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【摘 要】 数学教学是一个积累活动经验的过程.本文以“直角三角形”的教学为例，提出数学教学要链接最近联想，唤醒原有经验;参与教學活动，积淀自我经验;拓展问题模型，展示经验价值，以促进学生素养的提升，实现数学育人的目标.
【关键词】 数学教学;活动经验;积累过程
帮助学生积累基本活动经验是数学教学的一项重要目标，也是发展学生数学核心素养的重要标志.笔者受邀参与了山东省济南市市中区品质教育学术节初中数学专场活动，执教了“直角三角形”一课，现结合教学的思考，谈谈初中数学教学在助力学生积累活动经验方面的认识与思考.1 链接最近联想，唤醒原有经验
当遇到一个新的问题时，人们总是习惯地想，这样的问题以前我有没有见过？它与什么样的问题相似？在学习新问题时，首先找到一个类似于该问题的模型，这个过程，我们可以称之为“最近联想”[1].
“1.2直角三角形（1）”是北师大版教材八年级下册第一章“三角形的证明”第二节的第一课时，教材呈现的内容是直角三角形有关定理的证明、逆命题和逆定理等概念的介绍.它是八年级下册第一章第一节“等腰三角形”证明的延续，通过学习进一步地掌握证明的方法，发展推理能力，同时为后续学习四边形、圆等知识打下基础，起到承上启下的作用.
问题1 我们曾经学习了等腰三角形的有关知识，请你回顾一下.
生1：小学里我们知道了有两个角相等的三角形是等腰三角形.
生2：上学期我们学习了等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”“等角对等边”等知识.
生3：上节课我们证明了这些性质和判定定理，并应用它们解决了一些问题.
师：一般地，一个几何图形我们先知道它的定义，接着探索它的性质和判定，再运用它们解决相关问题.（板书：图形—定义—性质—判定—应用）
追问 如何研究直角三角形？
生4：是不是还是按照这几个方面来学习？
师：对，请同学们回忆，然后写一写.
一个新知识的教学先从宏观谋划，再从微观入手，这样学生就会有整体学习观.通过让学生回顾等腰三角形的学习方式，“唤醒”学生对几何图形学习的原有经验和认知规律，自然引出本节课的探究方向.在学习每一种几何图形时，教师要遵循学生的这种认知规律，设计链接最近联想的教学活动，唤醒学生原有经验.本节课直角三角形链接的最近联想是等腰三角形，今后教四边形时，最近联想就可以是三角形，相似三角形的最近联想是全等三角形等.同时，一些代数的知识学习也是如此，二元一次方程、一元二次方程链接的最近联想都是一元一次方程，二次函数链接的最近联想是一次函数和一元二次方程，等等.2 参与教学活动，积淀自我经验
建构主义认为，知识只有经过自主建构的过程，才能变为个体内化的知识，否则，即使当时记住了，或是模仿了，时间一长还是会被遗忘的.因此，每一次教学活动，不但要引领学生有效参与，获得个人对于数学新知识的体验和认知，更要引导学生在活动中不断反思与感悟，产生新的活动经验，才能促进能力提升和素养发展.
在学习“1.2直角三角形（1）”时，学生已经对等腰三角形的性质与判定进行了探索，并通过相关命题的证明，感受了证明的必要性，具备了简单的推理能力，获得了一些基本的证明方法，积累了一定的证明经验.同时，在七年级和八年级上学期，学生已经探究了直角三角形，得到了有关结论，这些都为本节证明作了铺垫.但学生对几何图形学习的方式还不太清楚，对证明题如何分析还缺少方法和经验，尤其本节课“勾股定理的逆定理”的证明是一个难点.
问题2 谈一谈你对直角三角形的认识.
追问1：如果将直角三角形的性质反过来，该怎么描述？正确吗？
追问2：我们还学习了直角三角形的什么知识？
追问3：将勾股定理反过来，我们该如何描述与证明？
生5：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图1，在△ABC中，AC2 BC2=AB2.
