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摘要：聆听了华应龙老师执教的《问题解决》一课，引发了对“表达”的辩证思考，认识了一种独特的数学表达——慢热型表达。表达是师生以及生生之间心灵交往的思维工具，慢热型表达是不容忽视的学习样态，其根本成因在于：收集和处理信息的能力较弱;策略性知识的储备与灵活调用的能力比较欠缺。让慢热型表达的学生很好地表达，需要质疑问难，让表达具有针对性;负责任地交流，让表达具有实效性;自由释放，让表达具有独创性。让不爱表达的学生慢热起来，可以平衡两极， 优化学习的心理场;尊重静默，欣赏儿童的慢生长。
关键词：数学表达慢热型表达问题解决
一节公开课，如果学生没有酣畅淋漓、惊艳全场的表达，反而有点慢、有点冷，你怎么看？2019年6月2日，在“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛上，我聆听了华应龙老师执教的《问题解决》一课，引发了对“表达”的辩证思考，认识了一种独特的数学表达——慢热型表达。
一、既然想表达，为何要憋着？
【教学现场1】
（课始，教师出示一道对五年级的学生来说比较难的题目——徒弟：师父，您多大了？师父：我在你这年纪时，你才5岁;但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？所有学生开始尝试解答，有些学生写写又划掉。大约三四分钟后，两个学生兴奋地举手。）
师大多数同学都还在思考，你们就已经有了答案，真了不起！
（全班鼓掌。）
师能不能先憋着不说？
（学生点头。）
师有科学研究表明，能憋着不说的人将来会更有成就。
（全场哄堂大笑。）
师为什么呢？因为他心中有他人。我相信，你们一说，大家肯定都明白了。但是如果不说，就让大家有了自己思考、发现的机会，下次再碰到类似的问题，大家也就会了。让我们感谢他们为了我们暂时憋着。
……
（介绍完“投石问路”的方法，学生在黑板上展示完自己的假设后——）
师什么变了？什么没变？有什么规律？我们还能发现什么？
（不少学生兴奋地举手。）
师不举手，不给别人压力。发现了的同学请在自己胸前竖个大拇指。
……
憋着？我要表达，为什么不给我表达的权利？表达，也需伺机而动？我陷入思考：
（一）表达的价值——心灵交往的思维工具
这里所谈的“表达”，是指在数学学习过程中，学生将自己理解数学知识或解决数学问题的观点、思想、方法、过程等，运用恰当的形式准确、流畅地表征出来的过程。这里的形式可以是语言（包括身体语言），也可以是文字、符号或图形等，力求“想清楚，说明白，写到位”。它是师生以及生生之间心灵交往的思维工具，能够帮助学生合作探究、增智赋能、共同成长。通过表达，传承的应该是整个数学文化，而不仅仅是数学知识本身。
（二）慢热型表达——不容忽视的学习样态
表达如此重要，为什么华老师要让学生“憋着”呢？诚然，每一位学生都有自由表达的权利，但是，华老师不想让少数才思敏捷人的表达覆盖多数人慢热的思考，而要给慢热型表达的学生足够的时间，让他们也能享受到自我发现、自我挑战、自我实现的愉悦。
什么是“慢热型表达”？慢热型表达，主要表现在学生的思考进程比较慢，不能准确、流畅、快速地运用各种形式表达自己的想法。不过，只要给足思考和交流的时空，这类学生也能获得进一步的数学理解和问题解决。事实上，有很多小学生属于慢热型表达。但遗憾的是，他们经常被表达能力强的“学霸”抢占表达的机会，从而逐渐成为“忠实的听众”。教师要重视慢热型表达的现象，让学生想表达、能表达、会表达，提升学生表达的兴趣和能力，真正促进每一位学生的数学素养。
