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一般来说，学前儿童加减运算能力的发展有三个阶段的水平，即动作水平、表象水平、概念水平，顺应从具体到抽象的认知发展规律。相应地，在学前儿童数运算的集体教学活动中，教师通常会根据儿童年龄的增加和数运算水平的提高。先后实施实物加减教学、口述应用题教学和列式运算教学。这三种教学形式所侧重的数学表征形式各不相同，实物加减教学侧重的是实物情境表征和教具模型表征，口述应用题教学侧重的是口语表征，列式运算教学侧重的是符号表征和图形图表表征。在学前儿童数运算教学中，这三种教学形式在很多情况下往往会被割裂而分别呈现在幼儿面前，通常最后会以能否进行列式运算来衡量儿童的数运算能力。事实上，儿童数运算能力的发展是一个复杂的螺旋式上升的过程。根据多元表征教学理念。数学教学不应该仅仅以幼儿能够对数学符号进行认知、操作为目的。当缺乏实物情境表征、动作表征、口语表征等其他形式的表征经验时，幼儿即使能够进行列式运算，也完全可能是机械记忆数学符号的结果，幼儿可能尚未理解算式所表示的数运算概念。因此，衡量学前儿童数运算发展水平的关键在于：能够感知与发现隐含在情境中的数运算概念，能够对数运算概念进行多种形式的表征，以及能够在数运算概念的多种表征形式之间灵活地进行联系与迁移。
数学集体教学活动“姜饼人”借助一个有趣的故事情境帮助幼儿体验和发现故事情节中的数运算概念，巧妙地融合了实物加减教学、口述应用题教学和列式运算教学三种教学形式。在多元表征环境中感知数运算概念的基础上，幼儿逐步运用各种形式尝试对数运算概念进行表征，并试图建构起不同表征形式之间的联系。从而加深对数运算概念的理解。“姜饼人”中所蕴含的数学核心概念是数运算中的数量变化，即给一个集合里添加物体能使集合变大。下面我们就来看看“姜饼人”的活动设计是如何体现多元表征的数运算集体教学活动设计理念并达到活动目的的。
一、提供多种材料以融合实物加减教学和口述应用题教学，让幼儿在实物情境表征、口语表征和动作表征中初步感知故事情节中的数运算问题
首先是导入环节，即欣赏故事。教师边讲述“姜饼人”的故事，边根据情节发展在背景图板或PPT上添加人物形象。故事中，老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠和小熊会依次出场，一个接一个地来追逃跑的姜饼人。教师通过添加入物图片让幼儿直观地看人物逐渐增多，这就是实物情境表征形式。同时，“瞧，人越来越多，队伍也变得越来越长了”的故事语言也让幼儿从口语上感知了这一数量变化，这是口语表征形式。在讲故事环节，幼儿接受了实物情境表征形式和口语表征形式，对相关的数运算概念有了初步的感知。讲完故事后，教师向幼儿提出了两个问题：发生了什么事情？哪些人来追姜饼人了？通过问答，一方面可以让幼儿熟悉故事情节。激发幼儿的兴趣与信心，为之后的表演环节作铺垫；另一方面可以让幼儿自己运用口语表征形式来表达相关数运算概念，从而达到进一步感知的目的。
接下来，进入表演环节。教师请6名幼儿进行第一次表演，小演员们根据生活经验和小观众们的友情提示尽情表演，“老奶奶”“老爷爷”步履蹒跚、慈眉善目；“松鼠”声音清脆、动作灵巧；“小熊”步履沉重、憨态可掬；“老黄牛”竟然真的趴在地上四“腿”着地地跑，一副气喘吁吁的样子。通过表演，孩子们的情绪被完全调动起来了。对于台下的小观众来说，看表演也是一次实物情境表征，比之前的看人物图片更加逼真；而对于台上的小演员来说，自己的角色表演其实就是对相关数运算概念的动作表征。动作表征在学前儿童数学学习中具有很重要的作用。从多元表征的种类来分析，动作表征属于教具模型表征中的一种。一方面。动作表征具体而直观，符合学前儿童的数学学习特点。通过角色表演，幼儿可以身临其境，直观地感受故事中人物的数量变化，这有利于幼儿理解数运算中的数最变化。另一方面，动作表征要求幼儿动起来，用自身的动作来表征数学概念，这满足了幼儿好动、喜游戏的本性。在活动中，幼儿可以自由地根据已有经验来设计角色的动作和语气，从而使数学学习变得更加开放和有趣。