求证：△ABC是直角三角形.
生6：由线段的平方，我想到了正方形的面积，所以在△ABC外画出分别以三边为边长的三个正方形（如图2），但是不能得到∠C为什么为直角.
生7：受勾股定理证明的启发，我想到了构造“弦图”（如图3）.
生8：你怎么说明你作的是“弦图”呢？“弦图”围成的是两个大小正方形，怎么确定？
师：同学们的发言很积极，思维很活跃.本题要从边的关系推出∠C=90°是不容易的，但大家想到了如何利用直角三角形，借助勾股定理来思考.已知条件中给出了三条边的关系，其形式和勾股定理的结论一致，因此，我们是否可以借助三角形全等，先作一个合适的直角三角形，然后证明有已知条件的三角形和此直角三角形全等，从而得到∠C与对应的直角相等，从而得证，大家再想一想吧？
生9：我有想法了，先作一个直角三角形，保证两条直角边和原三角形的两条短边分别相等，就可以利用勾股定理得出斜边与原三角形第三边的关系了，再根据三角形全等的知识得出对应角的关系，进而得出直角.
师：同学们听明白了，理解后写出证明过程.
证明：如图4，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=AC，B′C′=BC，则A′C′2 B′C′2=A′B′2（勾股定理）.又因为AC2 BC2=AB2（已知），A′C′=AC图4，B′C′=BC（已作），所以AB2=A′B′2，则AB=A′B′.易得△ABC≌△A′B′C′（SSS）.所以∠C=∠C′=90°（全等三角形的对应角相等），故△ABC是直角三角形.
生10：老师，我还有一个作法，作的直角三角形可以先保证一条直角边和斜边与原三角形的一条短边和最长边分别相等，再根据勾股定理得出另一条短边相等，也由“SSS”证明两个三角形全等，得出对应角是直角. 师：异曲同工，非常好！
问题3 观察两组命题：（1）“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”;（2）“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”和“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，它们之间有怎样的关系？
生11：我发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件.
追问1 你还能再举一些有类似关系命题的例子吗？
生12：平行线中“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”.
生13：等腰三角形中“等边对等角”与“等角对等边”.
师：在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中第二个命题称为第一个命题的逆命题.
追问2 你能举出一些命题，并说出它们的逆命题吗？
生14：“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”.
生15：你说错了，“相等的两个角是对顶角”是假命题，这结论不对.
生16：逆命题是将原命题的条件与结论互换得到的命题，又没有说命题的真假.
师：是的！根据讨论我们发现，一个命题一定有逆命题，但原命题是真命题，逆命题却不一定是真命题.刚才大家谈到一些图形的性质，它们都是经过证明的定理，如果该定理的逆命题经过证明也是真命题，那么它也是一个定理，称这个定理为原定理的逆定理，它们就是一对互逆定理.如刚才我们对勾股定理的逆命题进行了证明，它是真命题，我们称之为“勾股定理的逆定理”.
追问3 你还能举出互逆定理的例子吗？
生17：“两直线平行，同旁内角互补”与“同旁内角互补，两直线平行”是一对互逆定理.
生18：我懂了，“对顶角相等”是对顶角的性质定理，但它没有逆定理.
借鉴等腰三角形的学习方式，让学生回忆直角三角形的定义、性质等知识.将性质反过来，就得到直角三角形的一种判定方法，渗透几何图形的性质与判定之间关系，并为介绍逆命题、逆定理作铺垫.勾股定理的逆定理证明是本节课的难点，通过个人独立思考、小组交流讨论和师生启发互动，为他们提供充分思考的时间和空间来寻找证明的方法，进一步发展演绎推理能力.由直角三角形的两对性质和判定以及引导学生回忆曾经学过的一些几何图形的结论，自然引出逆命题和逆定理的概念与辨析，进一步感受逆向思维在几何学习中的作用，积累几何图形研究的活动经验.
