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【摘要】近年来，利率衍生工具的定价和对冲，已经受到数学家和金融家的许多关注。债券期权不同于股票衍生品，它更具有挑战，它把价格取决于利率和时间的债券作为标的资产。因此，必须找到动态模型来刻画整个收益率曲线的随机过程，这使得利率衍生工具的定价成为一项复杂的任务。之前的学者已经建立了多种利率衍生模型：如Black模型，CIR模型和HW模型等。本文提出了一种基于Cox-Ingrosll-Ross（CIR）模型的数值方法，用来定价美式折扣债券期权。CIR模型是由偏微分互补问题管辖的。我们首先提出一种惩罚法来解决这种互补问题，得到了一个非线性偏微分方程（PDE）。为了得到这个非线性PDE的数值解，我们使用了一种新的用于空间离散的拟合有限体积法和时间层的隐式差分格式。
【关键词】美式期权定价 金融 互补问题 計算方法
在现代金融理论和实践研究中，各种衍生证券的定价是非常重要的问题。期权是一种很特殊的衍生工具，它是指在未来时间的选择权，它提供给期权持有者在特定的时间按某一确定价格购买（或出售）一定数量标的资产的权力，而不负有必须购买（或出售）的义务。自1973年期权在芝加哥交易所首次进行交易以来，期权市场便迅猛发展，而期权定价理论的研究也随之取得了突破性进展。Black和Scholes首先给出了不支付红利股票下的欧式期权的定价公式，同年，Merton为他们提出的期权定价理论的完善化做出了杰出的贡献。期权定价理论是目前金融数学、金融工程研究的前沿和热点问题。
中国在改革开放的进程中，金融市场逐渐发展并与世界接轨。各种新型金融产品的出现和金融交易的的引入，是势不可挡的。虽然中国的期权市场发展起步较晚，但纵观整个国内期权市场，其需求已相当成熟。然而期权的开发能否从研究阶段过渡到试运行阶段，取决于如何对期权进行有效的风险控制与管理，要做到这一点，则必须首先对期权进行合理的定价。因此，开展对期权定价理论的研究就显得尤为重要了。
对于欧式期权，Black 和Scholes早已给出解析形式的定价公式，然而，对于美式期权的定价，并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。此外，在现实世界中，交易所中交易的期权大多数为美式期权。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有着重要的实际意义。
一、美式债券期权定价的数学模型
这部分我们简略地描述了美式债券期权的数学模型。表示短期利率，在这篇文章中，我们假设利率期限结构由CIR模型控制，即，值由均值回归的平方根控制：
是维纳过程的增量，是短利率的长期值，代表调整的速度，是带有常数的方差，在实践中，值是强制约束的正数，Cox等人展示了面值1美元的折价债券在到期时它的价格计算式：
，
其中为市场风险溢价。
现在，用表示敲定价格为的美式零息债券看跌期权的价格，持有者可以在到期日获得一定的报酬。引入时间逆向转换式，期权的价格就能够用公式表示出来，就像下面几种抛物线型偏微分互补问题（PDCP）。
问题1：
（1）
几乎处处属于内，
为了计算的目的，有必要约束值在一个有限的范围，值是一个足够大的值，以确保该方案的准确性，因此公式（3）可写为：
问题2：值得注意的是对于看跌期权，且，而对于看涨期权，，否则期权将无法实施并且毫无价值。
二、美式债券期权定价的数值方法
1.惩罚法。在这个部分中，我们将采用惩罚法来解决上述互补问题（1）。为了实现这一点，我们通过下面的非线性PDE来近似描绘这一互补问题。
问题3：
， （2）
其中是惩罚参数，满足并且对任意的，。
惩罚法背后的思想很简单。通过添加惩罚项，当惩罚参数变得足够大时，正项部分接近于零。因此，（1）中的互补条件近似被满足。关于惩罚法有解和收敛特性的具体研究可以在其他文献中找到。
问题4：由于扩散算子的退化和支付函数的非平滑，问题1一般没有经典解（“平稳”的解）。同样，（2）是非线性和退化的。因此，问题3也没有经典解。在这种情况下，我们要寻找问题1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是与金融相关的解。在金融数学背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前学者详细的讨论。请注意，问题3的解是问题1的解的近似。各学者已探讨得出，当时，收敛于。因此，为了简单起见，我们将省略这部分讨论，集中注意于问题3粘性解的数值逼近。
2.拟合有限体积法。为了简化记号，在本文其余部分，我们将省略问题3的解的下标。在进行离散之前，我们先将（2）转化为以下形式：
（3）
其中，
，
，
。 （4）
拟合有限体积法是基于自伴随形式（3）的。我们先定义I的两种空间分区。把I分成N份
，对任意，使，
如果我们定义，这些时间间隔将形成了另一个分区。
对于任意，在上对（3）进行积分，
（5）
根据定积分的定义，我们可得：
（6）
是区间的长度，对于任意，，
表示节点逼近的值。是与V相关的加权通量密度，可以被定义为：
（7）
我们现在得到了被定义在区间（对任意）中点处的连续通量的近似值。现考虑以下两点边值问题：
，
（8）
求解这个方程，我们得到：
， （9）
其中，
（10）
同样，我们也可以在处定义一个通量。
注意到以上的分析并不适用于在区间上的通量的近似，因为（8）是退化的。为了解决这个问题，可以重新考虑给（8）再加一个自由度，此处不做详细介绍。
三、结束语
在本文中，我们制定了一种数值方法，基于CIR模型，用于解决从美式折扣债券看跌期权定价中所产生的互补问题。在这种方法中，我们首先使用惩罚法通过一个非线性PDE来接近原始问题。然后我们提出拟合有限体积法解决非线性PDE的空间离散，再加上时间层隐式差分格式。而关于该方法的离散以及收敛性本文不再证明。
参考文献
[1] 张铁.美式期权定价问题的数值方法[J].应用数学学报，2002（01）：113-122.
