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【摘要】从图论解读的世界地图上归纳出四种子图，在对图形进行点着色后，发现它们需要的色数恰和世界地图对应、恒等和同构，从而使四色猜想获证；若对子图进行对称操作，可获得该图明确的着色数，这是因为不同的对称图形各由自身独特的对称操作决定的.因为子图和世界地图一一对应、恒等而同构，故四色猜想获证.五色可着遍世界各国，但世界地图只需四着色，故本文用实例以排斥法否认平面图上存在五国（或更多国）互邻.因此，世界地图四着色成立.
【关键词】包围理论；色多项式；子图；同步交替律；对称元素；对称操作；同构
一、引 言
1840年，德国数学家莫比乌斯提出类似四色的问题.1850年英国葛瑞斯兄弟认为，绘制地图时，相邻两国必须着异色以示区别，四种颜色足够.直到1976年，美国人阿佩尔和哈肯终于借助计算机证明了四色猜想.此证明虽有漏洞，但其伟大成就不容置疑.
一百多年来，世界一流专家学者以及广大爱好者为寻觅人工证明殚精竭虑却久攻不获.今作者不惴冒昧，斗胆向四色猜想挑战，提供下列人工证明，若文中立论错误，理应推翻，若措词欠当，敬请专家指教修改.
二、正 文
虽然地球是一个椭圆形球体，但球面世界地图和平面世界地图拓扑等价.通过对平面世界地图长期的观察、分析和研判，终于揭示出一条“包围理论”，即世界上任何一个内陆国家可以被周围邻国包围，沿海国家则被邻国和海洋包围，而岛国则被海洋包围，三者必居其一，这或许是一条定理.图论的解读是任一内陆国家，被一国（或两国）包围只形成短线段或三员环.只有当它被三国（或更多）的邻国包围时才形成邻圈.故岛国只形成点或短线段，沿海国家形成线段或环，内陆国家被三个（或更多）国家包围时可形成中心对称的圈.作者已用抽屉原理，对南北美洲地图分析、比对后，其分类结果也相同，余可类推.由此可知平面世界地图是由点、线段、环和中心对称的圈这四种子图混合拼合而成的图形.这就将四色猜想化繁为简，成为位置几何学中的一个证明题.个别特例也易处理，绝不会影响四色猜想的证明.
对色数的研究获知，若用阿拉伯数字代表四色，则色多项式共有十二种，即（1-2-1）（1-2-3）（1-2-4）（2-1-2）（2-1-3）（2-1-4）（3-1-2）（3-1-3）（3-1-4）（4-1-2）（4-1-3）（4-1-4），着色时，周而复始，循环无穷，取之不尽，用之不竭.若用贪心着色法相向着色，出现同色对接矛盾，可用替代、传递和对应等数学手段，局部改变色序解决.
分析子图，岛国作为点，仅着一色（岛国群的着色原则类似大陆国家，搁置另议）.对于沿海国家作为线段，不论长短其色数为2，再长的线段，点的性质只分奇偶两种，为减少色数的使用，必须符合奇点、偶点和两种异色同步交替的规律.若为多员环，则偶环色数为2，而奇环色数为3，因为环的首尾两点不可同色对接，必另加一色.内陆国形成中心对称的偶圈，色数为3，而中心对称的奇圈色数为4，因为图上点的种类仅三种，即奇点、偶点、顶点，着三色，唯圈上首尾两点不可同色对接，必另加一色，共四色.这是色数上界.凡中心对称的奇圈，不论圈上点的增多，或圈的面积无限增大，它必须符合奇偶异色同步交替律，故它所需要的色数和最小中心对称的奇圈（即四国互邻），色数相同都是4.由于世界地图和子图一一对应，两者恒等、同构，所以对它着色时，需要的色数也必≤4.归纳以上讨论，应可断言，可平面化地图均四色，从而命题获证.
世界地图和它的子图都是用线连接点的集合，它们必须受下列条件制约：1.图的平面性.2.图中连续的点有奇偶性.3.包围理论，使图简单化.4.图的元素仅点、线和面三种.5.图无度量性.6.图必具有对称性.在这6种条件制约下，世界地图的构形从633种立减为4种，即点、线段、环和中心对称的圈.子图简单清晰，但和世界地图是对应的.可利用对子图图形进行对称操作后，所提供的着色信息必和世界地图等价.下面试从对称元素组成四类对称图形，进行对称操作，判断着色时需要多少色数，以此证明四色猜想.