因此，教学活动是一个学生在不斷经历、体验或探索各种数学活动中逐渐积累和逐步积淀经验的过程.3 拓展问题模型，展示经验价值
将刚获得的活动经验立刻运用，会激发学生挑战的热情，体验思维方法的作用和价值，更为今后进一步学习提供有力支持与有效保障.
问题4 回顾本节课的学习历程，谈谈你的认识？
生19：今天我们系统学习了直角三角形“定义—性质—判定”，对一些定理作了证明，我还发现无论是“定义”“性质”还是“判定”都是从图形边或角的视角去研究.
生20：逆命题、逆定理的学习告诉我们一种学习的方式，将一个几何图形的性质“反过来”就可猜想它的判定方法，再探索它的真假.我发现因式分解与整式乘法就是一种互逆关系，看来数学知识的学习有时是相通的.
师：“反过来想，总是反过来思考！”这是德国著名数学家贾可布的一句名言，把问题反过来想一想的“逆向思维”是创造性思维的一种奇特的方式.同学们学到了一种学习方式，还联想到类似数学内容的学习，其实在我们生活中也有很多智慧的例子，大家熟悉的“司马光砸缸”的故事就蕴含了这个哲理.
生21：今天学了这节课，我分清了几何图形性质与判定的不同以及它们之间的相互关系，我还发现无论是等腰三角形还是直角三角形，它们的学习都是按照“定义—性质—判定—应用”的套路学习，有了这个学习经验，今后学习其它几何图形就可以一了百了了.
师：哈哈，“一了百了”概括的精辟，每节课我们这样去主动思考并善于积累经验，数学学习真的可以“一了百了”了.
追问 借鉴本节课的学习经验，如何探究等腰直角三角形？
生22：遵循“定义—性质—判定—应用”的宏观方式研究，按照图形边、角的微观视角认识.
生23：等腰直角三角形既具有等腰三角形的性质也具有直角三角形的性质.
生24：根据定义和勾股定理可以发现它的三边之比是1∶1∶2.
课堂小结不是教师帮学生总结，而让学生畅所欲言，这样学生间不仅有知识的归纳、方法的提炼，还有个人一些基本活动经验的分享.这样的小结凸显了学生的主体地位，立足于学生课堂的深度参与，关注学生思维活动和经验积累.本节课，当学生概括了“几何图形是按照‘定义—性质—判定—应用’的套路学习，今后的学习可以一了百了了”时就是积淀了几何图形的学习经验.学生分析图形的性质与判定的关系，得到把问题反过来想一想的“逆向思维”就是一种新的经验.学生小结时发现图形的微观研究是从边或角的视角去认识，就是该学生从图形的构成元素认识直角三角形，这是一种对数学本质的揭示而形成的宝贵经验.本节课最后设计让学生探究等腰直角三角形，其目的就是将研究直角三角形形成的知识、技能和学习经验进一步应用，以彰显活动经验的作用和魅力.虽然课本上没有这项要求，但课堂上学生能探索出等腰直角三角形的一些结论，如三边之比是1∶1∶2，真是一个“创新”、一份惊喜.
总之，积累基本活动经验，是一个知识内化和能力提升的过程，在教学中我们可以采用问题和追问等方式，设计“唤醒—传承—创新”的环节，即通过链接最近联想，“唤醒”已有的认知基础和活动经验;通过参与相关教学活动，“传承”探索经验，积淀自我活动经验;通过拓展问题模型，“创新”运用发展经验，展示经验价值.因此，数学教学是一个积累活动经验的过程，数学教学要充分发挥数学的内在力量，挖掘数学所蕴涵的价值资源，才能培养学生理性精神，促进学生素养提升，实现数学的育人目标
.参考文献
[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018.6：115
作者简介 朱敏龙（1972—），男，中学高级教师，教育硕士，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年学术技术带头人，主要从事中学数学教与学的理论与实践研究.
