1]，该四个指标被广泛地应用于教学效果的定量评价中，虽然对此存在一定异议[5]，但是究其缘由可能是这些成绩数据本身并非呈准确的正态分布。因此，确定正态分布判据就显得尤为关键了[6]。
二、机械制造基础课程考试成绩样本分析
样本数据来源于西北工业大学材料学院连续五届四个本科生班机械制造基础课程考试的卷面成绩，以每个自然班或者每一届作为一个样本空间，为了保证数据的可靠性，去除缺考和重修的学生成绩。分别对每一学年学生成绩进行χ2拟合优度检验。设置置信度水平α=0.01。将学生成绩每十分为一区间。χ2 拟合优度检验结果见表1。
从检验结果来看，2012-2013学年与2013-2014学年不接受原假设，即2012-2013学年与2013-2014学年学生成绩不符合正态分布，其他学年成绩符合正态分布。各学年、各分数段分布频率直方图及其正态分布拟合曲线见图2。在2012-2013学年和2013-2014学年部分分数段与正态分布拟合曲线存在较大偏差，也验证了表1中χ2拟合优度检验分析结果。虽然2015-2016学年在65-70分数段与正态分布拟合曲线间也存在较大偏差，但并不影响主体的正态分布。可见，采用χ2拟合优度检验法验证数据样本是否符合正态分布具有较高的准确性。当然，不符合正态分布的成绩单简单地采用正态分布的四个指标评价教学效果，其偏颇性显而易见。
2011-2012年学频率分布直方图（图2a）正态拟合效果最佳，直观地反映出学生整体学习效果是良态的。随后两个学年均不符合正态分布，并出现典型的“正偏移”，即正态分布拟合曲线峰值位于频率直方图峰值左侧，2012-2013学年（图2b）50-60分数段出现小凸峰以及2013-2014学年（图2c）60-70分数段出现小凸峰使得拟合曲线整体左移。2014-2015学年（图2d）和2015-2016学年（图2e）虽然在30分左右出现频率小凸峰，但是孤单的小凸峰属于偶发事件;此外，2015-2016学年（图2e）正态分布拟合曲线扁平，说明平均峰值下降。图2e略微的正偏移分布也说明高分数段分布频率略大于低分数段频率，仍属于χ2拟合优度检验置信度内可接受的正态分布。值得注意的是，对比图2d和图2e可以看到频数的最高峰明显高于拟合曲线峰值（平均值），尤其图2e（2015-2016学年）两者差异更大，这属于比较典型的“正偏态”，即在某一分数段成绩比较集中，使得考试成绩区分度下降，教学效果大打折扣[6]。连续5个学年考题来自同一个试题库，难度指数相当，2015-2016学年（图2e）学生考试成绩虽然符合正态分布，但是平均成绩与往年比较下降明显，而且出现成绩断层的“双驼峰”现象，即30分左右出现小凸峰和65分左右的大凸峰，说明实际教学效果较差。各学年平均分数及其标准差变化框图见图3。平均成绩呈明显的下降趋势，2015-2016年参加考试学生106人，不及格学生达45人之多，平均成绩61.7分已逼近及格线。通过比较标准差，一般教学效果评价里标准差的标准值约为9.62，上限值14，成績标准差过大表明学生两极分化比较严重，教学效果不佳[1]。可以看到较大的正偏移和正偏态均会造成标准差值的增大。
造成某学年教学效果不佳的因素是多方面的，有社会氛围、个人理想和追求以及学校的管理状况[7， 8]，也不排除某一届学生整体学习素养较差。2012年后以小米手机为代表的国产智能手机大量上市，某些学生沉溺于手机游戏;再加上该课程安排在大二下，学生已熟悉了大学生活，只是寄希望于考前找往届课程考题，部分学生对自己疏于管理;此外，大学基础课程为大班教学，师生之间互动较少，课时也由原来的48学时减少到40学时，课堂教学时间紧，教师难以及时了解学生的学习状态。因此，如何跟上快速发展的信息时代，课程教学内容和教学方法也应改变。
三、机械制造基础课程教学方法的探讨
