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摘要：数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学模型思想就是通过对数学模型的研究来解决现实问题的一种数学思想方法。小学数学教学中，渗透模型思想的做法有：沟通新旧知识，建构数学模型;创设认知冲突，夯实数学模型;精练再生经验，优化数学模型;贯通学习方法，重构数学模型。
关键词：小学数学模型思想认知冲突再生经验
数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。模型思想就是通过对数学模型的研究来解决现实问题的一种数学思想方法。小学数学中的数学模型主要有数的概念、计算法则、公式、性质、数量关系等。下面，结合一些具体的案例，谈一谈笔者对小学数学教学中模型思想的渗透的思考。
一、沟通新旧知识，建构数学模型
郑毓信教授曾提出“基础知识不应求全，而应求联”的观点。教学中，教师应力求沟通新旧知识的内在联系，便于学生更加轻松地建构数学模型。
例如，特级教师嵇宪长教学《认识平均分》一课时，是这样沟通新旧知识的——
师（板书：分）今天要学的内容，跟这个字有关。说起“分”，小朋友最熟悉的莫过于一年级学过的“数的组成”了。下面，就请跟着老师一起回忆一下这些数的组成，说一说4、6、8可以分成几和几。
（教师根据学生的回答出示如图1所示的4、6、8的分解式。学生齐读后，发现分法特别的三组：4可以分成2和2;6可以分成3和3;8可以分成4和4。）
师这一份是2，这一份也是2，分得——
生很整齐。
师很公平。数学上给它起个特别的名字，叫作“平均分”。那怎样才是平均分呢？
生每份分得同样多！
师那另外的分法为什么不是平均分？
生4可以分成1和3，不是平均分，因为一份是1，一份是3;4可以分成3和1，也不是平均分，因为一份是3，一份是1。
……
本片段中，教师充分沟通新旧知识，引导学生借用一年级学过的“数的组成”知识来认识平均分这种特殊的分法，直观地凸显了平均分的本质——每份同样多，完成了“平均分”模型的初步建构。
二、引发认知冲突，夯实数学模型
郑毓信教授同时也提出“基本技能不应求全，而应求变”的观点。在学生形成技能的过程中，教师要通过变化来引发认知冲突，从而帮助学生在思辨中夯实数学模型。
仍以嵇老师的《认识平均分》一课为例。学生借助“数的组成”理解平均分成2份后，教师通过变式提问，引发学生的认知冲突：“如果老师给你一个‘3’，你能把它平均分吗？”绝大部分学生认为不能，因为分成的一份是2个，一份是1个。教师追问：“能不能让它每份分得同样多呢？”有学生說：“能！再加1个。”教师强调条件：“不改变总数，如何分才能做到每份分得同样多？”经过一段时间的思考，有学生说：“平均分成3份。”教师小结：“刚才同学们说不能，是不能平均分成2份。平均分成3份就能了。这说明，平均分的时候，可以根据需要把总数分成2份、3份、4份……”
本片段中，针对学生可能形成思维定式“平均分就是分成2份”的情况，教师引发了他们的认知冲突——将3平均分，让学生在拓展“份数”的过程中深入理解平均分，从而夯实了“平均分”的数学模型。
三、精练再生经验，优化数学模型
再生经验是指在相同的活动情境下，学生根据前一次活动经验照着模式套用，完成后一次活动情境中的数学任务，再生活动经验。由于班级授课制的特殊性，教学中更多地借助学生的原初经验，形成再生经验，然后利用再生经验解决学习中的大部分问题。精练学生的再生经验，有利于学生发现自己应用数学模型解决现实问题的局限性，从而优化数学模型。
例如，特级教师徐长青教学《烙饼问题》一课时，是这样精练学生的再生经验的——