老子描述了这样的境界：“功成事遂，百姓皆谓‘我自然’。”于是我想，小学生一而再地憋着不说时，除了等待慢热的同学，还可以做什么？既然不能侃侃而谈，不妨诉诸笔端，在自由的叙写中审视、完善自己的思考，使之更有逻辑、更趋理性。由此，表面的“憋”也变成了愉快的“放”。
（三）慢热型表达的根本成因及对策
除了缺乏表达的一般性工具、技巧之外，慢热型表达的根本成因在于：
其一，收集和处理信息的能力较弱。收集和处理信息是数学表达的基础。数学问题和实际问题呈现给学生的信息往往是多元的：有时多而杂，有时少而精。《问题解决》一课，许多学生第一次尝试解题碰壁，低头无语。华老师说“书读百遍，其义自见”，启发学生逐句细读题干信息，边读边想，破译难点。学生逐渐明朗，纷纷开始有了自己的表达。
其二，策略性知识的储备与灵活调用的能力比较欠缺。学生学习数学，通常有两种方式：掌握策略性知识和记忆结论性知识。解决问题的过程中，一些学生的数学表达有条理、有依据，富有见地和创造性，发挥巨大作用的是其储备的策略性知识。慢热型表达的学生通常缺乏策略性知识储备，遇到新问题时，一下子就懵住了，无从表达。
策略性知识是关于“如何学习、如何思维”的知识，是调节注意、记忆、思维的知识。《问题解决》一课，华老师提出的问题中，徒弟和师父的年龄差到底是多少？需要建立两种联结：一是复杂抽象的年龄问题和直观图式的联结，学生都有这个意识;二是建立等量关系，即在看似割裂的条件间建立关系，产生一种关联的、内聚的知识合力，学生在这一点上比较困难。对此，华老师致力于学生策略性知识的发展，不断鼓励学生自主探究，带领学生利用尝试与假设的方法来探寻策略，将其命名为“投石问路”——张景中院士说过，“尝试与假设”虽然是一种“笨拙”的办法，却是一种大智若愚的方法。而在解决问题后，华老师又引导学生及时反思：“题试三回，定能生慧。”最后总结：“遇到困難，最重要的是勇敢去试，不等不靠。错了没关系，只要不放弃！” 二、如何提高慢热型表达的质效？
【教学现场2】
（对于课始出示的题目，让已经有了答案的学生憋着不说后——）
师做这道题碰到什么难处？
生思考的时间不够。
生方程列出来了，可是没解完。
生题目的意思我读不懂，找不到年龄差。
……
师题目没有做出来，肯定有很多困惑。像他们这样，敢于把自己的困惑说出来，非常好，向他们学习！
（全班掌声。）
……
（对于提问“什么变了？什么没变？有什么规律？我们还能发现什么？”，让发现了的学生在自己胸前竖大拇指后，教师组织学生前后四人交流。四人小组认真交流，有的还在稿纸上演算给同学看。一个学生提出：“我还是不明白为什么是3个年龄差。”其他学生顺势走到黑板上讲解示范。）
如何让慢热型表达的学生很好地表达？我继续思考：
（一）质疑问难，让表达具有针对性
张齐华老师一直倡导，课堂不要太顺畅，要有卡顿，让学生感觉卡在那里，走不下去。学生脑海里翻腾着激烈的思想斗争、头脑风暴，不断地碰壁、回头、转换、调节;学生尽情地表达困惑，在表达中突围的经历，才是最有品质的学习。陈静老师曾中肯地指出，当下有的课堂很热闹，学生拿着学习单滔滔不绝地说着，但是，没有质疑，没有矛盾冲突，这样的学习几乎等于虚假学习。《问题解决》一课，“师徒年龄”这道经典奥数题，结果并不重要，重要的是曲折求索的过程体验。学生纷纷抛出困惑。这样的表达真实自然，具有很强的针对性，能极大地促进数学学习的真实发生和深入推进。
（二）负责任地交流，让表达具有实效性