在研究图形时，应略去它的度量性质，而对点与线形成的几何图形，点的奇偶性，点的种类和在图形中的位置，特别是图形的对称性、对称操作，应重点探究.分析世界地图的子图时，发现图都有对称性，且可进行对称操作，这对图形的点着色提供了信息.
在图中作为一个点，进行对称操作E，它是恒等元素，无疑只着一色.凡线段都有C2对称轴，可进行C2对称操作，线段不论长短，为了减少色数，必遵循奇偶异色同步交替律，对线段着二色即可.由点、线组成平面如环（三员环或多员环），它们都有垂直于该平面的高次（奇次或偶次)旋转轴，可绕轴旋转，进行Cn对称操作，这就可确定图形应着三色或两色，或在倒反时，若图形被改变者，需着三色，反之则着二色.即奇环着三色，偶环着二色.同理，对中心对称的圈，除了符合成环着色理论外，和环不同的是它们的对称中心是一个实点（一个内陆国家），必须比对应的环多着一色，即应着四色或三色.总之，着四色者，其图形一定有C奇数主旋转轴，对称中心是一个实点，或倒反时其图形被改变才能确认.若图形有C偶数主旋转轴，虽有实点对称中心，但它倒反时，图形并不改变，着三色即可.
综上所述，三个对称元素构成的对称图形虽千变万化，但万变不离其宗.世界地图仅四种子图，通过对称操作后，可确定对子图图形进行点着色时，需要的色数≤4.由于子图的对称性和世界地图一一对应，两者恒等且同构，故命题获证.用对图的对称操作来证明四色猜想，在证法上是一种新的探索.
下面用反证法否定平面世界地图上存在五国（或更多国）互邻.如五星小妖，图形中两线相截，平面不容，且它有空中的点和异面直线.如正四面体，五点组成一个小实块，Td群的图形平面上不存在.又如三角双锥，若其C3主轴在平面上，其对称面必垂直并截取纸面，它属D3d群.上述三种几何图形都是立体的，所以在平面上绝不存在，这亦证明平面世界地图四着色成立.
三、结 果
归纳法和用对称点群推导出的子图图形通过对称操作，获得的色数和世界地图等价，因两者的图形一一对应、恒等、同构，所需色数都≤4，故命题获证.
另外，用反证法，也证明世界地图四着色成立.
四、结 语
本文发现了包围理论、图的对称性、对称操作，总结出奇偶异色同步交替律，共提供三款常规人工证明.第一款证明是从地理学、地图学中归纳后，推导出几何图形，并从图形上点的性质和种类，从而给出图形色数≤4，从而使命题获证.第二款证明是从三种对称元素，推导出四种图形，通过对图形的对称操作，获知图形在点着色时，需要的色数≤4.由于子图和世界地图恒等且同构，使命题再次获证.而第三款证明是利用反证法，否认平面世界地图存在五国（或更多国）互邻，从而世界地图四着色成立.
三款证明互相印证，真可谓异曲同工又殊途同归.因此发现四色猜想原来是一题多证的命题.
大可不必再用点和线来重画一张世界地图了，数学史早就记载过.1850年，英国葛瑞斯兄弟俩用四色成功染遍世界各国，面着色和点着色是对偶的，他们在办公室辛勤代劳，亦可作为一次四色猜想的实验证明.
这就是四色猜想之精髓，亦即四色猜想获证的理论根据和证因.
拒绝使用计算机是不明智的，但人脑的思维空间和想象力是无限的.只有两者结合，才能解决难题.本文的三例手工证明，说明边缘学科难题的求证，必须应用新的数学方法与手段，化难为易，方能出奇制胜，这也彰显了纯粹数学迷人的无穷魅力.
五、展 望
四色猜想是图论、甚至整个数学中最难的问题之一.本文若被确认，那不但丰富了图论的内容，也给世界数学史增添了华彩的篇章.
包围理论、图的对称性、对称操作和同步交替律的发现、四色猜想证因的揭示，其理论意义影响深远，在民航飞行安全的空域频率覆盖方面已获应用，余尚待继续深入探索和开发.
致 谢
对电子科技大学的顾骏骅、苏州科技学院的张婧嫣，在提供资料及文字整理方面的协助，在此一并致谢.