[2] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2008.
作者简介：董梦玲（1991-），女，安徽合肥人，本科，研究方向：金融数学。
（编辑：陈岑）
【关键词】美式期权定价 金融 互补问题 計算方法
在现代金融理论和实践研究中，各种衍生证券的定价是非常重要的问题。期权是一种很特殊的衍生工具，它是指在未来时间的选择权，它提供给期权持有者在特定的时间按某一确定价格购买（或出售）一定数量标的资产的权力，而不负有必须购买（或出售）的义务。自1973年期权在芝加哥交易所首次进行交易以来，期权市场便迅猛发展，而期权定价理论的研究也随之取得了突破性进展。Black和Scholes首先给出了不支付红利股票下的欧式期权的定价公式，同年，Merton为他们提出的期权定价理论的完善化做出了杰出的贡献。期权定价理论是目前金融数学、金融工程研究的前沿和热点问题。
中国在改革开放的进程中，金融市场逐渐发展并与世界接轨。各种新型金融产品的出现和金融交易的的引入，是势不可挡的。虽然中国的期权市场发展起步较晚，但纵观整个国内期权市场，其需求已相当成熟。然而期权的开发能否从研究阶段过渡到试运行阶段，取决于如何对期权进行有效的风险控制与管理，要做到这一点，则必须首先对期权进行合理的定价。因此，开展对期权定价理论的研究就显得尤为重要了。
对于欧式期权，Black 和Scholes早已给出解析形式的定价公式，然而，对于美式期权的定价，并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。此外，在现实世界中，交易所中交易的期权大多数为美式期权。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有着重要的实际意义。
一、美式债券期权定价的数学模型
这部分我们简略地描述了美式债券期权的数学模型。表示短期利率，在这篇文章中，我们假设利率期限结构由CIR模型控制，即，值由均值回归的平方根控制：
是维纳过程的增量，是短利率的长期值，代表调整的速度，是带有常数的方差，在实践中，值是强制约束的正数，Cox等人展示了面值1美元的折价债券在到期时它的价格计算式：
，
其中为市场风险溢价。
现在，用表示敲定价格为的美式零息债券看跌期权的价格，持有者可以在到期日获得一定的报酬。引入时间逆向转换式，期权的价格就能够用公式表示出来，就像下面几种抛物线型偏微分互补问题（PDCP）。
问题1：
（1）
几乎处处属于内，
为了计算的目的，有必要约束值在一个有限的范围，值是一个足够大的值，以确保该方案的准确性，因此公式（3）可写为：
问题2：值得注意的是对于看跌期权，且，而对于看涨期权，，否则期权将无法实施并且毫无价值。
二、美式债券期权定价的数值方法
1.惩罚法。在这个部分中，我们将采用惩罚法来解决上述互补问题（1）。为了实现这一点，我们通过下面的非线性PDE来近似描绘这一互补问题。
问题3：
， （2）
其中是惩罚参数，满足并且对任意的，。
惩罚法背后的思想很简单。通过添加惩罚项，当惩罚参数变得足够大时，正项部分接近于零。因此，（1）中的互补条件近似被满足。关于惩罚法有解和收敛特性的具体研究可以在其他文献中找到。
问题4：由于扩散算子的退化和支付函数的非平滑，问题1一般没有经典解（“平稳”的解）。同样，（2）是非线性和退化的。因此，问题3也没有经典解。在这种情况下，我们要寻找问题1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是与金融相关的解。在金融数学背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前学者详细的讨论。请注意，问题3的解是问题1的解的近似。各学者已探讨得出，当时，收敛于。因此，为了简单起见，我们将省略这部分讨论，集中注意于问题3粘性解的数值逼近。
2.拟合有限体积法。为了简化记号，在本文其余部分，我们将省略问题3的解的下标。在进行离散之前，我们先将（2）转化为以下形式：
（3）
其中，
，
，
。 （4）
拟合有限体积法是基于自伴随形式（3）的。我们先定义I的两种空间分区。把I分成N份
，对任意，使，
如果我们定义，这些时间间隔将形成了另一个分区。
对于任意，在上对（3）进行积分，
（5）
根据定积分的定义，我们可得：
（6）
是区间的长度，对于任意，，
表示节点逼近的值。是与V相关的加权通量密度，可以被定义为：
（7）
我们现在得到了被定义在区间（对任意）中点处的连续通量的近似值。现考虑以下两点边值问题：
，
（8）
求解这个方程，我们得到：
， （9）
其中，
（10）
同样，我们也可以在处定义一个通量。
注意到以上的分析并不适用于在区间上的通量的近似，因为（8）是退化的。为了解决这个问题，可以重新考虑给（8）再加一个自由度，此处不做详细介绍。
三、结束语
在本文中，我们制定了一种数值方法，基于CIR模型，用于解决从美式折扣债券看跌期权定价中所产生的互补问题。在这种方法中，我们首先使用惩罚法通过一个非线性PDE来接近原始问题。然后我们提出拟合有限体积法解决非线性PDE的空间离散，再加上时间层隐式差分格式。而关于该方法的离散以及收敛性本文不再证明。
参考文献
[1] 张铁.美式期权定价问题的数值方法[J].应用数学学报，2002（01）：113-122.
[2] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2008.
作者简介：董梦玲（1991-），女，安徽合肥人，本科，研究方向：金融数学。
（编辑：陈岑）