课堂时间有限，要让学生有更多机会表达，可以组织小组交流。小组交流中，教师要让学生负起责任，而不能浑水摸鱼。这样才能使得课堂中的数学表达不再是“学霸”的个人专利，慢热型表达的学生也能得到更多的表达机会，从而大大提升表达的积极性和实效性。罗鸣亮老师执教《你知道吗？》一课，对于“5的倍数为什么只看个位？”这一问题，组织学生交流后，指着一位女生，提问她的男生同桌：“确定交流了？为什么你举手了，她没举手？是她的责任还是你的责任？”这名男生不好意思地说：“我认为，我们都有责任。”再次交流之后，刚才没有举手的女生也举起了手。
（三）自由释放，让表达具有独创性
鹦鹉学舌只能培养思想的侏儒，学生的数学表达应具有属我性。教师要提供自主思考的空间，让学生自由释放。
例如，我执教《初步认识分数（二）》一课，在课前研究单中设置了问题：（1）我想研究几分之一？把什么看成一个整体？（2）画一画、分一分、涂一涂，表示出这个分数。让学生用画图的方式自由表达对几分之一的理解。学生的表达丰富多彩，让我有了很多优秀的教学资源。
我先同时呈现图1—图4，让学生分分类。学生根据平均分的对象不同，分为“一个物体”和“多个物体组成的一个整体”;根据一个物体（一个长方形）平均分的份数不同，分为14和18。由此，把零散、单一的数学表达编成富有思维结构的群组，让学生在不同维度的分类中聚焦分数的本质。
我再通过图5、图6的对比，指出一个整体的具体数量，既可以是常规思维中的双数，也可以是非常规思维中的单数，打破了学生的思维定式。
我又出示了图7、图8（见下页）。课堂上展开了激烈的思辨。有学生说：“鱼儿有大有小，圆和五角星不是同类图形，都不能视作一个整体，是错的。”有几个学生认为，只要数一数鱼的条数，2条就是8条的14;圆和五角星也是同样的道理。对此，有教师认为，这两幅图不适合在三年级阶段交流，应该让它们淡出学生视野。而我以为，分数可以表示部分与整体的关系，是无量纲的数，即只与整体等分的份数和取的份数有关，与整体大小无关。这两个学生所表达的另类思考极具创造性，是可遇而不可求的儿童灵性！因此，不要在意有多少学生能听懂，要的就是这样一种天马行空的无畏表达。
此外，图9让人忍俊不禁，所表达的是一种愉快的生活数学。这种自由不羁的数学表达只有儿童才有，值得珍视。
我一直在追慕这样的教学情境：每一个学生都能愉快地用自己灵动独特的数学语言表达对数学的理解，切换自如，无所畏惧，无可替代，无可限量。
《问题解决》一课，绝大多数学生思考无果。困顿之时，华老师投了一颗“小石子”：介绍了“投石问路”的方法。我在现场想：这颗“小石子”如果是学生投的，那该多好！对此，华老师课后也做了反思：“这节课的表达方式是我拿出来的。数轴是最好的吗？我也不知道，因为我没有实践。学生在现场那些错乱的表达是怎样的？有没有可能就着学生的思考原地重建？”遗憾的是，教学和研讨时间有限，容不得华老师把更多精彩的内容完全展开。我以为，从解决问题路径的客观性来说，会有最优表达。不过，数学家之所以能攻克一个又一個难题，一个重要的方面是，他们能将问题在各种各样的数学表达方式之间灵活转换，这些数学表达方式包括文字、符号、图形、表格、图表等。即恰当的表达方式更有助于将问题引上最佳“解决路径”。这道题的表达方式有很多种，学生当堂探究的成果不会很全面。那么，如果课后继续思考，学生会不会找到更好的表达形式？一位专家说得好：“看一个学生的数学素养如何，就看他是否能长时间地思考一个问题，并且执着地用自己的方式表达出来。”假以时日，学生终将潇洒地投出自己的“小石子”，每一颗“小石子”都有独到的表达。