本文系江苏省教育科学“十三五”规划普教重点课题“关注每一个的初中‘差异化递进教学’的实践研究”（课题编号：B-b/2018/02/48，主持人：胡松、朱敏龙）和江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（课题编号：R-a/2018/07，主持人：张爱平）的研究成果.
【关键词】 数学教学;活动经验;积累过程
帮助学生积累基本活动经验是数学教学的一项重要目标，也是发展学生数学核心素养的重要标志.笔者受邀参与了山东省济南市市中区品质教育学术节初中数学专场活动，执教了“直角三角形”一课，现结合教学的思考，谈谈初中数学教学在助力学生积累活动经验方面的认识与思考.1 链接最近联想，唤醒原有经验
当遇到一个新的问题时，人们总是习惯地想，这样的问题以前我有没有见过？它与什么样的问题相似？在学习新问题时，首先找到一个类似于该问题的模型，这个过程，我们可以称之为“最近联想”[1].
“1.2直角三角形（1）”是北师大版教材八年级下册第一章“三角形的证明”第二节的第一课时，教材呈现的内容是直角三角形有关定理的证明、逆命题和逆定理等概念的介绍.它是八年级下册第一章第一节“等腰三角形”证明的延续，通过学习进一步地掌握证明的方法，发展推理能力，同时为后续学习四边形、圆等知识打下基础，起到承上启下的作用.
问题1 我们曾经学习了等腰三角形的有关知识，请你回顾一下.
生1：小学里我们知道了有两个角相等的三角形是等腰三角形.
生2：上学期我们学习了等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”“等角对等边”等知识.
生3：上节课我们证明了这些性质和判定定理，并应用它们解决了一些问题.
师：一般地，一个几何图形我们先知道它的定义，接着探索它的性质和判定，再运用它们解决相关问题.（板书：图形—定义—性质—判定—应用）
追问 如何研究直角三角形？
生4：是不是还是按照这几个方面来学习？
师：对，请同学们回忆，然后写一写.
一个新知识的教学先从宏观谋划，再从微观入手，这样学生就会有整体学习观.通过让学生回顾等腰三角形的学习方式，“唤醒”学生对几何图形学习的原有经验和认知规律，自然引出本节课的探究方向.在学习每一种几何图形时，教师要遵循学生的这种认知规律，设计链接最近联想的教学活动，唤醒学生原有经验.本节课直角三角形链接的最近联想是等腰三角形，今后教四边形时，最近联想就可以是三角形，相似三角形的最近联想是全等三角形等.同时，一些代数的知识学习也是如此，二元一次方程、一元二次方程链接的最近联想都是一元一次方程，二次函数链接的最近联想是一次函数和一元二次方程，等等.2 参与教学活动，积淀自我经验
建构主义认为，知识只有经过自主建构的过程，才能变为个体内化的知识，否则，即使当时记住了，或是模仿了，时间一长还是会被遗忘的.因此，每一次教学活动，不但要引领学生有效参与，获得个人对于数学新知识的体验和认知，更要引导学生在活动中不断反思与感悟，产生新的活动经验，才能促进能力提升和素养发展.
在学习“1.2直角三角形（1）”时，学生已经对等腰三角形的性质与判定进行了探索，并通过相关命题的证明，感受了证明的必要性，具备了简单的推理能力，获得了一些基本的证明方法，积累了一定的证明经验.同时，在七年级和八年级上学期，学生已经探究了直角三角形，得到了有关结论，这些都为本节证明作了铺垫.但学生对几何图形学习的方式还不太清楚，对证明题如何分析还缺少方法和经验，尤其本节课“勾股定理的逆定理”的证明是一个难点.
问题2 谈一谈你对直角三角形的认识.
追问1：如果将直角三角形的性质反过来，该怎么描述？正确吗？
追问2：我们还学习了直角三角形的什么知识？
追问3：将勾股定理反过来，我们该如何描述与证明？
生5：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图1，在△ABC中，AC2 BC2=AB2.
求证：△ABC是直角三角形.
生6：由线段的平方，我想到了正方形的面积，所以在△ABC外画出分别以三边为边长的三个正方形（如图2），但是不能得到∠C为什么为直角.
