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【摘要】分析杆件变形时产生的内力是研究材料力学的基础，因此，掌握杆件内力的计算和内力图的绘制是学好材料力学的基础和关键，是材料力学课程教学的难点和重点．本文根据总结《材料力学》课程内力图的教学实践，得出了杆件变形时几种内力图的绘制技巧，有助于学生学习。
【关键词】材料力学；内力；内力图
文章编号:ISSN1006—656X(2013)06 -000109-01
在工程实际中，机器零件或工程构件在受到不同载荷的作用下，将受到轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转和弯曲这四种基本变形中的一种或两种的组合变形，研究这四种基本变形是学习材料力学的主要内容，而分析杆件变形时产生的内力又是研究材料力学的基础。
一、四种内力的计算
四种内力的计算都用同一种方法，任一指定截面的内力等于该所在截面以左或以右所有外力的代数和，其正负号由外力的正负号确定。
(1) 轴向拉伸和压缩外力符号的规定：在拉伸压缩变形中, 规定力的矢量背离所计算截面为正；力的矢量指向所计算截面为负。
(2) 扭转外力符号的规定：在扭转变形中，采用右手螺旋定则，规定力偶矩矢的矢量背离所计算截面为正；力偶矩矢的矢量指向所计算截面为负。
(3) 梁发生弯曲时,横截面上产生两种内力:剪力和弯矩。a. 剪力外力符号的规定：由外力使研究对象旋转的方向来判定,外力使所求截面产生顺时针旋转趋势则正号,反之为负号。b.弯矩外力符号的规定：弯矩的正负由梁的变形确定,若外力使梁发生向上凸变形则取正,反之取负。
二、内力图绘制基本方法
在画内力图时,内力从零（一般在杆件左端）开始, 遇到集中力或集中力偶所在的截面处时内力图突变, 突变值为该集中力或集中力偶的大小, 突变方向由外力决定, 正的外力或力偶矩向上突变, 负的外力或力偶矩向下突变。而在最后一个集中力或集中力偶突变后, 其终点落回x 轴上。即内力由零开始, 到零结束。由于从左端开始向右端绘制内力图，故几种变形的外力符号可以简化为：
(1)拉伸压缩变形时, 规定外力向左为正,反之为负, 即“左正右负”。
(2)扭转变形时, 外力偶矩矢量方向向左为正, 反之为负, 即“左正右负”。
(3) 梁发生横力弯曲时，剪力规定截取左端研究时，向上的外力为正, 反之为负。梁发生横力弯曲时，弯矩规定截取左端研究时，向上的外力为正, 反之为负。顺时针的外力偶为正, 反之为负。
从上面的分析可以发现，四种内力图绘制是用同一种方法，学生容易掌握，容易记忆，在近几年的高职教学实践中,取得了很好的教学效果。
三、内力图的绘制实例
（一）轴力图的直接绘制实例
例1画出图1a所示的轴向受到力的杆件的轴力图
解：如图1（b）所示，从坐标原点开始向上向右画出与x轴平行的线表示轴力值为10KN(按比例)，至B截面；在B截面向下画30kN即轴力值变为－20kN，即在x轴下方画出平行线表示轴力值为－20kN至C截面，在C截面向上画10kN即轴力值变为－10kN，即在x轴下方画平行线表示轴力值为10kN至D截面；在D截面向上画至O点。（画毕）
FNmax=－20kN 作用在BC段（受压）。
（二） 扭矩图的直接绘制实例
例2试画出图2a所示的圆轴的扭矩图。
解：如图2b所示，从坐标原点开始向上画一条与x轴平行的线表示扭矩为10N.m (按比例)，至B截面；在B截面向下画30N﹒m即扭矩变为－20N.m，即在x轴下方画平行线表示扭矩为20N.m至C截面，在C截面向上画10N.m即扭矩变为－10N.m，即在x轴下方画平行线表示扭矩为10N.m至D截面；在D截面向上画至O点。（画毕）
Tmax =20N.m作用在BC段。
（三）梁内力图的直接绘制实例
例3试绘制出图3a所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）画出受力图并求支座约束反力。列出平衡方程，
得FA=16kN ,FB=24kN
将所求的支座约束反力标在受力图上，如图3b所示。
（2）绘制剪力图。如图2c所示，从坐标原点开始向上画与X轴平行的线表示剪力值16kN (按比例)至C截面；在C截面向下画40kN剪力值变为-24kN ，即在x轴下方画平行线表示剪力值为24KN至B截面；在B截面向上画24kN至0点。（画毕）
（3）绘制弯矩图。如图3d所示，首先可确定A、B两个端点的弯矩均等于零，再根据任意截面上的弯矩等于该截面左边的剪力所围成图形的面积的代数和，得MA=0, MB=0.