三、就是不想表达，又该怎么办？
我的一位学生小苗，上课听讲很认真。不请她发言，她神态自若;请她发言，她便面色凝重不说话。再鼓励也没用，她还会哭起来。但是课间，她和同学们聊得很开心。另一位学生小安，上课听讲也很认真。请他发言，他会礼貌地回答“不想”。任我怎么热情邀请，他都不理。偶尔举个手，我如获至宝，无论他说得怎么样，都掌声一片。还有一些成绩优异的学生也抗拒当众表达，唯恐不完美。 表达，对他们而言为什么不是一件愉快的事？这些学生能慢热起来吗？我该怎么办？我深入思考：
（一）平衡两极， 优化学习的心理场
有教师有这样一种观点：施压训练。残酷的社会现实告诉我们，自己不主动表达，没有人有义务主动发现你。要给学生压力，逼着逼着，他们就会表达了。一个举重运动员起初只能举起50公斤，经过训练，最后甚至能举起100多公斤。
还有教师有另一种观点：顺其自然。低年级要重视表达能力的训练;高年级课堂密度大，不可能拿出大量时间来训练表达，那样效益太低。让某些学生自己自在就行了，哪可能个个都是外交部发言人？
斯坦福大学乔·博勒教授在《流畅无惧》（Fluency Without Fear）一文中发表研究结论：有些学生处于定时定量的压力（比如考试）下时，大脑的记忆区就会被堵塞，无法调用存储在那里的数学常识，导致焦虑产生，信心不足;记忆堵塞以及焦虑在成绩好的学生和女生中出现的情况比较多。可以推论，有的学生在课堂上无法流畅地表达，出现语言障碍，与环境的压力过大造成的记忆堵塞和焦虑有关。
贲友林老师执教《找规律》一课，被随机抽中上台展示的5号学生最初只能反复读学习单上的算式，根本无法表达算式的含义。贲老师始终笑眯眯地轻抚着他的肩膀，艺术地调动其他学生提供帮助，但又不是和盘托出。一点一点地，5号学生的眼睛越来越亮，最终把规律讲得清清楚楚，全场掌声雷动。
周卫东老师执教《考得怎么样？》一课，把抽象的平均数概念归隐在真实、亲切的QQ聊天记录和师生现场聊天中，越聊越酣畅，越聊越深入。“这个同学86分的成绩和平均数86意思一样吗？”“不一样！”听课教师座位席传来一个孩子的高声抢答，原来是一个跟着妈妈来听课的孩子！如此忘我的表达，让全场惊艳。
情动而辞发，春暖花自开。学生表达能力的培养，既不能高压苛训，也不能放任自流。教师需要创设安全的、有意思且有意義的数学课堂，让学生兴致盎然地深度卷入其间;和谐嵌入耐心的辅导和必要的练习，师生心意相通，彼此信赖，彼此喜欢，学生幽闭的心门便会慢慢打开。
（二）尊重静默，欣赏儿童的慢生长
《问题解决》一课，第一次接触这道题的听课教师也画了好一阵线段图，要一群毫无准备的小学生当堂解答这道题，当堂领悟4条零散的线段图可以合并成一条包含“过去、现在、未来”的图，当然有难度。但是，这又有什么关系呢？能站在旁边为他人的精彩表达鼓掌，也很美好。春天里，开得最迟的那朵花也有它的花语。
课尾，“我不是笨小孩”这句话出现在大屏幕的一刹那，所有的学生获得了释然、共鸣、温暖和力量。课后，一位听课教师跟随学生队伍去上厕所，听到了两个学生交谈。“唉！看来我真的很笨，还是没听懂。”“我也是。华老师PPT上写了‘我不是笨小孩’，我感觉自己就是笨小孩。”这位教师心里一惊！随后，其中一个学生说：“华老师总是鼓励我们，他真好！我要回家再想想！”另一个学生说：“嗯！”两个学生相视一笑。这位教师心里释然。