将饼分为能运用“资源数”的偶数张、奇数（不含1）张及不能运用“资源数”的1张。相比较而言，学生理解偶数张饼的情况要简单一些，所以教学从这里开始。教师先让学生默读题干：每次只能烙2张饼，每面都要烙，每面3分钟。然后引导学生理解“每次只能烙2张饼”的含义：3张行不行？1张行不行？为什么不行？学生很轻松地回答：3张不行，1张行，因为每次只能烙最多2张。接着，多媒体演示烙饼过程：2张饼一起烙，用时6分钟。引导学生小结得到经验：2张饼同时烙，最短的时间为6分钟。处理4张饼的情况时，学生直接把2张饼的经验进行了再生。教师归纳并板书：经验+经验=新经验。处理6张饼的情况后，教师组织学生优化解决策略：将新问题转化为老问题。
接着，处理奇数张饼的情况。对于烙3张饼的时间，学生出现了9分钟和12分钟两种答案：计算时发现，3张饼，共6面，每次同时烙2张饼，6÷2=3（次），3×3=9（分钟）;可演示时却发现，2张饼烙6分钟，1张饼也烙6分钟，共12分钟。教师及时点拨：9分钟的时候，只放了1张饼，浪费了。怎么办？学生豁然开朗：烙一次，拿走1张半熟的，再放1张生的上去;再烙一次，拿走1张全熟的，再放1张半熟的上去;再烙一次。教师小结：3张饼可以交替烙。至此，学生的再生经验得到了精练，并初步建立了“同时烙+交替烙”的烙饼模型。运用这一模型，学生发现5张饼、7张饼……的情况都能顺利处理。在此基础上，学生发现：每增加1张饼，多3分钟;每减少1张饼，少3分钟。
教学顺理成章地过渡到第三个层次——特殊的1张饼的情况。学生发现此时不符合奇数张饼的烙饼模型——只有1张饼，不能同时烙，也不能交替烙。教师顺势介绍“资源数”2，只有2张饼及以上才能充分利用资源，1张饼不能充分利用资源。那怎样才能利用“资源数”呢？学生突发奇想：把锅切成两半！教师总结提升：所以，现在市场上也有了两面同时烙的电饼铛。改变环境与条件，同样也是一种优化。 徐老师的课上，学生历经了三次再生经验的精练，数学模型也随之逐渐优化：第一次，由2张饼的情况再生到偶数张饼的情况，建立同时烙的模型;第二次，再生到奇数张饼的情况，优化得到“同时烙+交替烙”的模型;第三次，再生到“资源数”，从根本上重建并优化出“改变环境与条件”的模型。
四、贯通学习方法，重构数学模型
数学模型的重构不是简单的复原，而是更深刻的理解，是围绕解决现实问题的重建。随着学生认知活动的不断深入，学生建构的数学模型有时会出现某些偏差，会对数学学习起负迁移作用。因此，就有必要引导学生在更高层次上不断对已有模型进行重构，将其“扩建”成为一个更大的模型结构。这样，学生思考问题会更深刻，对数学模型的理解会更透彻，更重要的是，思维会变得更加理性。
例如，教学苏教版小学数学五年级上册《小数加法和减法》一课，教师出示例1情境图和问题（如图2），让学生尝试用竖式计算。学生小组讨论后，交流算法。有学生是这样算的：4.75元是475分，3.4元是340分，5+0=5（分），7+4=11（角），留下1角，另外10角换成1元，和4元、3元加在一起，为8元，一共就是8元1角5分，所以列竖式时，末尾对齐相加。还有学生是这样算的：4个“1”和3个“1”加，7个“110”和4个“110”加，5个“1100”跟自己（0）加，所以列竖式时，小数点对齐相加。这时，教师引导学生讨论两种算法的共同点，发现：都是同样的计量或计数单位相加;表现在计算方法上，看似一个是末尾对齐相加，另一个是小数点对齐相加，但实质都是相同数位对齐相加。从而明确：改变计数单位，小数加法就可以变成整数加法。即4.75+3.4，可以看成是475个“1100”加340个“1100”，得815个“1100”，就是8.15。同理，小数减法也可以与整数减法的学习方法贯通。
（1） 小明和小丽一共要用多少元？
由于小数是整数的一次扩展认识，因此在很多方面与整数有着共通之处：十进制的计数法，相同数位对齐的算理，等等。在教学中贯通这些學习方法，可使学生发现不同数学模型的相同本质，重构更大的数学模型。
参考文献：
[1] 司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用（第2版）[M].北京：国防工业出版社，2015.
