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[摘 要] 文章以高中“函数单调性”概念教学为例，探究了数学抽象素养培养的策略. 认为高中数学概念教学中，应聚焦数学抽象素养，以关键概念的形成为核心，引领学生在亲历探究数学概念知识的形成过程中积累从具体到抽象的活动经验，培养和发展数学抽象素养，提升理性思维.
[关键词] 高中数学;抽象素养;函数单调性;教学
作为六大核心素养之首，抽象素养能够促使学生从数学问题中舍弃非数学的属性，运用符号、数量、图形等数学语言描述实际生活情境中抽象出来的数学规律，从而达到更好地掌握数学本质的目的. 而在当前高中概念教学中，教师往往忽视了基于发展学生数学抽象素养的视角去引领学生数学化地思考和探索，致使学生从实际情境中抽象出数学问题的能力较弱，在将有关问题用数学语言表达并用所学知识解决问题方面并不理想. 因此，高中数学概念教学中，应聚焦数学抽象素养，以关键概念的形成为核心，引领学生在亲历探究数学概念知识的形成过程中积累从具体到抽象的活动经验[1]，培养和发展数学抽象素养，提升理性思维.
[?] 高中数学抽象素养培养策略
1. 创设问题情境，抽象数学问题
为了拓展学生的认知领域，將所学知识与生活经验有机结合起来，教师应立足于学生思维的最近发展区创设问题情境，并深刻挖掘问题情境中所蕴含的抽象素养，鼓励学生运用数学的思想和方法表达和理解问题情境，从而有效地将学生带入生活化、社会化、科学化的学习氛围之中.
例如，在“函数的单调性”创设问题情境时，教师结合学生的生活实际，为学生呈现了某一地区24小时内的气温曲线图，并通过纯几何表述、几何强代数弱、代数强几何弱、纯代数化表述引导学生观察曲线图，逐渐抽象出函数值是如何随着自变量的变化而变化等函数单调性内容.
2. 巧用数形结合，促进抽象概括
教师应摒弃灌输式教授方式，注重“数”与“形”描述事物本质的两个方面，引导学生不断在抽象思维和形象思维之间转换，并且结合不同的例证，在分析和比较的基础上抽象出数学知识的本质属性，从而实现复杂问题简单化、简单问题具体化的目的.
例如，“函数单调性”是说明函数在某一区间内的变化规律这一论述比较抽象，针对这种情况，教师可以从学生较为熟悉的简单函数入手，从“形”出发引导学生直观得出函数图像的“上升”或“下降”就是体现了函数的单调性. 在此基础上，进一步引导学生追本溯源思考如何用代数表示上升或下降，从而抽象出函数单调性的本质属性.
3. 善用符号语言，发展数学抽象
数学符号语言本身相当抽象，而在学生得到数学知识的本质属性之后，教师还应将实例中表述属性的自然语言及时转化为数学语言，明确说明每个符号所表示的含义，从而达到发展数学抽象素养的目的. 值得说明的是，数学抽象素养的培养是有长期性的，为了使学生理解和加强符号语言的本质属性，促使学生在今后学习其他符号中产生正迁移，教师还应注意控制非本质特征的数量和强度，并且注重变式的运用. 例如，在组织学生学习“函数单调性”时，教师应明确向学生强调f（x）、自变量x、f（2020）等各个符号的意义，理解应用符号语言的便捷性.
4. 运用正反例，促进数学抽象
为了将抽象的数学知识变成存在于学生自己思维中的具体知识，教师还应合理地利用正反例，有效明确概念的内涵和外延. 值得注意的是，在概念形成之前，教师应尽可能地呈现正例，随着概念的学习的深入，为了排除非本质属性的干扰，教师应多呈现反例. 例如，在组织学生学习“函数单调性”时，教师应将在区间内的任意自变量这个关键字与感性材料建立联系，运用正反例帮助学生准确理解函数的单调性和单调区间.
5. 注重概念联系，提升数学抽象
为了促使学生从多个角度上看待问题，教师应强化抽象知识的应用，结合相关的练习题目让学生辨别数学抽象结果，并及时对整个抽象过程进行反思总结. 例如，在具体解题之前，教师应注重对相关题目的分析，促使学生寻找出题目中所隐藏的隐含条件，使学生对抽象概括的能力得到进一步提高.