总之，学生的慢热型表达蕴积着生长的力量。对此，表达的时机是关注全体、充分蓄势。课开始有点冷，那是保障自主思考、多元表达的集体蓄势。学生慢热，我们要引得巧、等得起！表达的内核是求真与创造。打开知识之窗，学生自由地发现、想象、批判、创造，追寻数学的本质，生长儿童的灵性。表达的背后是尊重静默。学习需要沉潜，成长也是慢的。尊重静默就是敬畏生命的本真与自然，我们要看得远。
语言属于时间，静默属于永恒。总有一些东西无法表达，让我们用心倾听吧！
关键词：数学表达慢热型表达问题解决
一节公开课，如果学生没有酣畅淋漓、惊艳全场的表达，反而有点慢、有点冷，你怎么看？2019年6月2日，在“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛上，我聆听了华应龙老师执教的《问题解决》一课，引发了对“表达”的辩证思考，认识了一种独特的数学表达——慢热型表达。
一、既然想表达，为何要憋着？
【教学现场1】
（课始，教师出示一道对五年级的学生来说比较难的题目——徒弟：师父，您多大了？师父：我在你这年纪时，你才5岁;但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？所有学生开始尝试解答，有些学生写写又划掉。大约三四分钟后，两个学生兴奋地举手。）
师大多数同学都还在思考，你们就已经有了答案，真了不起！
（全班鼓掌。）
师能不能先憋着不说？
（学生点头。）
师有科学研究表明，能憋着不说的人将来会更有成就。
（全场哄堂大笑。）
师为什么呢？因为他心中有他人。我相信，你们一说，大家肯定都明白了。但是如果不说，就让大家有了自己思考、发现的机会，下次再碰到类似的问题，大家也就会了。让我们感谢他们为了我们暂时憋着。
……
（介绍完“投石问路”的方法，学生在黑板上展示完自己的假设后——）
师什么变了？什么没变？有什么规律？我们还能发现什么？
（不少学生兴奋地举手。）
师不举手，不给别人压力。发现了的同学请在自己胸前竖个大拇指。
……
憋着？我要表达，为什么不给我表达的权利？表达，也需伺机而动？我陷入思考：
（一）表达的价值——心灵交往的思维工具
这里所谈的“表达”，是指在数学学习过程中，学生将自己理解数学知识或解决数学问题的观点、思想、方法、过程等，运用恰当的形式准确、流畅地表征出来的过程。这里的形式可以是语言（包括身体语言），也可以是文字、符号或图形等，力求“想清楚，说明白，写到位”。它是师生以及生生之间心灵交往的思维工具，能够帮助学生合作探究、增智赋能、共同成长。通过表达，传承的应该是整个数学文化，而不仅仅是数学知识本身。
（二）慢热型表达——不容忽视的学习样态
表达如此重要，为什么华老师要让学生“憋着”呢？诚然，每一位学生都有自由表达的权利，但是，华老师不想让少数才思敏捷人的表达覆盖多数人慢热的思考，而要给慢热型表达的学生足够的时间，让他们也能享受到自我发现、自我挑战、自我实现的愉悦。
什么是“慢热型表达”？慢热型表达，主要表现在学生的思考进程比较慢，不能准确、流畅、快速地运用各种形式表达自己的想法。不过，只要给足思考和交流的时空，这类学生也能获得进一步的数学理解和问题解决。事实上，有很多小学生属于慢热型表达。但遗憾的是，他们经常被表达能力强的“学霸”抢占表达的机会，从而逐渐成为“忠实的听众”。教师要重视慢热型表达的现象，让学生想表达、能表达、会表达，提升学生表达的兴趣和能力，真正促进每一位学生的数学素养。
老子描述了这样的境界：“功成事遂，百姓皆谓‘我自然’。”于是我想，小学生一而再地憋着不说时，除了等待慢热的同学，还可以做什么？既然不能侃侃而谈，不妨诉诸笔端，在自由的叙写中审视、完善自己的思考，使之更有逻辑、更趋理性。由此，表面的“憋”也变成了愉快的“放”。