[2] 杨凯，王真红.学生学习内容疑难问题解析——小学数学[M].长春：东北师范大学出版社，2012.
关键词：小学数学模型思想认知冲突再生经验
数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。模型思想就是通过对数学模型的研究来解决现实问题的一种数学思想方法。小学数学中的数学模型主要有数的概念、计算法则、公式、性质、数量关系等。下面，结合一些具体的案例，谈一谈笔者对小学数学教学中模型思想的渗透的思考。
一、沟通新旧知识，建构数学模型
郑毓信教授曾提出“基础知识不应求全，而应求联”的观点。教学中，教师应力求沟通新旧知识的内在联系，便于学生更加轻松地建构数学模型。
例如，特级教师嵇宪长教学《认识平均分》一课时，是这样沟通新旧知识的——
师（板书：分）今天要学的内容，跟这个字有关。说起“分”，小朋友最熟悉的莫过于一年级学过的“数的组成”了。下面，就请跟着老师一起回忆一下这些数的组成，说一说4、6、8可以分成几和几。
（教师根据学生的回答出示如图1所示的4、6、8的分解式。学生齐读后，发现分法特别的三组：4可以分成2和2;6可以分成3和3;8可以分成4和4。）
师这一份是2，这一份也是2，分得——
生很整齐。
师很公平。数学上给它起个特别的名字，叫作“平均分”。那怎样才是平均分呢？
生每份分得同样多！
师那另外的分法为什么不是平均分？
生4可以分成1和3，不是平均分，因为一份是1，一份是3;4可以分成3和1，也不是平均分，因为一份是3，一份是1。
……
本片段中，教师充分沟通新旧知识，引导学生借用一年级学过的“数的组成”知识来认识平均分这种特殊的分法，直观地凸显了平均分的本质——每份同样多，完成了“平均分”模型的初步建构。
二、引发认知冲突，夯实数学模型
郑毓信教授同时也提出“基本技能不应求全，而应求变”的观点。在学生形成技能的过程中，教师要通过变化来引发认知冲突，从而帮助学生在思辨中夯实数学模型。
仍以嵇老师的《认识平均分》一课为例。学生借助“数的组成”理解平均分成2份后，教师通过变式提问，引发学生的认知冲突：“如果老师给你一个‘3’，你能把它平均分吗？”绝大部分学生认为不能，因为分成的一份是2个，一份是1个。教师追问：“能不能让它每份分得同样多呢？”有学生說：“能！再加1个。”教师强调条件：“不改变总数，如何分才能做到每份分得同样多？”经过一段时间的思考，有学生说：“平均分成3份。”教师小结：“刚才同学们说不能，是不能平均分成2份。平均分成3份就能了。这说明，平均分的时候，可以根据需要把总数分成2份、3份、4份……”
本片段中，针对学生可能形成思维定式“平均分就是分成2份”的情况，教师引发了他们的认知冲突——将3平均分，让学生在拓展“份数”的过程中深入理解平均分，从而夯实了“平均分”的数学模型。
三、精练再生经验，优化数学模型
再生经验是指在相同的活动情境下，学生根据前一次活动经验照着模式套用，完成后一次活动情境中的数学任务，再生活动经验。由于班级授课制的特殊性，教学中更多地借助学生的原初经验，形成再生经验，然后利用再生经验解决学习中的大部分问题。精练学生的再生经验，有利于学生发现自己应用数学模型解决现实问题的局限性，从而优化数学模型。
例如，特级教师徐长青教学《烙饼问题》一课时，是这样精练学生的再生经验的——
将饼分为能运用“资源数”的偶数张、奇数（不含1）张及不能运用“资源数”的1张。相比较而言，学生理解偶数张饼的情况要简单一些，所以教学从这里开始。教师先让学生默读题干：每次只能烙2张饼，每面都要烙，每面3分钟。然后引导学生理解“每次只能烙2张饼”的含义：3张行不行？1张行不行？为什么不行？学生很轻松地回答：3张不行，1张行，因为每次只能烙最多2张。接着，多媒体演示烙饼过程：2张饼一起烙，用时6分钟。引导学生小结得到经验：2张饼同时烙，最短的时间为6分钟。处理4张饼的情况时，学生直接把2张饼的经验进行了再生。教师归纳并板书：经验+经验=新经验。处理6张饼的情况后，教师组织学生优化解决策略：将新问题转化为老问题。