二、运用恰当的语言进行师幼互动，以澄清故事中的数运算问题，加深幼儿对数运算概念的理解
在进行第二次表演时。教师通过提问引导幼儿对故事情境中的数学问题进行思考。在表演过程中，教师慢慢地加入了一些数学元素，如进行旁白时有意识地抛出这样的问题：“又来了一个谁。现在几个人了？”“现在一共有几个人在追姜饼人了呀？”通过师幼之间的问答，幼儿开始关注故事情节中的数量变化，并逐渐感知到，本来是老奶奶一个人在追姜饼人，加上了一个老爷爷，就变成两个人在追姜饼人了，再加上老黄牛，就变成三个人在追姜饼人了……最后一共有五个人在追姜饼人。这种基于语言的师幼互动能够引导幼儿运用口语表征数量变化，促使幼儿将内在表征转化为外在表征，建构起不同表征形式之间的联系，从而加深对“给一个集合里添加物体能使集合变大”这一数量变化的理解。
三、在实物加减教学和口述应用题教学的基础上进行列式运算教学。鼓励幼儿运用数学符号来表征故事情节中的数运算概念。培养幼儿的符号表征能力
在进行第三次表演时，教师引导幼儿尝试用算式表示故事中发生的事情。虽然对大班幼儿来说，故事中1 1=2、2 1=3、3 1=4、4 1=5的数运算并非难点，但这些数量关系和算法是隐含在故事情节中的，幼儿需要通过积极思考，从情境中抽象出数运算概念，才能正确列出算式。这是一个幼儿对故事中变量和数量关系进行分析、判断、综合的思维过程，需要幼儿抓住数运算概念的本质，打破不同表征之间的界限，实现不同表征形式之间的迁移。这一思维过程需要完成从表象认知到抽象认知的转换。这无疑对幼儿的抽象思维和推理能力提出了一定的挑战。需要指出的是，幼儿根据故事情节正确地说出算式后，教师应该鼓励幼儿说出其中的道理。这一点非常重要，因为这能反映出幼儿对故事情节中所蕴含的数学问题的理解，以及学习使用语言来表达和分享思维过程。
“姜饼人”的各活动环节环环相扣、层层递进。其中多元表征的活动设计理念主要体现在两个方面：一是教师创设了一个多元表征的教学环境，让幼儿沉浸在实物情境表征、口语表征和符号表征等多种表征形式的环境中感知相关数运算概念；二是教师有目的地鼓励幼儿利用动作表征、口语表征和符号表征等多种表征形式对相关数运算概念进行自主表达，以加深幼儿的理解。 四、灵活推动故事情节发展誊鼓励幼儿运用符号来表征故事情节中的其他数运算概念、并在区角活动中进行逆向操作，以培养幼儿双向转化的表征能力
根据幼儿的反应和教学效果，教师可在本次或第二次集体教学活动中进一步展开故事情节，以鼓励幼儿运用数学符号来表征故事情节中的其他数运算概念。教师可通过故事续编来帮助幼儿感知数运算概念。例如，续编“兔子双胞胎姐妹也来帮忙了，加入了大伙的队伍”，帮助幼儿感知“ 2”的数运算概念；又如，续编“老奶奶跑不动了，停下来歇歇……老爷爷也跑不动了，也停下来歇歇”，帮助幼儿感知“-1”的数运算概念。教师可根据本班幼儿的数运算水平灵活地调整活动目标以及相应的故事情节。
