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摘要：深基坑变形预测是地下空间工程发展的一个重要研究课题。针对其变形具有较强的非线性特性，本文将模糊最小二乘支持向量机（LS-SVM）引入到深基坑的变形预测当中，以深基坑实际变形监测资料为基础，将其预测结果与传统的支持向量机模型预测结果进行对比。实验结果表明，该方法能够有效地用于深基坑的变形预测，且预测精度优于传统支持向量机。
关键词：深基坑；模糊最小二乘支持向量机；变形预测
1 引言
随着经济的快速发展，城市空间的使用日益紧张，迫使发展地下空间来缓解此矛盾。深基坑工程是其中之一，作为承载建筑上部结构的部分，是一项极其复杂且重要的工程，其稳定与否不仅关系到上部结构的安全，而且还会对周围建筑物的变形产生影响，因此，深基坑变形研究受到越来越多的学者重视[1-2]。由于基坑结构、组成物质的物理力学性质、外力作用的复杂性和不确定性，建立合适的确定性模型很困难。为此，通过揭示变形监测数据序列的规律，建立动态预测模型来反映变形特性是一种有效的方法[3]。支持向量机（SVM）是20世纪90年代由贝尔实验室的Vapnik等人根据统计学习理论提出的一种新型的机器学习算法。其理论是建立在统计学理论和结构风险最小原则基础上的，根据有限的样本信息，在模型的复杂性和学习能力之间寻求最优化，以期获得最好的推广能力[4]。目前，支持向量机已逐步用于高层建筑、大坝等工程项目的变形预测中，并取得了较好的效果[5-7]。最小二乘支持向量机（LS-SVM）是传统支持向量机的一种扩展，求解速度相对较快，能较好地解决小样本、非线性、高维数、局部极小点等时间问题[8]。鉴于此，本文应用模糊LS-SVM建立深基坑变形预测模型，并将预测结果与传统SVM预测结果进行比较。
2 建模理论
2.1模糊最小二乘支持向量机模型
最小二乘支持向量机与传统支持向量机的主要区别在于使用不同的优化目标函数，并且用等式约束代替不等式约束，是一种很有潜力的数据分类和回归工具。其主要思想是通过非线性映射，将输入数据投影到高维特征空间（Hilbert空间），从而将低维非线性回归问题转化为高维特征空间中的线性回归问题。原理如下[9]：
对于给定个样本数据，其中是维输入，是样本输出。
构造最优决策函数：
（，） （1）
式中，为高维特征空间维数（可能为无穷维），为偏置量；
根据问题求解目标和结构风险最小化的原则，上式需满足如下条件：
（2）
（3）
根据LS-SVM算法，定义误差损失函数为误差的二次项，上述问题可转为
（4）
式中，为惩罚系数，控制对超出误差的样本的惩罚程度。在LS-SVM中，无论训练点的位置如何以及是否有噪声污染，所有训练点在训练中所起的作用都是不变的。然而，在实际应用中，数据的噪声污染不同，以等权值训练时，必将影响模型的精度。模糊LS-SVM算法是给赋予权值来反映样本的重要程度，则
（5）
引入Lagrange乘子，把具有等式约束的二次规划问题转化为无约束优化问题，构造Lagrange函数：
（6）
根据优化条件，分别对，，和求导，得：
（7）
消除和得：
（8）
式中，，，，定义核函数，核函数为满足Mercer条件的任意对称函数，应用较多的核函数有多项式函数，RBF函数，B条样函数、Sigmoid函数以及傅里叶函数等。与其它类型核函数相比，高斯径向基核具有模型选择简单、计算难度小以及效率高的优点。因此，在实际使用过程中倾向于选择高斯径向基核函数。通过式（8）的求解，得到最优解和，则最小二乘支持向量机回归模型为：
（9）
2.2 权值确定
模糊LS-SVM与LS-SVM的区别在于在目标函数中引入了权值。因此，在建模过程中必须确定其值。目前，构造权值函数[10]的方法没有可遵循的一般性准则。本文利用样本到类中心的距离来确定权值的大小。设为类中心点，为类半径，则
（10）
（11）
式中，为第个样本到类中心的欧式距离。则样本的权值函数可表示为
（12）
式中，为很小的正数，为防止。权值与Lagrange乘子相关，其是通过式（8）求得。为解决此问题，令等于1，通过LS-SVM获取Lagrange乘子；然后计算权值，从而构建新的数据集；最后进行模糊LS-SVM训练，计算得到模型参数和。具体建模过程如图1所示。
图1 模糊LS-SVM建模流程图
Figure 1 The modeling process of Fuzzy LS-SVM
3 实例
为了验证该方法用于深基坑变形预测的可行性，本文以某桩锚支护深基坑为例，该工程深10米，根据基坑监测方案，从施工开始到结束每天监测一次。现取监测点1-1（1-1为桩顶水平位移点）为例，该测点共有59期数据，取钱49期数据用于建模，后10期数据用于预测。在建模前，对数据进行归一化处理：
（13）
通过交叉验证法确定合适的径向基（RBF）参数和正则化因子，以训练样本均方根误差（MSE）最小作为精度评定标准，则
（14）
式中，和分别为实测值和预测值。本文分别利用模糊LS-SVM、LS-SVM模型对其进行预测，并与实测结果进行比较分析。
图2 预测结果对比
Figure 2 Comparison of the prediction results
采用交叉验证法得到LS-SVM模型的徑向基函数和正则化因子，模糊LS-SVM模型的径向基函数和正则化因子，得到的预测结果如图2所示。可见模糊LS-SVM的预测结果较LS-SVM预测结果更加接近真实值。详细计算结果如表1所示，均方根误差由1.03降到0.53，这表明该模型预测精度明显提高。 4 结论
模糊最小二乘支持向量机以统计学习理论为基础，较好地解决了有限样本的学习问题，体现传统方法所没有的优点。从实验结果可以看出，模糊LS-SVM模型的预测结果精度明显高于单一的LS-SVM模型，可以较好地提高深基坑的预测精度。这表明将该方法用于深基坑变形预测是切实可行的。
参考文献：
[1] Osman A. S. and Bolton M. D.. Ground movement predictions for braced excavations in undrained clay[J]. J. Geotech. Geoenviron. Eng.，132（4），465-477，2006.
