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数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。数形结合思想是贯穿高中数学的主线,是贯穿高中课程的主要脉络,纵观历年高考试题,用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是,本文从以下七个方面介绍运用数形结合思想解决高中数学问题。
1 函数中的数形结合思想
如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。
例1使log2(-x) 解析: 直接考虑解不等式是有难度的。做出函数y=log2(-x)及y=x+1的图像.如图,其中y=log2(-x)与y=log2x的图像关于y轴对称,观察图像知,-1 也可以把不等式转化为-x>0
-x<2x+1后再作图
例2:已知奇函数f(x)在(0,+∞)是增函数,且f(3)=0,则不等式
x[f(x)-f(-x)]<0的解集是()
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)解析:由于f(x)为奇函数,故f(-3)=0,且在(-∞,0) 上是增函数。而x[f(x)-f(-x)]=2xf(x)<0。故画出Y=f(x)在(0,+∞)与(-∞,0)上的草图可得出结果:(-3,0)∪(0,3)。所以,选A
点评:本题直接解,需解两个不等式组。
即x<0
f(x)>0或x.>0
f(x)<0再结合单调性也可解决问题。显然麻烦得多。
2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题
例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.
分析 注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?
我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.
解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),
它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].
例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合 交集合 有两个不同的公共元素,求 的取值范围.
分析:由于集合 不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.
解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.
3 数形结合思想在对数中的应用
例5:已知函数f(x)=1gx,x≥32
1g(3-x),x<32,若方程 无实数根,则实数k的取值范围是()
A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(-∞,1g32) D.(1g32,+∞)
解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.
解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.
例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()
A.6 B.3 C.2 D.1
解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.
∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,
∴线段AB的中点C在直线 上y=x.
∴由y=x,
y=3-x解得x=32.
∴x1+x2=3,故选B.
4 数形结合思想解决复数模长最值问题
例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.
解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.
∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.
点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.
例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.
解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,
设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线 :x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交 于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.
5 数形结合思想解决数列问题
数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。
例9:若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p,求ap+q
解析:不妨设p 得m=0,即ap+q=0。
6 数形结合思想解决求极值问题
许多代数极值问题,存在着图形背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法,通过图形给问题以几何直观描述,从数形结合中找出问题的逻辑关系,启发思维,难题巧解。
例10:直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围为()。
A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-2,2) D.[-2,2]
分析:函数f(x)=x3-3x的导数为f '(x)=3x2-3。令f '(x)≥0,解得x≥1或x≤-1;令f '(x)≤0,解得-1≤x≤1;则函数f (x)在(1,+∞)上 单调递增,在(-∞,-1)上单调递增。在(-1,1)上单调递减。由此画出f (x)的草图
由图形看出-2 7 三角中的数形结合思想
在三角函数这一章中数形结合更是贯穿始终:①特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数,②利用单位圆给出三角函数的定义,并推导出了同角三角函数间的基本关系;③借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质;④利用三角函数线画正(余)弦及正切和三角函数的图象;并利用图象进一步分析函数的有关性质。
例11: 已知a,β,γ为锐角,且cos2a+cos2β+cos2γ=1,
求证:tana·tanβ·tanγ≥22
解析:题目中出现了三个角,看似复杂,但如果有数形转换意识,由已知三个角a,β,γ的余弦的平方和等于1,就会与原有经验中的知识类比联系,这种数式的特点与长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线与从 出发的相邻三条棱的交角相类比,于是设长方体三条棱为a,b,c,便有以下证明:
tanα·tanβ·tanγ=b2+c2a·c2+a2b·a2+b2c≥2bca·2cab·2abc=22
数形结合思想是中学数学中重要基本思想方法之一,是数学的本质特征,数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非.在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化.
1 函数中的数形结合思想
如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。
例1使log2(-x)
-x<2x+1后再作图
例2:已知奇函数f(x)在(0,+∞)是增函数,且f(3)=0,则不等式
x[f(x)-f(-x)]<0的解集是()
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)解析:由于f(x)为奇函数,故f(-3)=0,且在(-∞,0) 上是增函数。而x[f(x)-f(-x)]=2xf(x)<0。故画出Y=f(x)在(0,+∞)与(-∞,0)上的草图可得出结果:(-3,0)∪(0,3)。所以,选A
点评:本题直接解,需解两个不等式组。
即x<0
f(x)>0或x.>0
f(x)<0再结合单调性也可解决问题。显然麻烦得多。
2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题
例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.
分析 注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?
我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.
解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),
它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].
例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合 交集合 有两个不同的公共元素,求 的取值范围.
分析:由于集合 不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.
解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.
3 数形结合思想在对数中的应用
例5:已知函数f(x)=1gx,x≥32
1g(3-x),x<32,若方程 无实数根,则实数k的取值范围是()
A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(-∞,1g32) D.(1g32,+∞)
解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.
解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.
例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()
A.6 B.3 C.2 D.1
解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.
∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,
∴线段AB的中点C在直线 上y=x.
∴由y=x,
y=3-x解得x=32.
∴x1+x2=3,故选B.
4 数形结合思想解决复数模长最值问题
例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.
解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.
∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.
点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.
例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.
解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,
设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线 :x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交 于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.
5 数形结合思想解决数列问题
数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。
例9:若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p,求ap+q
解析:不妨设p
6 数形结合思想解决求极值问题
许多代数极值问题,存在着图形背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法,通过图形给问题以几何直观描述,从数形结合中找出问题的逻辑关系,启发思维,难题巧解。
例10:直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围为()。
A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-2,2) D.[-2,2]
分析:函数f(x)=x3-3x的导数为f '(x)=3x2-3。令f '(x)≥0,解得x≥1或x≤-1;令f '(x)≤0,解得-1≤x≤1;则函数f (x)在(1,+∞)上 单调递增,在(-∞,-1)上单调递增。在(-1,1)上单调递减。由此画出f (x)的草图
由图形看出-2
在三角函数这一章中数形结合更是贯穿始终:①特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数,②利用单位圆给出三角函数的定义,并推导出了同角三角函数间的基本关系;③借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质;④利用三角函数线画正(余)弦及正切和三角函数的图象;并利用图象进一步分析函数的有关性质。
例11: 已知a,β,γ为锐角,且cos2a+cos2β+cos2γ=1,
求证:tana·tanβ·tanγ≥22
解析:题目中出现了三个角,看似复杂,但如果有数形转换意识,由已知三个角a,β,γ的余弦的平方和等于1,就会与原有经验中的知识类比联系,这种数式的特点与长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线与从 出发的相邻三条棱的交角相类比,于是设长方体三条棱为a,b,c,便有以下证明:
tanα·tanβ·tanγ=b2+c2a·c2+a2b·a2+b2c≥2bca·2cab·2abc=22
数形结合思想是中学数学中重要基本思想方法之一,是数学的本质特征,数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非.在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化.