接着，处理奇数张饼的情况。对于烙3张饼的时间，学生出现了9分钟和12分钟两种答案：计算时发现，3张饼，共6面，每次同时烙2张饼，6÷2=3（次），3×3=9（分钟）;可演示时却发现，2张饼烙6分钟，1张饼也烙6分钟，共12分钟。教师及时点拨：9分钟的时候，只放了1张饼，浪费了。怎么办？学生豁然开朗：烙一次，拿走1张半熟的，再放1张生的上去;再烙一次，拿走1张全熟的，再放1张半熟的上去;再烙一次。教师小结：3张饼可以交替烙。至此，学生的再生经验得到了精练，并初步建立了“同时烙+交替烙”的烙饼模型。运用这一模型，学生发现5张饼、7张饼……的情况都能顺利处理。在此基础上，学生发现：每增加1张饼，多3分钟;每减少1张饼，少3分钟。
教学顺理成章地过渡到第三个层次——特殊的1张饼的情况。学生发现此时不符合奇数张饼的烙饼模型——只有1张饼，不能同时烙，也不能交替烙。教师顺势介绍“资源数”2，只有2张饼及以上才能充分利用资源，1张饼不能充分利用资源。那怎样才能利用“资源数”呢？学生突发奇想：把锅切成两半！教师总结提升：所以，现在市场上也有了两面同时烙的电饼铛。改变环境与条件，同样也是一种优化。 徐老师的课上，学生历经了三次再生经验的精练，数学模型也随之逐渐优化：第一次，由2张饼的情况再生到偶数张饼的情况，建立同时烙的模型;第二次，再生到奇数张饼的情况，优化得到“同时烙+交替烙”的模型;第三次，再生到“资源数”，从根本上重建并优化出“改变环境与条件”的模型。
四、贯通学习方法，重构数学模型
数学模型的重构不是简单的复原，而是更深刻的理解，是围绕解决现实问题的重建。随着学生认知活动的不断深入，学生建构的数学模型有时会出现某些偏差，会对数学学习起负迁移作用。因此，就有必要引导学生在更高层次上不断对已有模型进行重构，将其“扩建”成为一个更大的模型结构。这样，学生思考问题会更深刻，对数学模型的理解会更透彻，更重要的是，思维会变得更加理性。
例如，教学苏教版小学数学五年级上册《小数加法和减法》一课，教师出示例1情境图和问题（如图2），让学生尝试用竖式计算。学生小组讨论后，交流算法。有学生是这样算的：4.75元是475分，3.4元是340分，5+0=5（分），7+4=11（角），留下1角，另外10角换成1元，和4元、3元加在一起，为8元，一共就是8元1角5分，所以列竖式时，末尾对齐相加。还有学生是这样算的：4个“1”和3个“1”加，7个“110”和4个“110”加，5个“1100”跟自己（0）加，所以列竖式时，小数点对齐相加。这时，教师引导学生讨论两种算法的共同点，发现：都是同样的计量或计数单位相加;表现在计算方法上，看似一个是末尾对齐相加，另一个是小数点对齐相加，但实质都是相同数位对齐相加。从而明确：改变计数单位，小数加法就可以变成整数加法。即4.75+3.4，可以看成是475个“1100”加340个“1100”，得815个“1100”，就是8.15。同理，小数减法也可以与整数减法的学习方法贯通。
（1） 小明和小丽一共要用多少元？
由于小数是整数的一次扩展认识，因此在很多方面与整数有着共通之处：十进制的计数法，相同数位对齐的算理，等等。在教学中贯通这些學习方法，可使学生发现不同数学模型的相同本质，重构更大的数学模型。
参考文献：
[1] 司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用（第2版）[M].北京：国防工业出版社，2015.
[2] 杨凯，王真红.学生学习内容疑难问题解析——小学数学[M].长春：东北师范大学出版社，2012.