MC=16X1=16kN.m
MD左=16X2- 40X1= -8kN.m
MD右=16X2- 40X1+32= 24kN.m
从坐标原点开始斜向上画一条斜直线至 C截面的16kN.m(按比例)， 从C截面开始斜向下画一条斜直线至D截面的-8kN.m ，在D截面向上突变32kN.m即弯矩值变为24kN.m ，从D截面斜向下画一条斜直线至0点。（画毕）。
得 |FQ|max=24kN|MZ|max=24kN.M
绘制弯曲内力图是力学的一大难点。根据经验总结，从梁的左端作图，剪力图、弯矩图随着外力存在以下变化规律：
（1）无载荷作用的一段梁上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
（2）在集中力作用处，剪力图有突变，其突变值即为集中力的大小；突变的方向与集中力的方同相向，而弯矩图有折转。
（3）在集中力偶作用处，剪力图左右不变；而弯矩图有突变，其突变值即为集中力偶矩的大小，突变的方向由集中力偶的转向决定，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。
（4）若在某段梁上有均布载荷作用，则剪力图为斜直线；而弯矩图为二次曲线，剪力等于零的截面，曲线有极值。
四、小结
本文总结了《工程力学》课程中内力图的教学实践， 将该课程中属于重点又是难点的知识进行概括细化，得出了杆件变形时几种内力图的绘制规律，便于学生学习。
参考文献：
[1]杨晓翔《工程力学》 哈尔滨工业大学出版社，1998。
[2]邱家骏《工程力学》 北京：机械工业出版社，1996。
[3]阮予明《工程力学》 中国电力出版社，2005。
【关键词】材料力学；内力；内力图
文章编号:ISSN1006—656X(2013)06 -000109-01
在工程实际中，机器零件或工程构件在受到不同载荷的作用下，将受到轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转和弯曲这四种基本变形中的一种或两种的组合变形，研究这四种基本变形是学习材料力学的主要内容，而分析杆件变形时产生的内力又是研究材料力学的基础。
一、四种内力的计算
四种内力的计算都用同一种方法，任一指定截面的内力等于该所在截面以左或以右所有外力的代数和，其正负号由外力的正负号确定。
(1) 轴向拉伸和压缩外力符号的规定：在拉伸压缩变形中, 规定力的矢量背离所计算截面为正；力的矢量指向所计算截面为负。
(2) 扭转外力符号的规定：在扭转变形中，采用右手螺旋定则，规定力偶矩矢的矢量背离所计算截面为正；力偶矩矢的矢量指向所计算截面为负。
(3) 梁发生弯曲时,横截面上产生两种内力:剪力和弯矩。a. 剪力外力符号的规定：由外力使研究对象旋转的方向来判定,外力使所求截面产生顺时针旋转趋势则正号,反之为负号。b.弯矩外力符号的规定：弯矩的正负由梁的变形确定,若外力使梁发生向上凸变形则取正,反之取负。
二、内力图绘制基本方法
在画内力图时,内力从零（一般在杆件左端）开始, 遇到集中力或集中力偶所在的截面处时内力图突变, 突变值为该集中力或集中力偶的大小, 突变方向由外力决定, 正的外力或力偶矩向上突变, 负的外力或力偶矩向下突变。而在最后一个集中力或集中力偶突变后, 其终点落回x 轴上。即内力由零开始, 到零结束。由于从左端开始向右端绘制内力图，故几种变形的外力符号可以简化为：
(1)拉伸压缩变形时, 规定外力向左为正,反之为负, 即“左正右负”。
(2)扭转变形时, 外力偶矩矢量方向向左为正, 反之为负, 即“左正右负”。
(3) 梁发生横力弯曲时，剪力规定截取左端研究时，向上的外力为正, 反之为负。梁发生横力弯曲时，弯矩规定截取左端研究时，向上的外力为正, 反之为负。顺时针的外力偶为正, 反之为负。