（一）要有效地促进师生互动 智能手机的普遍使用使得信息沟通也变得非常便利，因此，在课程开课之初便在授课班建立一个QQ群或微信群。其作用是，每当一部分教学内容完成之后，教师可上传课堂演示的课件PDF文件;每节课就上次课讲授内容提两到三个问题，也提前写在微信群中让学生提前准备;每次作业的准确答案，也可以在网上发布;学生的问题也可以及时回复，同学之间也可及时方便地展开讨论。上述措施在随后的几个学年使用效果较好。2017年课程组在爱课程网上建设有机械制造基础慕课（http：//www.icourse163.org/learn/NWPU-1001813005），上课的学生也可注册后利用其网上资源。
（二）注重学生差异化教学
由于学生对自己要求的差异性，布置作业时也要分为必做题和选做题两个部分，当然平时的作业都给出A、B、C三档成绩。此外，在群中也发布了一些国外知名高校机械制造基础课程所使用的教材和教案，有些经典教材在国内是可以购买到的，有精力的学生可以拓展自己的学习面和阅读量。再者，可以布置工艺设计题，让学生针对某一具体零件或工具，编制其工艺路线和工艺规程，以个人或小组（不超过三人）为单位提交给老师，作为平时成绩的一部分。学生学以致用，并且经过思考的问题讨论也会更为深入，当然其中也会发现一些发展势头比较好的学生。这种差异化教学对于促进学生学习的主动性大有帮助。
（三）将机械制造基础与金工实习合并作为一门课程开展教学
机械制造基础是一门实践性很强的课程，其应该是在经过金工实习后开设的课程，两者相辅相成。未经过金工实习的培训或实习效果欠佳的学生，很难理解机械制造课程工艺性的概念;当然，有了机械制造课程的基础理论，也更有利于学生理解工程制造工艺性概念。因此，将两者合并为一门课或合计学分，根本性地改变课程考核方式，将课堂教学与工程实践有机结合也是具有现实意义的。
四、结论
我们不能想当然地认为学生成绩的分布状态符合正态分布，否则会忽略成绩分布所反映出的有价值的信息，与此同时也会造成统计结果和方法上的偏差。卡方（χ2）拟合优度检验法不失为一种分析和判断学生成绩是否符合正态分布的有效工具。正态分布拟合曲线峰值位于分数段分布频率直方图峰值左侧的“正偏移”，偏移程度较大时，学生成绩分布已经不属于正态分布;正态拟合曲线峰值远小于分数段频率直方图峰值的“正偏态”，同样也属于非正常教学效果的分布态。
造成非正常教学效果分布态的因素是多方面的，应从课程教学的形式和教学内容上采取相应对策。充分利用社交软件和课堂提问等形式增强教师与学生之间的互动，及时了解和把握学生课程学习过程;在教学内容上，要注重学生个体性的差异;机械制造基础课程要做到理论教学与工程实践的有机结合，做到“学以致用”，根本性地改变单一的课程考试方式。
致谢
在此特别感谢刘文斌、李东阳两位硕士研究生在课程成绩分析以及统计方法选择方面所做的工作及建议。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 姜文涛，黄晓梅.教学效果评价方法的思考[J].沈阳大学学报，1993（2）：85-90.
[2] 杜长江. 教学效果的统计分析（一）[J].高教研究，1990（1）： 52-58.
[3] Angela D. Miller， Erin M. Ramirez， Tamera B. Murdock. The influence of teachers’ self-efficacy on perceptions： perceived teacher competence and respect and student effort and achievement [J]. Teaching and Teacher Education， 2017（64）： 260-269.
[4] 魏文元，冯淑芬.关于百分制考试成绩检验的注记[J].数理統计与管理，1997（1）：35-38.
[5] 李晴，李门楼.对考试成绩正态分布绝对化的理性思考[J].黑龙江高教研究，2008（12）：158-161.
[6] 孙荣平，王秦辉.高校考试成绩正态检验的新思路[J].黑龙江高教研究，2006（10）：113-114.
[7] 伍玉功，黄首燕.90后大学生学习行为问题初探[J].大学教育，2013（7）：72-74.
[8] 从教学管理的视角看大学新生成绩下降原因及解决方案[J].课程教育研究（新教师教学），2014（24）：55.
[责任编辑：刘凤华]