在活动结束后，教师可在区角活动中开辟一处小舞台，让幼儿表演《姜饼人》剧目。教师应提供各种道具，并确定规则：小观众可用算式卡片点戏，小演员需根据算式卡片编戏、演戏。在游戏过程中，教师可适当与个别幼儿互动，帮助幼儿理解数运算概念。根据算式创编故事，本质上是一个从符号表征到实物情境表征的过程，是抽象到具体的转化，是集体教学活动“姜饼人”中实物情境表征向符号表征转化的反操作，一方面能够培养幼儿思维的逆向性和灵活性，另一方面也能激发幼儿在同一个数运算概念的不同表征形式之间灵活地进行双向迁移，达到真正理解数运算概念的目的。
从数学集体教学活动“姜饼人”中我们可以看出：一方面，多元表征是幼儿进行数运算学习的有效途径；另一方面，多元表征也是幼儿真正理解数运算概念的真实反映。可以说，多元表征既是幼儿数学教学的手段，也是幼儿数学教学的目的。
附：姜饼人（大班）
钱丽珍/执教
目标：
1.理解故事情节，尝试用多种方式表示姜饼人逃跑过程中的数量变化。
2.体验故事表演的乐趣。
准备：
1.故事背景图、人物图片（姜饼人、老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠、小熊等）。
2.装扮道具（围裙、牛角头箍、自制松鼠尾巴、拐杖、自制熊掌等）。
3.算式卡片（1 1=2、2 1=3、3 1=4、4 1=5等）。
过程：
一、欣赏故事
师：今天我来和你们说一个姜饼人的故事。仔细听一听，故事里的姜饼人会发生什么事情呢？
1.教师边讲述故事《姜饼人》，边演示人物图片。讲述故事时，人物对话和旁白中“又来了一头老黄牛”“小松鼠也来了”“小熊也来帮忙”“人越来越多，队伍也越来越长了”等要作为重音强调。演示人物图片时，要通过图片之间距离的变化来显示人物一个一个加入的过程。
在森林的小木屋里，一个老奶奶做了一个漂亮的姜饼人。正在老奶奶得意的时候，姜饼人一下子从桌子上站了起来，冲出了门外逃走了。
老奶奶发现了马上去追姜饼人，边追边说：“站住站住！”姜饼人很得意地说：“你抓不住我，因为我是姜饼人！”
老爷爷看见了，也拄着拐杖追了上来，边追边说：“站住站住！”姜饼人说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
老奶奶、老爷爷追着姜饼人跑啊跑，又来了一头老黄牛。老黄牛边追边说：“站住站住！”可姜饼人哈哈大笑：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
瞧，人越来越多，队伍也变得越来越长了。
快看，小松鼠也来了，它甩动着大尾巴边追边说：“站住站住！”可姜饼人大笑着说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
最后，小熊也来帮忙，它摇晃着胖乎乎的身体。边追边说：“站住站住！”姜饼人还是说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
人越来越多了，姜饼人回头得意地说：“哈哈，看我多厉害，这么多人都抓不住我，因为我是姜饼人！”
2.教师提问：发生了什么事情？哪些人来追姜饼人了？
师（小结）：老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠和小熊一个接着一个来追姜饼人了，人越来越多，队伍也越来越长了。
二、故事表演
师：姜饼人的故事真有趣，我们大家一起来表演一下吧！哪个小朋友想演谁就用动作来告诉大家，大家猜出来了就请他来表演。你们确定好之后可以用道具装扮一下自己。不表演的小朋友当观众，一边观看表演一边讲故事。
1.第一次表演。重点是熟悉故事内容。
2.第二次表演。重点是在故事表演的同时，教师和幼儿进行问答。如，“又来了一个谁，现在一共有几个人在追姜饼人了？”“队伍里一共有几个人？”