（三）慢热型表达的根本成因及对策
除了缺乏表达的一般性工具、技巧之外，慢热型表达的根本成因在于：
其一，收集和处理信息的能力较弱。收集和处理信息是数学表达的基础。数学问题和实际问题呈现给学生的信息往往是多元的：有时多而杂，有时少而精。《问题解决》一课，许多学生第一次尝试解题碰壁，低头无语。华老师说“书读百遍，其义自见”，启发学生逐句细读题干信息，边读边想，破译难点。学生逐渐明朗，纷纷开始有了自己的表达。
其二，策略性知识的储备与灵活调用的能力比较欠缺。学生学习数学，通常有两种方式：掌握策略性知识和记忆结论性知识。解决问题的过程中，一些学生的数学表达有条理、有依据，富有见地和创造性，发挥巨大作用的是其储备的策略性知识。慢热型表达的学生通常缺乏策略性知识储备，遇到新问题时，一下子就懵住了，无从表达。
策略性知识是关于“如何学习、如何思维”的知识，是调节注意、记忆、思维的知识。《问题解决》一课，华老师提出的问题中，徒弟和师父的年龄差到底是多少？需要建立两种联结：一是复杂抽象的年龄问题和直观图式的联结，学生都有这个意识;二是建立等量关系，即在看似割裂的条件间建立关系，产生一种关联的、内聚的知识合力，学生在这一点上比较困难。对此，华老师致力于学生策略性知识的发展，不断鼓励学生自主探究，带领学生利用尝试与假设的方法来探寻策略，将其命名为“投石问路”——张景中院士说过，“尝试与假设”虽然是一种“笨拙”的办法，却是一种大智若愚的方法。而在解决问题后，华老师又引导学生及时反思：“题试三回，定能生慧。”最后总结：“遇到困難，最重要的是勇敢去试，不等不靠。错了没关系，只要不放弃！” 二、如何提高慢热型表达的质效？
【教学现场2】
（对于课始出示的题目，让已经有了答案的学生憋着不说后——）
师做这道题碰到什么难处？
生思考的时间不够。
生方程列出来了，可是没解完。
生题目的意思我读不懂，找不到年龄差。
……
师题目没有做出来，肯定有很多困惑。像他们这样，敢于把自己的困惑说出来，非常好，向他们学习！
（全班掌声。）
……
（对于提问“什么变了？什么没变？有什么规律？我们还能发现什么？”，让发现了的学生在自己胸前竖大拇指后，教师组织学生前后四人交流。四人小组认真交流，有的还在稿纸上演算给同学看。一个学生提出：“我还是不明白为什么是3个年龄差。”其他学生顺势走到黑板上讲解示范。）
如何让慢热型表达的学生很好地表达？我继续思考：
（一）质疑问难，让表达具有针对性
张齐华老师一直倡导，课堂不要太顺畅，要有卡顿，让学生感觉卡在那里，走不下去。学生脑海里翻腾着激烈的思想斗争、头脑风暴，不断地碰壁、回头、转换、调节;学生尽情地表达困惑，在表达中突围的经历，才是最有品质的学习。陈静老师曾中肯地指出，当下有的课堂很热闹，学生拿着学习单滔滔不绝地说着，但是，没有质疑，没有矛盾冲突，这样的学习几乎等于虚假学习。《问题解决》一课，“师徒年龄”这道经典奥数题，结果并不重要，重要的是曲折求索的过程体验。学生纷纷抛出困惑。这样的表达真实自然，具有很强的针对性，能极大地促进数学学习的真实发生和深入推进。
（二）负责任地交流，让表达具有实效性
课堂时间有限，要让学生有更多机会表达，可以组织小组交流。小组交流中，教师要让学生负起责任，而不能浑水摸鱼。这样才能使得课堂中的数学表达不再是“学霸”的个人专利，慢热型表达的学生也能得到更多的表达机会，从而大大提升表达的积极性和实效性。罗鸣亮老师执教《你知道吗？》一课，对于“5的倍数为什么只看个位？”这一问题，组织学生交流后，指着一位女生，提问她的男生同桌：“确定交流了？为什么你举手了，她没举手？是她的责任还是你的责任？”这名男生不好意思地说：“我认为，我们都有责任。”再次交流之后，刚才没有举手的女生也举起了手。