[?] 基于数学抽象素养的高中数学教学实践
仅有相关理论是不够的，而函数的单调性一直是历年高考的重点，不仅糅合了数形结合思想，而且函数的单调性概念比较抽象，特别是在应用数学符号将自然语言上升到定义时比较困难. 因此，基于以上教学策略，为了强化理论联系实际，本文以“函数的单调性”为例进行深入探究.
1. 情境导入，激发求知欲
为了让学生充分感受数学源于生活而又服务于生活，教师呈现了如下学生较为熟悉的生活情境：某地一天气温T随着时间t变化的图像如图1所示，要求学生仔细观察图像，并引导学生通过以下几个步骤逐渐抽象出这个几何情境，了解气温T随时间t变化的大致规律.
第一步（几何表述）：请问什么时间气温达到最高，什么时间气温达到最低，最高气温和最低气温分别是多少摄氏度.
第二步（代数少几何多）：根据图像请说出8时、16时、24时的具体温度.
第三步（几何少代数多）：引导学生观察曲线在t∈[0，4]时呈下降趋势，在t∈[4，12]时呈上升趋势，在t∈[12，24]时又呈下降趋势.
第四步（纯代数）：在t∈[0，4]，t∈[12，24]时，函数值T随着自变量t的增大而减小，在t∈[4，12]时，函数值T随着自变量t的增大而增大.
2. 构建新知，形成概念
为了让学生体验函数单调性概念的形成过程，自主感受新知的抽象过程，教师应从学生已学函数的几何直观入手（如图2至图4所示），再结合情境导入的温度图像，引导学生从“形”的角度描绘函数f（x）随自变量x的变化规律. 在此基础上，要求学生从数的角度精准刻画出上升、下降等“形”的规律，从而引出函数的单调性，并要求学生应用准确的语言表述增函数、减函数的定义. 随后，要求学生观察如图5所示的函数图像，并根据上述所学知识，判断该函数在定义域内是否是增函数、是否是减函数，进而帮助学生结合图像进一步剖析概念，厘清函数单调性是针对函数的某个区间而言的，并且对于区间内的自变量x的要求是“任意取值”.
3. 学以致用，强化理解
概念的应用需要实践，为了进一步强化课堂上对函数单调性的理解，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，教师还应通过如下类似的练习题帮助学生总结出判断函数单调性的方式，即“取差—变形—判号—得出结论”，从而不断强化学生的抽象素养.
如：已知函数f（x）=x+，试证明f（x）在区间（2，+∞）上是单调递增.
同时，为了强化变式和构造反例训练，帮助学生有效体验函数单调性概念符号化的建构过程，加深由直观到抽象的认知过程，教师还应引导学生通过以下练习题理解函数单调性的内涵和外延.
如：对下列说法进行判断，请画图说明理由.
（1）已知函数y=f（x），若f（3）>f（4），则能否判断该函数是单调递减函数，能否说明该函数一定不是单调递增函数.
（2）x为区间（0，+∞）上的任意实数，若恒有f（x）>f（0），则该函数是否在区间（0，+∞）上单调递增.
4. 归纳总结，提高认识
以函数单调性概念形成过程中的收获为主题，要求学生总结出增函数（减函数）图像的特点，以及如何应用定义证明函数的单调性. 同时，学生对于函数单调性的理解不可能一次性完成，教师还应设置以下练习题目，鼓励学生自行完成.
如：（1）已知函数y=f（x），當0<1<2，恒有f（0）<f（1）<f（2），则函数f（x）在区间（0，2）上是否是增函数，试说明你的理由.
（2）画出下列函数图形，并指出该函数的单调区间和单调性：①y=-x2+2;②y=（x≠0）.
（3）已知函数y=f（x），若该函数在区间（-2，3）上是增函数，则函数y=f（x+5）的递增区间是什么？
[?] 结语
总之，抽象素养的培养并不是一种简单的传授和给予，而应引领学生在亲历数学化的过程中进行自我体验、自我感悟、自我升华[2]，获得理解性掌握，并通过创设问题情境、巧用数形结合、善用符号语言、注重概念联系等方式，根据学生的知识现状、认识水平、心理特征精心打磨，只有这样，才能使高中数学课堂散发出迷人的光彩，才能促使数学抽象素养在高中数学教学中生根开花.
参考文献：
[1] 庄丽育. 立足数学核心概念，发展数学抽象素养——以“整式的规律探究”为例[J]. 福建中学数学，2020（01）.