3.第三次表演。重点是在故事表演的同时，教师引导幼儿用算式归纳出故事情节的发展变化。如，能不能用一道算式来表示？问答后，教师边总结边出示算式“1 1=2”“2 1=3”“3 1=4”等，并以“2 1=3”为例，引导幼儿说说算式中每个数字所表示的意义，如“2”表示姜饼人和老奶奶，“1”表示老爷爷，“3”表示现在队伍里一共有3个人。
三、延伸活动
1.教师可根据本班幼儿的数运算水平和实际教学情况，灵活地展开相应的故事情节。如，兔子双胞胎姐妹也来帮忙了，加入了大伙的队伍……老奶奶跑不动了，停下来歇歇……老爷爷也跑不动了，也停下来歇歇……引导幼儿列出相应的算式，理解“ 2”“-1”等数运算概念。
2.教师提供各种道具，在区角活动中开辟一处用于表演《姜饼人》剧目的小舞台，小观众可用算式卡片点戏，小演员需根据算式卡片编戏、演戏。
数学集体教学活动“姜饼人”借助一个有趣的故事情境帮助幼儿体验和发现故事情节中的数运算概念，巧妙地融合了实物加减教学、口述应用题教学和列式运算教学三种教学形式。在多元表征环境中感知数运算概念的基础上，幼儿逐步运用各种形式尝试对数运算概念进行表征，并试图建构起不同表征形式之间的联系。从而加深对数运算概念的理解。“姜饼人”中所蕴含的数学核心概念是数运算中的数量变化，即给一个集合里添加物体能使集合变大。下面我们就来看看“姜饼人”的活动设计是如何体现多元表征的数运算集体教学活动设计理念并达到活动目的的。
一、提供多种材料以融合实物加减教学和口述应用题教学，让幼儿在实物情境表征、口语表征和动作表征中初步感知故事情节中的数运算问题
首先是导入环节，即欣赏故事。教师边讲述“姜饼人”的故事，边根据情节发展在背景图板或PPT上添加人物形象。故事中，老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠和小熊会依次出场，一个接一个地来追逃跑的姜饼人。教师通过添加入物图片让幼儿直观地看人物逐渐增多，这就是实物情境表征形式。同时，“瞧，人越来越多，队伍也变得越来越长了”的故事语言也让幼儿从口语上感知了这一数量变化，这是口语表征形式。在讲故事环节，幼儿接受了实物情境表征形式和口语表征形式，对相关的数运算概念有了初步的感知。讲完故事后，教师向幼儿提出了两个问题：发生了什么事情？哪些人来追姜饼人了？通过问答，一方面可以让幼儿熟悉故事情节。激发幼儿的兴趣与信心，为之后的表演环节作铺垫；另一方面可以让幼儿自己运用口语表征形式来表达相关数运算概念，从而达到进一步感知的目的。
接下来，进入表演环节。教师请6名幼儿进行第一次表演，小演员们根据生活经验和小观众们的友情提示尽情表演，“老奶奶”“老爷爷”步履蹒跚、慈眉善目；“松鼠”声音清脆、动作灵巧；“小熊”步履沉重、憨态可掬；“老黄牛”竟然真的趴在地上四“腿”着地地跑，一副气喘吁吁的样子。通过表演，孩子们的情绪被完全调动起来了。对于台下的小观众来说，看表演也是一次实物情境表征，比之前的看人物图片更加逼真；而对于台上的小演员来说，自己的角色表演其实就是对相关数运算概念的动作表征。动作表征在学前儿童数学学习中具有很重要的作用。从多元表征的种类来分析，动作表征属于教具模型表征中的一种。一方面。动作表征具体而直观，符合学前儿童的数学学习特点。通过角色表演，幼儿可以身临其境，直观地感受故事中人物的数量变化，这有利于幼儿理解数运算中的数最变化。另一方面，动作表征要求幼儿动起来，用自身的动作来表征数学概念，这满足了幼儿好动、喜游戏的本性。在活动中，幼儿可以自由地根据已有经验来设计角色的动作和语气，从而使数学学习变得更加开放和有趣。
二、运用恰当的语言进行师幼互动，以澄清故事中的数运算问题，加深幼儿对数运算概念的理解