（三）自由释放，让表达具有独创性
鹦鹉学舌只能培养思想的侏儒，学生的数学表达应具有属我性。教师要提供自主思考的空间，让学生自由释放。
例如，我执教《初步认识分数（二）》一课，在课前研究单中设置了问题：（1）我想研究几分之一？把什么看成一个整体？（2）画一画、分一分、涂一涂，表示出这个分数。让学生用画图的方式自由表达对几分之一的理解。学生的表达丰富多彩，让我有了很多优秀的教学资源。
我先同时呈现图1—图4，让学生分分类。学生根据平均分的对象不同，分为“一个物体”和“多个物体组成的一个整体”;根据一个物体（一个长方形）平均分的份数不同，分为14和18。由此，把零散、单一的数学表达编成富有思维结构的群组，让学生在不同维度的分类中聚焦分数的本质。
我再通过图5、图6的对比，指出一个整体的具体数量，既可以是常规思维中的双数，也可以是非常规思维中的单数，打破了学生的思维定式。
我又出示了图7、图8（见下页）。课堂上展开了激烈的思辨。有学生说：“鱼儿有大有小，圆和五角星不是同类图形，都不能视作一个整体，是错的。”有几个学生认为，只要数一数鱼的条数，2条就是8条的14;圆和五角星也是同样的道理。对此，有教师认为，这两幅图不适合在三年级阶段交流，应该让它们淡出学生视野。而我以为，分数可以表示部分与整体的关系，是无量纲的数，即只与整体等分的份数和取的份数有关，与整体大小无关。这两个学生所表达的另类思考极具创造性，是可遇而不可求的儿童灵性！因此，不要在意有多少学生能听懂，要的就是这样一种天马行空的无畏表达。
此外，图9让人忍俊不禁，所表达的是一种愉快的生活数学。这种自由不羁的数学表达只有儿童才有，值得珍视。
我一直在追慕这样的教学情境：每一个学生都能愉快地用自己灵动独特的数学语言表达对数学的理解，切换自如，无所畏惧，无可替代，无可限量。
《问题解决》一课，绝大多数学生思考无果。困顿之时，华老师投了一颗“小石子”：介绍了“投石问路”的方法。我在现场想：这颗“小石子”如果是学生投的，那该多好！对此，华老师课后也做了反思：“这节课的表达方式是我拿出来的。数轴是最好的吗？我也不知道，因为我没有实践。学生在现场那些错乱的表达是怎样的？有没有可能就着学生的思考原地重建？”遗憾的是，教学和研讨时间有限，容不得华老师把更多精彩的内容完全展开。我以为，从解决问题路径的客观性来说，会有最优表达。不过，数学家之所以能攻克一个又一個难题，一个重要的方面是，他们能将问题在各种各样的数学表达方式之间灵活转换，这些数学表达方式包括文字、符号、图形、表格、图表等。即恰当的表达方式更有助于将问题引上最佳“解决路径”。这道题的表达方式有很多种，学生当堂探究的成果不会很全面。那么，如果课后继续思考，学生会不会找到更好的表达形式？一位专家说得好：“看一个学生的数学素养如何，就看他是否能长时间地思考一个问题，并且执着地用自己的方式表达出来。”假以时日，学生终将潇洒地投出自己的“小石子”，每一颗“小石子”都有独到的表达。
三、就是不想表达，又该怎么办？