【参考文献】
［1］卜月华.图论及其应用.南京：东南大学出版社，2003：197-230.
［2］李书伟.世界地图.地质出版社，2007.
［3］王树禾.图论.科学出版社，2004：84-119.
［4］［美］Ira N 赖文.量子化学.宁世光译.人民教育出版社，1980：331-351.
【关键词】包围理论；色多项式；子图；同步交替律；对称元素；对称操作；同构
一、引 言
1840年，德国数学家莫比乌斯提出类似四色的问题.1850年英国葛瑞斯兄弟认为，绘制地图时，相邻两国必须着异色以示区别，四种颜色足够.直到1976年，美国人阿佩尔和哈肯终于借助计算机证明了四色猜想.此证明虽有漏洞，但其伟大成就不容置疑.
一百多年来，世界一流专家学者以及广大爱好者为寻觅人工证明殚精竭虑却久攻不获.今作者不惴冒昧，斗胆向四色猜想挑战，提供下列人工证明，若文中立论错误，理应推翻，若措词欠当，敬请专家指教修改.
二、正 文
虽然地球是一个椭圆形球体，但球面世界地图和平面世界地图拓扑等价.通过对平面世界地图长期的观察、分析和研判，终于揭示出一条“包围理论”，即世界上任何一个内陆国家可以被周围邻国包围，沿海国家则被邻国和海洋包围，而岛国则被海洋包围，三者必居其一，这或许是一条定理.图论的解读是任一内陆国家，被一国（或两国）包围只形成短线段或三员环.只有当它被三国（或更多）的邻国包围时才形成邻圈.故岛国只形成点或短线段，沿海国家形成线段或环，内陆国家被三个（或更多）国家包围时可形成中心对称的圈.作者已用抽屉原理，对南北美洲地图分析、比对后，其分类结果也相同，余可类推.由此可知平面世界地图是由点、线段、环和中心对称的圈这四种子图混合拼合而成的图形.这就将四色猜想化繁为简，成为位置几何学中的一个证明题.个别特例也易处理，绝不会影响四色猜想的证明.
对色数的研究获知，若用阿拉伯数字代表四色，则色多项式共有十二种，即（1-2-1）（1-2-3）（1-2-4）（2-1-2）（2-1-3）（2-1-4）（3-1-2）（3-1-3）（3-1-4）（4-1-2）（4-1-3）（4-1-4），着色时，周而复始，循环无穷，取之不尽，用之不竭.若用贪心着色法相向着色，出现同色对接矛盾，可用替代、传递和对应等数学手段，局部改变色序解决.
分析子图，岛国作为点，仅着一色（岛国群的着色原则类似大陆国家，搁置另议）.对于沿海国家作为线段，不论长短其色数为2，再长的线段，点的性质只分奇偶两种，为减少色数的使用，必须符合奇点、偶点和两种异色同步交替的规律.若为多员环，则偶环色数为2，而奇环色数为3，因为环的首尾两点不可同色对接，必另加一色.内陆国形成中心对称的偶圈，色数为3，而中心对称的奇圈色数为4，因为图上点的种类仅三种，即奇点、偶点、顶点，着三色，唯圈上首尾两点不可同色对接，必另加一色，共四色.这是色数上界.凡中心对称的奇圈，不论圈上点的增多，或圈的面积无限增大，它必须符合奇偶异色同步交替律，故它所需要的色数和最小中心对称的奇圈（即四国互邻），色数相同都是4.由于世界地图和子图一一对应，两者恒等、同构，所以对它着色时，需要的色数也必≤4.归纳以上讨论，应可断言，可平面化地图均四色，从而命题获证.
世界地图和它的子图都是用线连接点的集合，它们必须受下列条件制约：1.图的平面性.2.图中连续的点有奇偶性.3.包围理论，使图简单化.4.图的元素仅点、线和面三种.5.图无度量性.6.图必具有对称性.在这6种条件制约下，世界地图的构形从633种立减为4种，即点、线段、环和中心对称的圈.子图简单清晰，但和世界地图是对应的.可利用对子图图形进行对称操作后，所提供的着色信息必和世界地图等价.下面试从对称元素组成四类对称图形，进行对称操作，判断着色时需要多少色数，以此证明四色猜想.
在研究图形时，应略去它的度量性质，而对点与线形成的几何图形，点的奇偶性，点的种类和在图形中的位置，特别是图形的对称性、对称操作，应重点探究.分析世界地图的子图时，发现图都有对称性，且可进行对称操作，这对图形的点着色提供了信息.