[2] 徐中华，王建华，王卫东. 上海地区深基坑工程地下连续墙的变形性状[J]. 土木工程学报，41（8），81-86，2008.
[3] 刘海燕. 深基坑监测数据分析与变形预测研究[D]. 北京：北京交通大学，2012.
[4] 彭磊，黄张裕，凌晨阳，刘胜男. 基于PSO-SVM模型的深基坑变形预测研究[J]. 工程勘察，3，82-85，2011.
[5] 田执祥，乔春生，滕文彦，刘开云. 基于支持向量机的隧道变形预测方法[J]. 中国铁道科学，25（1），86-90，2004.
[6] 胡昌军. 基于改进相空间重构原理的支持向量机月径流模拟[J]. 水资源与水工程学报，24（4），210-216，2013.
[7] 刁建鹏，刘丽丽. 基于小波变换和支持向量机的高层建筑变形预测[J]. 工程勘察，5，68-70，2013.
[8] 秦栋，郑雪琴，许后磊. 基于提升小波和LS-SVM的大坝变形预测[J]. 水电能源科学，28（9），64-66，2010.
[9] Suykens J. A. K.，Vandewalle J.. Least squares support vector machine chassifiers[J]. Neural Process. Lett.，9（3），293-300，1999.
[10] 刘畅，孙德山. 模糊支持向量機隶属度的确定方法[J]. 计算机过程与应用，44（11），41-42，46，2008.
关键词：深基坑；模糊最小二乘支持向量机；变形预测
1 引言
随着经济的快速发展，城市空间的使用日益紧张，迫使发展地下空间来缓解此矛盾。深基坑工程是其中之一，作为承载建筑上部结构的部分，是一项极其复杂且重要的工程，其稳定与否不仅关系到上部结构的安全，而且还会对周围建筑物的变形产生影响，因此，深基坑变形研究受到越来越多的学者重视[1-2]。由于基坑结构、组成物质的物理力学性质、外力作用的复杂性和不确定性，建立合适的确定性模型很困难。为此，通过揭示变形监测数据序列的规律，建立动态预测模型来反映变形特性是一种有效的方法[3]。支持向量机（SVM）是20世纪90年代由贝尔实验室的Vapnik等人根据统计学习理论提出的一种新型的机器学习算法。其理论是建立在统计学理论和结构风险最小原则基础上的，根据有限的样本信息，在模型的复杂性和学习能力之间寻求最优化，以期获得最好的推广能力[4]。目前，支持向量机已逐步用于高层建筑、大坝等工程项目的变形预测中，并取得了较好的效果[5-7]。最小二乘支持向量机（LS-SVM）是传统支持向量机的一种扩展，求解速度相对较快，能较好地解决小样本、非线性、高维数、局部极小点等时间问题[8]。鉴于此，本文应用模糊LS-SVM建立深基坑变形预测模型，并将预测结果与传统SVM预测结果进行比较。
2 建模理论
2.1模糊最小二乘支持向量机模型
最小二乘支持向量机与传统支持向量机的主要区别在于使用不同的优化目标函数，并且用等式约束代替不等式约束，是一种很有潜力的数据分类和回归工具。其主要思想是通过非线性映射，将输入数据投影到高维特征空间（Hilbert空间），从而将低维非线性回归问题转化为高维特征空间中的线性回归问题。原理如下[9]：
对于给定个样本数据，其中是维输入，是样本输出。
构造最优决策函数：
（，） （1）
式中，为高维特征空间维数（可能为无穷维），为偏置量；
根据问题求解目标和结构风险最小化的原则，上式需满足如下条件：
（2）
（3）
根据LS-SVM算法，定义误差损失函数为误差的二次项，上述问题可转为
（4）
式中，为惩罚系数，控制对超出误差的样本的惩罚程度。在LS-SVM中，无论训练点的位置如何以及是否有噪声污染，所有训练点在训练中所起的作用都是不变的。然而，在实际应用中，数据的噪声污染不同，以等权值训练时，必将影响模型的精度。模糊LS-SVM算法是给赋予权值来反映样本的重要程度，则
（5）
引入Lagrange乘子，把具有等式约束的二次规划问题转化为无约束优化问题，构造Lagrange函数：
（6）
根据优化条件，分别对，，和求导，得：
（7）
消除和得：
（8）
式中，，，，定义核函数，核函数为满足Mercer条件的任意对称函数，应用较多的核函数有多项式函数，RBF函数，B条样函数、Sigmoid函数以及傅里叶函数等。与其它类型核函数相比，高斯径向基核具有模型选择简单、计算难度小以及效率高的优点。因此，在实际使用过程中倾向于选择高斯径向基核函数。通过式（8）的求解，得到最优解和，则最小二乘支持向量机回归模型为：