我的一位学生小苗，上课听讲很认真。不请她发言，她神态自若;请她发言，她便面色凝重不说话。再鼓励也没用，她还会哭起来。但是课间，她和同学们聊得很开心。另一位学生小安，上课听讲也很认真。请他发言，他会礼貌地回答“不想”。任我怎么热情邀请，他都不理。偶尔举个手，我如获至宝，无论他说得怎么样，都掌声一片。还有一些成绩优异的学生也抗拒当众表达，唯恐不完美。 表达，对他们而言为什么不是一件愉快的事？这些学生能慢热起来吗？我该怎么办？我深入思考：
（一）平衡两极， 优化学习的心理场
有教师有这样一种观点：施压训练。残酷的社会现实告诉我们，自己不主动表达，没有人有义务主动发现你。要给学生压力，逼着逼着，他们就会表达了。一个举重运动员起初只能举起50公斤，经过训练，最后甚至能举起100多公斤。
还有教师有另一种观点：顺其自然。低年级要重视表达能力的训练;高年级课堂密度大，不可能拿出大量时间来训练表达，那样效益太低。让某些学生自己自在就行了，哪可能个个都是外交部发言人？
斯坦福大学乔·博勒教授在《流畅无惧》（Fluency Without Fear）一文中发表研究结论：有些学生处于定时定量的压力（比如考试）下时，大脑的记忆区就会被堵塞，无法调用存储在那里的数学常识，导致焦虑产生，信心不足;记忆堵塞以及焦虑在成绩好的学生和女生中出现的情况比较多。可以推论，有的学生在课堂上无法流畅地表达，出现语言障碍，与环境的压力过大造成的记忆堵塞和焦虑有关。
贲友林老师执教《找规律》一课，被随机抽中上台展示的5号学生最初只能反复读学习单上的算式，根本无法表达算式的含义。贲老师始终笑眯眯地轻抚着他的肩膀，艺术地调动其他学生提供帮助，但又不是和盘托出。一点一点地，5号学生的眼睛越来越亮，最终把规律讲得清清楚楚，全场掌声雷动。
周卫东老师执教《考得怎么样？》一课，把抽象的平均数概念归隐在真实、亲切的QQ聊天记录和师生现场聊天中，越聊越酣畅，越聊越深入。“这个同学86分的成绩和平均数86意思一样吗？”“不一样！”听课教师座位席传来一个孩子的高声抢答，原来是一个跟着妈妈来听课的孩子！如此忘我的表达，让全场惊艳。
情动而辞发，春暖花自开。学生表达能力的培养，既不能高压苛训，也不能放任自流。教师需要创设安全的、有意思且有意義的数学课堂，让学生兴致盎然地深度卷入其间;和谐嵌入耐心的辅导和必要的练习，师生心意相通，彼此信赖，彼此喜欢，学生幽闭的心门便会慢慢打开。
（二）尊重静默，欣赏儿童的慢生长
《问题解决》一课，第一次接触这道题的听课教师也画了好一阵线段图，要一群毫无准备的小学生当堂解答这道题，当堂领悟4条零散的线段图可以合并成一条包含“过去、现在、未来”的图，当然有难度。但是，这又有什么关系呢？能站在旁边为他人的精彩表达鼓掌，也很美好。春天里，开得最迟的那朵花也有它的花语。
课尾，“我不是笨小孩”这句话出现在大屏幕的一刹那，所有的学生获得了释然、共鸣、温暖和力量。课后，一位听课教师跟随学生队伍去上厕所，听到了两个学生交谈。“唉！看来我真的很笨，还是没听懂。”“我也是。华老师PPT上写了‘我不是笨小孩’，我感觉自己就是笨小孩。”这位教师心里一惊！随后，其中一个学生说：“华老师总是鼓励我们，他真好！我要回家再想想！”另一个学生说：“嗯！”两个学生相视一笑。这位教师心里释然。
总之，学生的慢热型表达蕴积着生长的力量。对此，表达的时机是关注全体、充分蓄势。课开始有点冷，那是保障自主思考、多元表达的集体蓄势。学生慢热，我们要引得巧、等得起！表达的内核是求真与创造。打开知识之窗，学生自由地发现、想象、批判、创造，追寻数学的本质，生长儿童的灵性。表达的背后是尊重静默。学习需要沉潜，成长也是慢的。尊重静默就是敬畏生命的本真与自然，我们要看得远。
语言属于时间，静默属于永恒。总有一些东西无法表达，让我们用心倾听吧！