[2] 胡昌亮. 高中生数学抽象素养培养的实践研究——基于导数教学的思考[J]. 数学教学通讯，2020（12）.
[关键词] 高中数学;抽象素养;函数单调性;教学
作为六大核心素养之首，抽象素养能够促使学生从数学问题中舍弃非数学的属性，运用符号、数量、图形等数学语言描述实际生活情境中抽象出来的数学规律，从而达到更好地掌握数学本质的目的. 而在当前高中概念教学中，教师往往忽视了基于发展学生数学抽象素养的视角去引领学生数学化地思考和探索，致使学生从实际情境中抽象出数学问题的能力较弱，在将有关问题用数学语言表达并用所学知识解决问题方面并不理想. 因此，高中数学概念教学中，应聚焦数学抽象素养，以关键概念的形成为核心，引领学生在亲历探究数学概念知识的形成过程中积累从具体到抽象的活动经验[1]，培养和发展数学抽象素养，提升理性思维.
[?] 高中数学抽象素养培养策略
1. 创设问题情境，抽象数学问题
为了拓展学生的认知领域，將所学知识与生活经验有机结合起来，教师应立足于学生思维的最近发展区创设问题情境，并深刻挖掘问题情境中所蕴含的抽象素养，鼓励学生运用数学的思想和方法表达和理解问题情境，从而有效地将学生带入生活化、社会化、科学化的学习氛围之中.
例如，在“函数的单调性”创设问题情境时，教师结合学生的生活实际，为学生呈现了某一地区24小时内的气温曲线图，并通过纯几何表述、几何强代数弱、代数强几何弱、纯代数化表述引导学生观察曲线图，逐渐抽象出函数值是如何随着自变量的变化而变化等函数单调性内容.
2. 巧用数形结合，促进抽象概括
教师应摒弃灌输式教授方式，注重“数”与“形”描述事物本质的两个方面，引导学生不断在抽象思维和形象思维之间转换，并且结合不同的例证，在分析和比较的基础上抽象出数学知识的本质属性，从而实现复杂问题简单化、简单问题具体化的目的.
例如，“函数单调性”是说明函数在某一区间内的变化规律这一论述比较抽象，针对这种情况，教师可以从学生较为熟悉的简单函数入手，从“形”出发引导学生直观得出函数图像的“上升”或“下降”就是体现了函数的单调性. 在此基础上，进一步引导学生追本溯源思考如何用代数表示上升或下降，从而抽象出函数单调性的本质属性.
3. 善用符号语言，发展数学抽象
数学符号语言本身相当抽象，而在学生得到数学知识的本质属性之后，教师还应将实例中表述属性的自然语言及时转化为数学语言，明确说明每个符号所表示的含义，从而达到发展数学抽象素养的目的. 值得说明的是，数学抽象素养的培养是有长期性的，为了使学生理解和加强符号语言的本质属性，促使学生在今后学习其他符号中产生正迁移，教师还应注意控制非本质特征的数量和强度，并且注重变式的运用. 例如，在组织学生学习“函数单调性”时，教师应明确向学生强调f（x）、自变量x、f（2020）等各个符号的意义，理解应用符号语言的便捷性.
4. 运用正反例，促进数学抽象
为了将抽象的数学知识变成存在于学生自己思维中的具体知识，教师还应合理地利用正反例，有效明确概念的内涵和外延. 值得注意的是，在概念形成之前，教师应尽可能地呈现正例，随着概念的学习的深入，为了排除非本质属性的干扰，教师应多呈现反例. 例如，在组织学生学习“函数单调性”时，教师应将在区间内的任意自变量这个关键字与感性材料建立联系，运用正反例帮助学生准确理解函数的单调性和单调区间.
5. 注重概念联系，提升数学抽象
为了促使学生从多个角度上看待问题，教师应强化抽象知识的应用，结合相关的练习题目让学生辨别数学抽象结果，并及时对整个抽象过程进行反思总结. 例如，在具体解题之前，教师应注重对相关题目的分析，促使学生寻找出题目中所隐藏的隐含条件，使学生对抽象概括的能力得到进一步提高.
[?] 基于数学抽象素养的高中数学教学实践
仅有相关理论是不够的，而函数的单调性一直是历年高考的重点，不仅糅合了数形结合思想，而且函数的单调性概念比较抽象，特别是在应用数学符号将自然语言上升到定义时比较困难. 因此，基于以上教学策略，为了强化理论联系实际，本文以“函数的单调性”为例进行深入探究.