在进行第二次表演时。教师通过提问引导幼儿对故事情境中的数学问题进行思考。在表演过程中，教师慢慢地加入了一些数学元素，如进行旁白时有意识地抛出这样的问题：“又来了一个谁。现在几个人了？”“现在一共有几个人在追姜饼人了呀？”通过师幼之间的问答，幼儿开始关注故事情节中的数量变化，并逐渐感知到，本来是老奶奶一个人在追姜饼人，加上了一个老爷爷，就变成两个人在追姜饼人了，再加上老黄牛，就变成三个人在追姜饼人了……最后一共有五个人在追姜饼人。这种基于语言的师幼互动能够引导幼儿运用口语表征数量变化，促使幼儿将内在表征转化为外在表征，建构起不同表征形式之间的联系，从而加深对“给一个集合里添加物体能使集合变大”这一数量变化的理解。
三、在实物加减教学和口述应用题教学的基础上进行列式运算教学。鼓励幼儿运用数学符号来表征故事情节中的数运算概念。培养幼儿的符号表征能力
在进行第三次表演时，教师引导幼儿尝试用算式表示故事中发生的事情。虽然对大班幼儿来说，故事中1 1=2、2 1=3、3 1=4、4 1=5的数运算并非难点，但这些数量关系和算法是隐含在故事情节中的，幼儿需要通过积极思考，从情境中抽象出数运算概念，才能正确列出算式。这是一个幼儿对故事中变量和数量关系进行分析、判断、综合的思维过程，需要幼儿抓住数运算概念的本质，打破不同表征之间的界限，实现不同表征形式之间的迁移。这一思维过程需要完成从表象认知到抽象认知的转换。这无疑对幼儿的抽象思维和推理能力提出了一定的挑战。需要指出的是，幼儿根据故事情节正确地说出算式后，教师应该鼓励幼儿说出其中的道理。这一点非常重要，因为这能反映出幼儿对故事情节中所蕴含的数学问题的理解，以及学习使用语言来表达和分享思维过程。
“姜饼人”的各活动环节环环相扣、层层递进。其中多元表征的活动设计理念主要体现在两个方面：一是教师创设了一个多元表征的教学环境，让幼儿沉浸在实物情境表征、口语表征和符号表征等多种表征形式的环境中感知相关数运算概念；二是教师有目的地鼓励幼儿利用动作表征、口语表征和符号表征等多种表征形式对相关数运算概念进行自主表达，以加深幼儿的理解。 四、灵活推动故事情节发展誊鼓励幼儿运用符号来表征故事情节中的其他数运算概念、并在区角活动中进行逆向操作，以培养幼儿双向转化的表征能力
根据幼儿的反应和教学效果，教师可在本次或第二次集体教学活动中进一步展开故事情节，以鼓励幼儿运用数学符号来表征故事情节中的其他数运算概念。教师可通过故事续编来帮助幼儿感知数运算概念。例如，续编“兔子双胞胎姐妹也来帮忙了，加入了大伙的队伍”，帮助幼儿感知“ 2”的数运算概念；又如，续编“老奶奶跑不动了，停下来歇歇……老爷爷也跑不动了，也停下来歇歇”，帮助幼儿感知“-1”的数运算概念。教师可根据本班幼儿的数运算水平灵活地调整活动目标以及相应的故事情节。
在活动结束后，教师可在区角活动中开辟一处小舞台，让幼儿表演《姜饼人》剧目。教师应提供各种道具，并确定规则：小观众可用算式卡片点戏，小演员需根据算式卡片编戏、演戏。在游戏过程中，教师可适当与个别幼儿互动，帮助幼儿理解数运算概念。根据算式创编故事，本质上是一个从符号表征到实物情境表征的过程，是抽象到具体的转化，是集体教学活动“姜饼人”中实物情境表征向符号表征转化的反操作，一方面能够培养幼儿思维的逆向性和灵活性，另一方面也能激发幼儿在同一个数运算概念的不同表征形式之间灵活地进行双向迁移，达到真正理解数运算概念的目的。
从数学集体教学活动“姜饼人”中我们可以看出：一方面，多元表征是幼儿进行数运算学习的有效途径；另一方面，多元表征也是幼儿真正理解数运算概念的真实反映。可以说，多元表征既是幼儿数学教学的手段，也是幼儿数学教学的目的。
附：姜饼人（大班）