生7：受勾股定理证明的启发，我想到了构造“弦图”（如图3）.
生8：你怎么说明你作的是“弦图”呢？“弦图”围成的是两个大小正方形，怎么确定？
师：同学们的发言很积极，思维很活跃.本题要从边的关系推出∠C=90°是不容易的，但大家想到了如何利用直角三角形，借助勾股定理来思考.已知条件中给出了三条边的关系，其形式和勾股定理的结论一致，因此，我们是否可以借助三角形全等，先作一个合适的直角三角形，然后证明有已知条件的三角形和此直角三角形全等，从而得到∠C与对应的直角相等，从而得证，大家再想一想吧？
生9：我有想法了，先作一个直角三角形，保证两条直角边和原三角形的两条短边分别相等，就可以利用勾股定理得出斜边与原三角形第三边的关系了，再根据三角形全等的知识得出对应角的关系，进而得出直角.
师：同学们听明白了，理解后写出证明过程.
证明：如图4，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=AC，B′C′=BC，则A′C′2 B′C′2=A′B′2（勾股定理）.又因为AC2 BC2=AB2（已知），A′C′=AC图4，B′C′=BC（已作），所以AB2=A′B′2，则AB=A′B′.易得△ABC≌△A′B′C′（SSS）.所以∠C=∠C′=90°（全等三角形的对应角相等），故△ABC是直角三角形.
生10：老师，我还有一个作法，作的直角三角形可以先保证一条直角边和斜边与原三角形的一条短边和最长边分别相等，再根据勾股定理得出另一条短边相等，也由“SSS”证明两个三角形全等，得出对应角是直角. 师：异曲同工，非常好！
问题3 观察两组命题：（1）“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”;（2）“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”和“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，它们之间有怎样的关系？
生11：我发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件.
追问1 你还能再举一些有类似关系命题的例子吗？
生12：平行线中“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”.
生13：等腰三角形中“等边对等角”与“等角对等边”.
师：在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中第二个命题称为第一个命题的逆命题.
追问2 你能举出一些命题，并说出它们的逆命题吗？
生14：“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”.
生15：你说错了，“相等的两个角是对顶角”是假命题，这结论不对.
生16：逆命题是将原命题的条件与结论互换得到的命题，又没有说命题的真假.
师：是的！根据讨论我们发现，一个命题一定有逆命题，但原命题是真命题，逆命题却不一定是真命题.刚才大家谈到一些图形的性质，它们都是经过证明的定理，如果该定理的逆命题经过证明也是真命题，那么它也是一个定理，称这个定理为原定理的逆定理，它们就是一对互逆定理.如刚才我们对勾股定理的逆命题进行了证明，它是真命题，我们称之为“勾股定理的逆定理”.
追问3 你还能举出互逆定理的例子吗？
生17：“两直线平行，同旁内角互补”与“同旁内角互补，两直线平行”是一对互逆定理.
生18：我懂了，“对顶角相等”是对顶角的性质定理，但它没有逆定理.
借鉴等腰三角形的学习方式，让学生回忆直角三角形的定义、性质等知识.将性质反过来，就得到直角三角形的一种判定方法，渗透几何图形的性质与判定之间关系，并为介绍逆命题、逆定理作铺垫.勾股定理的逆定理证明是本节课的难点，通过个人独立思考、小组交流讨论和师生启发互动，为他们提供充分思考的时间和空间来寻找证明的方法，进一步发展演绎推理能力.由直角三角形的两对性质和判定以及引导学生回忆曾经学过的一些几何图形的结论，自然引出逆命题和逆定理的概念与辨析，进一步感受逆向思维在几何学习中的作用，积累几何图形研究的活动经验.
因此，教学活动是一个学生在不斷经历、体验或探索各种数学活动中逐渐积累和逐步积淀经验的过程.3 拓展问题模型，展示经验价值
将刚获得的活动经验立刻运用，会激发学生挑战的热情，体验思维方法的作用和价值，更为今后进一步学习提供有力支持与有效保障.