1. 情境导入，激发求知欲
为了让学生充分感受数学源于生活而又服务于生活，教师呈现了如下学生较为熟悉的生活情境：某地一天气温T随着时间t变化的图像如图1所示，要求学生仔细观察图像，并引导学生通过以下几个步骤逐渐抽象出这个几何情境，了解气温T随时间t变化的大致规律.
第一步（几何表述）：请问什么时间气温达到最高，什么时间气温达到最低，最高气温和最低气温分别是多少摄氏度.
第二步（代数少几何多）：根据图像请说出8时、16时、24时的具体温度.
第三步（几何少代数多）：引导学生观察曲线在t∈[0，4]时呈下降趋势，在t∈[4，12]时呈上升趋势，在t∈[12，24]时又呈下降趋势.
第四步（纯代数）：在t∈[0，4]，t∈[12，24]时，函数值T随着自变量t的增大而减小，在t∈[4，12]时，函数值T随着自变量t的增大而增大.
2. 构建新知，形成概念
为了让学生体验函数单调性概念的形成过程，自主感受新知的抽象过程，教师应从学生已学函数的几何直观入手（如图2至图4所示），再结合情境导入的温度图像，引导学生从“形”的角度描绘函数f（x）随自变量x的变化规律. 在此基础上，要求学生从数的角度精准刻画出上升、下降等“形”的规律，从而引出函数的单调性，并要求学生应用准确的语言表述增函数、减函数的定义. 随后，要求学生观察如图5所示的函数图像，并根据上述所学知识，判断该函数在定义域内是否是增函数、是否是减函数，进而帮助学生结合图像进一步剖析概念，厘清函数单调性是针对函数的某个区间而言的，并且对于区间内的自变量x的要求是“任意取值”.
3. 学以致用，强化理解
概念的应用需要实践，为了进一步强化课堂上对函数单调性的理解，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，教师还应通过如下类似的练习题帮助学生总结出判断函数单调性的方式，即“取差—变形—判号—得出结论”，从而不断强化学生的抽象素养.
如：已知函数f（x）=x+，试证明f（x）在区间（2，+∞）上是单调递增.
同时，为了强化变式和构造反例训练，帮助学生有效体验函数单调性概念符号化的建构过程，加深由直观到抽象的认知过程，教师还应引导学生通过以下练习题理解函数单调性的内涵和外延.
如：对下列说法进行判断，请画图说明理由.
（1）已知函数y=f（x），若f（3）>f（4），则能否判断该函数是单调递减函数，能否说明该函数一定不是单调递增函数.
（2）x为区间（0，+∞）上的任意实数，若恒有f（x）>f（0），则该函数是否在区间（0，+∞）上单调递增.
4. 归纳总结，提高认识
以函数单调性概念形成过程中的收获为主题，要求学生总结出增函数（减函数）图像的特点，以及如何应用定义证明函数的单调性. 同时，学生对于函数单调性的理解不可能一次性完成，教师还应设置以下练习题目，鼓励学生自行完成.
如：（1）已知函数y=f（x），當0<1<2，恒有f（0）<f（1）<f（2），则函数f（x）在区间（0，2）上是否是增函数，试说明你的理由.
（2）画出下列函数图形，并指出该函数的单调区间和单调性：①y=-x2+2;②y=（x≠0）.
（3）已知函数y=f（x），若该函数在区间（-2，3）上是增函数，则函数y=f（x+5）的递增区间是什么？
[?] 结语
总之，抽象素养的培养并不是一种简单的传授和给予，而应引领学生在亲历数学化的过程中进行自我体验、自我感悟、自我升华[2]，获得理解性掌握，并通过创设问题情境、巧用数形结合、善用符号语言、注重概念联系等方式，根据学生的知识现状、认识水平、心理特征精心打磨，只有这样，才能使高中数学课堂散发出迷人的光彩，才能促使数学抽象素养在高中数学教学中生根开花.
参考文献：
[1] 庄丽育. 立足数学核心概念，发展数学抽象素养——以“整式的规律探究”为例[J]. 福建中学数学，2020（01）.
[2] 胡昌亮. 高中生数学抽象素养培养的实践研究——基于导数教学的思考[J]. 数学教学通讯，2020（12）.