在图中作为一个点，进行对称操作E，它是恒等元素，无疑只着一色.凡线段都有C2对称轴，可进行C2对称操作，线段不论长短，为了减少色数，必遵循奇偶异色同步交替律，对线段着二色即可.由点、线组成平面如环（三员环或多员环），它们都有垂直于该平面的高次（奇次或偶次)旋转轴，可绕轴旋转，进行Cn对称操作，这就可确定图形应着三色或两色，或在倒反时，若图形被改变者，需着三色，反之则着二色.即奇环着三色，偶环着二色.同理，对中心对称的圈，除了符合成环着色理论外，和环不同的是它们的对称中心是一个实点（一个内陆国家），必须比对应的环多着一色，即应着四色或三色.总之，着四色者，其图形一定有C奇数主旋转轴，对称中心是一个实点，或倒反时其图形被改变才能确认.若图形有C偶数主旋转轴，虽有实点对称中心，但它倒反时，图形并不改变，着三色即可.
综上所述，三个对称元素构成的对称图形虽千变万化，但万变不离其宗.世界地图仅四种子图，通过对称操作后，可确定对子图图形进行点着色时，需要的色数≤4.由于子图的对称性和世界地图一一对应，两者恒等且同构，故命题获证.用对图的对称操作来证明四色猜想，在证法上是一种新的探索.
下面用反证法否定平面世界地图上存在五国（或更多国）互邻.如五星小妖，图形中两线相截，平面不容，且它有空中的点和异面直线.如正四面体，五点组成一个小实块，Td群的图形平面上不存在.又如三角双锥，若其C3主轴在平面上，其对称面必垂直并截取纸面，它属D3d群.上述三种几何图形都是立体的，所以在平面上绝不存在，这亦证明平面世界地图四着色成立.
三、结 果
归纳法和用对称点群推导出的子图图形通过对称操作，获得的色数和世界地图等价，因两者的图形一一对应、恒等、同构，所需色数都≤4，故命题获证.
另外，用反证法，也证明世界地图四着色成立.
四、结 语
本文发现了包围理论、图的对称性、对称操作，总结出奇偶异色同步交替律，共提供三款常规人工证明.第一款证明是从地理学、地图学中归纳后，推导出几何图形，并从图形上点的性质和种类，从而给出图形色数≤4，从而使命题获证.第二款证明是从三种对称元素，推导出四种图形，通过对图形的对称操作，获知图形在点着色时，需要的色数≤4.由于子图和世界地图恒等且同构，使命题再次获证.而第三款证明是利用反证法，否认平面世界地图存在五国（或更多国）互邻，从而世界地图四着色成立.
三款证明互相印证，真可谓异曲同工又殊途同归.因此发现四色猜想原来是一题多证的命题.
大可不必再用点和线来重画一张世界地图了，数学史早就记载过.1850年，英国葛瑞斯兄弟俩用四色成功染遍世界各国，面着色和点着色是对偶的，他们在办公室辛勤代劳，亦可作为一次四色猜想的实验证明.
这就是四色猜想之精髓，亦即四色猜想获证的理论根据和证因.
拒绝使用计算机是不明智的，但人脑的思维空间和想象力是无限的.只有两者结合，才能解决难题.本文的三例手工证明，说明边缘学科难题的求证，必须应用新的数学方法与手段，化难为易，方能出奇制胜，这也彰显了纯粹数学迷人的无穷魅力.
五、展 望
四色猜想是图论、甚至整个数学中最难的问题之一.本文若被确认，那不但丰富了图论的内容，也给世界数学史增添了华彩的篇章.
包围理论、图的对称性、对称操作和同步交替律的发现、四色猜想证因的揭示，其理论意义影响深远，在民航飞行安全的空域频率覆盖方面已获应用，余尚待继续深入探索和开发.
致 谢
对电子科技大学的顾骏骅、苏州科技学院的张婧嫣，在提供资料及文字整理方面的协助，在此一并致谢.
【参考文献】
［1］卜月华.图论及其应用.南京：东南大学出版社，2003：197-230.
［2］李书伟.世界地图.地质出版社，2007.
［3］王树禾.图论.科学出版社，2004：84-119.
［4］［美］Ira N 赖文.量子化学.宁世光译.人民教育出版社，1980：331-351.