钱丽珍/执教
目标：
1.理解故事情节，尝试用多种方式表示姜饼人逃跑过程中的数量变化。
2.体验故事表演的乐趣。
准备：
1.故事背景图、人物图片（姜饼人、老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠、小熊等）。
2.装扮道具（围裙、牛角头箍、自制松鼠尾巴、拐杖、自制熊掌等）。
3.算式卡片（1 1=2、2 1=3、3 1=4、4 1=5等）。
过程：
一、欣赏故事
师：今天我来和你们说一个姜饼人的故事。仔细听一听，故事里的姜饼人会发生什么事情呢？
1.教师边讲述故事《姜饼人》，边演示人物图片。讲述故事时，人物对话和旁白中“又来了一头老黄牛”“小松鼠也来了”“小熊也来帮忙”“人越来越多，队伍也越来越长了”等要作为重音强调。演示人物图片时，要通过图片之间距离的变化来显示人物一个一个加入的过程。
在森林的小木屋里，一个老奶奶做了一个漂亮的姜饼人。正在老奶奶得意的时候，姜饼人一下子从桌子上站了起来，冲出了门外逃走了。
老奶奶发现了马上去追姜饼人，边追边说：“站住站住！”姜饼人很得意地说：“你抓不住我，因为我是姜饼人！”
老爷爷看见了，也拄着拐杖追了上来，边追边说：“站住站住！”姜饼人说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
老奶奶、老爷爷追着姜饼人跑啊跑，又来了一头老黄牛。老黄牛边追边说：“站住站住！”可姜饼人哈哈大笑：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
瞧，人越来越多，队伍也变得越来越长了。
快看，小松鼠也来了，它甩动着大尾巴边追边说：“站住站住！”可姜饼人大笑着说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
最后，小熊也来帮忙，它摇晃着胖乎乎的身体。边追边说：“站住站住！”姜饼人还是说：“你们抓不住我，因为我是姜饼人！”
人越来越多了，姜饼人回头得意地说：“哈哈，看我多厉害，这么多人都抓不住我，因为我是姜饼人！”
2.教师提问：发生了什么事情？哪些人来追姜饼人了？
师（小结）：老奶奶、老爷爷、老黄牛、小松鼠和小熊一个接着一个来追姜饼人了，人越来越多，队伍也越来越长了。
二、故事表演
师：姜饼人的故事真有趣，我们大家一起来表演一下吧！哪个小朋友想演谁就用动作来告诉大家，大家猜出来了就请他来表演。你们确定好之后可以用道具装扮一下自己。不表演的小朋友当观众，一边观看表演一边讲故事。
1.第一次表演。重点是熟悉故事内容。
2.第二次表演。重点是在故事表演的同时，教师和幼儿进行问答。如，“又来了一个谁，现在一共有几个人在追姜饼人了？”“队伍里一共有几个人？”
3.第三次表演。重点是在故事表演的同时，教师引导幼儿用算式归纳出故事情节的发展变化。如，能不能用一道算式来表示？问答后，教师边总结边出示算式“1 1=2”“2 1=3”“3 1=4”等，并以“2 1=3”为例，引导幼儿说说算式中每个数字所表示的意义，如“2”表示姜饼人和老奶奶，“1”表示老爷爷，“3”表示现在队伍里一共有3个人。
三、延伸活动
1.教师可根据本班幼儿的数运算水平和实际教学情况，灵活地展开相应的故事情节。如，兔子双胞胎姐妹也来帮忙了，加入了大伙的队伍……老奶奶跑不动了，停下来歇歇……老爷爷也跑不动了，也停下来歇歇……引导幼儿列出相应的算式，理解“ 2”“-1”等数运算概念。
2.教师提供各种道具，在区角活动中开辟一处用于表演《姜饼人》剧目的小舞台，小观众可用算式卡片点戏，小演员需根据算式卡片编戏、演戏。