问题4 回顾本节课的学习历程，谈谈你的认识？
生19：今天我们系统学习了直角三角形“定义—性质—判定”，对一些定理作了证明，我还发现无论是“定义”“性质”还是“判定”都是从图形边或角的视角去研究.
生20：逆命题、逆定理的学习告诉我们一种学习的方式，将一个几何图形的性质“反过来”就可猜想它的判定方法，再探索它的真假.我发现因式分解与整式乘法就是一种互逆关系，看来数学知识的学习有时是相通的.
师：“反过来想，总是反过来思考！”这是德国著名数学家贾可布的一句名言，把问题反过来想一想的“逆向思维”是创造性思维的一种奇特的方式.同学们学到了一种学习方式，还联想到类似数学内容的学习，其实在我们生活中也有很多智慧的例子，大家熟悉的“司马光砸缸”的故事就蕴含了这个哲理.
生21：今天学了这节课，我分清了几何图形性质与判定的不同以及它们之间的相互关系，我还发现无论是等腰三角形还是直角三角形，它们的学习都是按照“定义—性质—判定—应用”的套路学习，有了这个学习经验，今后学习其它几何图形就可以一了百了了.
师：哈哈，“一了百了”概括的精辟，每节课我们这样去主动思考并善于积累经验，数学学习真的可以“一了百了”了.
追问 借鉴本节课的学习经验，如何探究等腰直角三角形？
生22：遵循“定义—性质—判定—应用”的宏观方式研究，按照图形边、角的微观视角认识.
生23：等腰直角三角形既具有等腰三角形的性质也具有直角三角形的性质.
生24：根据定义和勾股定理可以发现它的三边之比是1∶1∶2.
课堂小结不是教师帮学生总结，而让学生畅所欲言，这样学生间不仅有知识的归纳、方法的提炼，还有个人一些基本活动经验的分享.这样的小结凸显了学生的主体地位，立足于学生课堂的深度参与，关注学生思维活动和经验积累.本节课，当学生概括了“几何图形是按照‘定义—性质—判定—应用’的套路学习，今后的学习可以一了百了了”时就是积淀了几何图形的学习经验.学生分析图形的性质与判定的关系，得到把问题反过来想一想的“逆向思维”就是一种新的经验.学生小结时发现图形的微观研究是从边或角的视角去认识，就是该学生从图形的构成元素认识直角三角形，这是一种对数学本质的揭示而形成的宝贵经验.本节课最后设计让学生探究等腰直角三角形，其目的就是将研究直角三角形形成的知识、技能和学习经验进一步应用，以彰显活动经验的作用和魅力.虽然课本上没有这项要求，但课堂上学生能探索出等腰直角三角形的一些结论，如三边之比是1∶1∶2，真是一个“创新”、一份惊喜.
总之，积累基本活动经验，是一个知识内化和能力提升的过程，在教学中我们可以采用问题和追问等方式，设计“唤醒—传承—创新”的环节，即通过链接最近联想，“唤醒”已有的认知基础和活动经验;通过参与相关教学活动，“传承”探索经验，积淀自我活动经验;通过拓展问题模型，“创新”运用发展经验，展示经验价值.因此，数学教学是一个积累活动经验的过程，数学教学要充分发挥数学的内在力量，挖掘数学所蕴涵的价值资源，才能培养学生理性精神，促进学生素养提升，实现数学的育人目标
.参考文献
[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018.6：115
作者简介 朱敏龙（1972—），男，中学高级教师，教育硕士，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年学术技术带头人，主要从事中学数学教与学的理论与实践研究.
本文系江苏省教育科学“十三五”规划普教重点课题“关注每一个的初中‘差异化递进教学’的实践研究”（课题编号：B-b/2018/02/48，主持人：胡松、朱敏龙）和江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（课题编号：R-a/2018/07，主持人：张爱平）的研究成果.