（9）
2.2 权值确定
模糊LS-SVM与LS-SVM的区别在于在目标函数中引入了权值。因此，在建模过程中必须确定其值。目前，构造权值函数[10]的方法没有可遵循的一般性准则。本文利用样本到类中心的距离来确定权值的大小。设为类中心点，为类半径，则
（10）
（11）
式中，为第个样本到类中心的欧式距离。则样本的权值函数可表示为
（12）
式中，为很小的正数，为防止。权值与Lagrange乘子相关，其是通过式（8）求得。为解决此问题，令等于1，通过LS-SVM获取Lagrange乘子；然后计算权值，从而构建新的数据集；最后进行模糊LS-SVM训练，计算得到模型参数和。具体建模过程如图1所示。
图1 模糊LS-SVM建模流程图
Figure 1 The modeling process of Fuzzy LS-SVM
3 实例
为了验证该方法用于深基坑变形预测的可行性，本文以某桩锚支护深基坑为例，该工程深10米，根据基坑监测方案，从施工开始到结束每天监测一次。现取监测点1-1（1-1为桩顶水平位移点）为例，该测点共有59期数据，取钱49期数据用于建模，后10期数据用于预测。在建模前，对数据进行归一化处理：
（13）
通过交叉验证法确定合适的径向基（RBF）参数和正则化因子，以训练样本均方根误差（MSE）最小作为精度评定标准，则
（14）
式中，和分别为实测值和预测值。本文分别利用模糊LS-SVM、LS-SVM模型对其进行预测，并与实测结果进行比较分析。
图2 预测结果对比
Figure 2 Comparison of the prediction results
采用交叉验证法得到LS-SVM模型的徑向基函数和正则化因子，模糊LS-SVM模型的径向基函数和正则化因子，得到的预测结果如图2所示。可见模糊LS-SVM的预测结果较LS-SVM预测结果更加接近真实值。详细计算结果如表1所示，均方根误差由1.03降到0.53，这表明该模型预测精度明显提高。 4 结论
模糊最小二乘支持向量机以统计学习理论为基础，较好地解决了有限样本的学习问题，体现传统方法所没有的优点。从实验结果可以看出，模糊LS-SVM模型的预测结果精度明显高于单一的LS-SVM模型，可以较好地提高深基坑的预测精度。这表明将该方法用于深基坑变形预测是切实可行的。
参考文献：
[1] Osman A. S. and Bolton M. D.. Ground movement predictions for braced excavations in undrained clay[J]. J. Geotech. Geoenviron. Eng.，132（4），465-477，2006.
[2] 徐中华，王建华，王卫东. 上海地区深基坑工程地下连续墙的变形性状[J]. 土木工程学报，41（8），81-86，2008.
[3] 刘海燕. 深基坑监测数据分析与变形预测研究[D]. 北京：北京交通大学，2012.
[4] 彭磊，黄张裕，凌晨阳，刘胜男. 基于PSO-SVM模型的深基坑变形预测研究[J]. 工程勘察，3，82-85，2011.
[5] 田执祥，乔春生，滕文彦，刘开云. 基于支持向量机的隧道变形预测方法[J]. 中国铁道科学，25（1），86-90，2004.
[6] 胡昌军. 基于改进相空间重构原理的支持向量机月径流模拟[J]. 水资源与水工程学报，24（4），210-216，2013.
[7] 刁建鹏，刘丽丽. 基于小波变换和支持向量机的高层建筑变形预测[J]. 工程勘察，5，68-70，2013.
[8] 秦栋，郑雪琴，许后磊. 基于提升小波和LS-SVM的大坝变形预测[J]. 水电能源科学，28（9），64-66，2010.
[9] Suykens J. A. K.，Vandewalle J.. Least squares support vector machine chassifiers[J]. Neural Process. Lett.，9（3），293-300，1999.
[10] 刘畅，孙德山. 模糊支持向量機隶属度的确定方法[J]. 计算机过程与应用，44（11），41-42，46，2008.