从上面的分析可以发现，四种内力图绘制是用同一种方法，学生容易掌握，容易记忆，在近几年的高职教学实践中,取得了很好的教学效果。
三、内力图的绘制实例
（一）轴力图的直接绘制实例
例1画出图1a所示的轴向受到力的杆件的轴力图
解：如图1（b）所示，从坐标原点开始向上向右画出与x轴平行的线表示轴力值为10KN(按比例)，至B截面；在B截面向下画30kN即轴力值变为－20kN，即在x轴下方画出平行线表示轴力值为－20kN至C截面，在C截面向上画10kN即轴力值变为－10kN，即在x轴下方画平行线表示轴力值为10kN至D截面；在D截面向上画至O点。（画毕）
FNmax=－20kN 作用在BC段（受压）。
（二） 扭矩图的直接绘制实例
例2试画出图2a所示的圆轴的扭矩图。
解：如图2b所示，从坐标原点开始向上画一条与x轴平行的线表示扭矩为10N.m (按比例)，至B截面；在B截面向下画30N﹒m即扭矩变为－20N.m，即在x轴下方画平行线表示扭矩为20N.m至C截面，在C截面向上画10N.m即扭矩变为－10N.m，即在x轴下方画平行线表示扭矩为10N.m至D截面；在D截面向上画至O点。（画毕）
Tmax =20N.m作用在BC段。
（三）梁内力图的直接绘制实例
例3试绘制出图3a所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）画出受力图并求支座约束反力。列出平衡方程，
得FA=16kN ,FB=24kN
将所求的支座约束反力标在受力图上，如图3b所示。
（2）绘制剪力图。如图2c所示，从坐标原点开始向上画与X轴平行的线表示剪力值16kN (按比例)至C截面；在C截面向下画40kN剪力值变为-24kN ，即在x轴下方画平行线表示剪力值为24KN至B截面；在B截面向上画24kN至0点。（画毕）
（3）绘制弯矩图。如图3d所示，首先可确定A、B两个端点的弯矩均等于零，再根据任意截面上的弯矩等于该截面左边的剪力所围成图形的面积的代数和，得MA=0, MB=0.
MC=16X1=16kN.m
MD左=16X2- 40X1= -8kN.m
MD右=16X2- 40X1+32= 24kN.m
从坐标原点开始斜向上画一条斜直线至 C截面的16kN.m(按比例)， 从C截面开始斜向下画一条斜直线至D截面的-8kN.m ，在D截面向上突变32kN.m即弯矩值变为24kN.m ，从D截面斜向下画一条斜直线至0点。（画毕）。
得 |FQ|max=24kN|MZ|max=24kN.M
绘制弯曲内力图是力学的一大难点。根据经验总结，从梁的左端作图，剪力图、弯矩图随着外力存在以下变化规律：
（1）无载荷作用的一段梁上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
（2）在集中力作用处，剪力图有突变，其突变值即为集中力的大小；突变的方向与集中力的方同相向，而弯矩图有折转。
（3）在集中力偶作用处，剪力图左右不变；而弯矩图有突变，其突变值即为集中力偶矩的大小，突变的方向由集中力偶的转向决定，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。
（4）若在某段梁上有均布载荷作用，则剪力图为斜直线；而弯矩图为二次曲线，剪力等于零的截面，曲线有极值。
四、小结
本文总结了《工程力学》课程中内力图的教学实践， 将该课程中属于重点又是难点的知识进行概括细化，得出了杆件变形时几种内力图的绘制规律，便于学生学习。
参考文献：
[1]杨晓翔《工程力学》 哈尔滨工业大学出版社，1998。
[2]邱家骏《工程力学》 北京：机械工业出版社，1996。
[3]阮予明《工程力学》 中国电力出版社，2005。