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【摘要】本文详细记录了一堂“三角函数的概念”优质观摩课的教学过程，研究者从如何利用问题链驱动概念教学的角度对课例进行分析和点评。
【关键词】三角函数的概念;问题链;概念教学
“工欲善其事，必先利其器。”要想发展学生的数学核心素养，必须上好数学概念课，那么，如何上好数学概念课？近期，资深教师廖坚在我校开设了一堂“三角函数的概念”优质观摩课，廖老师采用问题链教学方式，让学生经历概念生成过程，他的课堂设计得到了高度评价，听课教师都觉得受益匪浅，现实录整个课堂教学过程，与各位同行分享。
一﹑教学片段实录
（一）温故知新，揭示矛盾
师：初中阶段是怎样定义锐角α的三角函数？（如图1）
生1：.
师追问：非常棒！这个定义能求sin300o吗？
生1：不能，因为这个定义只能求出锐角的三角函数值。
师：对，今天我们就要研究任意角的三角函数。
（二）新知探究，形成概念
师：如果把锐角α放在直角坐标系下（如图2），锐角α的对边、邻边和斜边分别与点P（x， y）的坐标有什么关系？
生2：对边=y，邻边=x，斜边=.
师追问：你回答得很好！此时锐角三角函数可以表示成什么形式？
生2：其中.
师追问：非常好！改变点P在角α终边上的位置，这三个比值会改变吗？
生众：不会改变。
廖老师用几何画板演示随着点在角终边上的位置的改变的值始终保持不变。
师：怎样证明这三个比值不变？
生3：由相似三角形的性质可得比值不变。
师追问：既然比值不变，取多少时，比值的形式会更简单？
生3：r取1时。
师：非常了不起。此时锐角三角函数可以表示成什么形式？
生4：sinα=y，cosα=x，.
师追问：类比锐角三角函数，能否用单位圆上点P（x， y）的坐标来表示任意角α的三角函数？（如图3）
廖老师用几何画板演示任意角α的终边与单位圆相交。
师：你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？
生5：无论α的终边在哪里，α定→唯一的x，α定→唯一的y，除x=0时，没有意义，其它都有α定→唯一的.
廖老师板书任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点（x，y），则：y叫做α的正弦，记作y=sinα，即sinα=y; x叫做α的余弦，记作x=cosα，即cosα=x;叫做α的正切，记作=tanα，即tanα=（x≠0）.
师：你能解释一下定义中的对应关系吗？
生6：以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值。
师：你回答得很好，你有做数学家的天赋。这个定义与初中的定义比较，有何不同？优在何处？
生6：在直角坐标系下研究三角函数，避免了直角三角形的局限性，化解了数学知识的内部矛盾。
（三）知识应用，巩固概念
师：你现在能求出sin300o，吗？
廖老师要求学生在草稿纸上进行演算，发现有些学生没有圆规，所以教学生利用两支笔做圆规，旋转作业本画圆，学生对廖老师的绝活佩服得五体投地。
生7：.
师追问：你能归纳一下解题步骤吗？
生7：画终边，找交点坐标，算比值（求正切值）。
师：若角α的终边过点P（），你会求sinα，cosα，tanα吗？
生8：r=，得，，.
师追问：如果点P（-3，4）为呢？
生8：由三角形相似可得答案不变。
师追问：很好！如果角α的终边落在直线y=2x上呢？这时角的终边上没有给点，怎么办？
生众：任取一个点。
师：怎么取点计算简单？哪位同学到黑板作答？
生9：设x=1，则y=2，，得.
师：有没有不同意见？
生10：角α的终边也可能在第三象限。
师：哦！你发现了一个秘密噢（此幽默引发学生笑），还有可能在第三象限，所以解题时要多点思考，你能把它补充完吗？
生10：设x=-1，则y=-2，r==
，得tanα=2。
师：上述表明，知道已知角终边上一点的坐标，不借助单位圆，也能求出对应的三角函数值。一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（x， y），它与原点的距离为r，则，，. 你能自己给出证明吗？
生众：由三角形相似可得结论成立。
师：对，同学们课后严格证明出来，这是三角函数的等价定义，至此，三角函数有两种定义，分别是“单位圆定义法”“终边定义法”，比较两种定义，你认为哪种更简洁？
生11：“单位圆定义法”。因为它能更直观地体现自变量与函数值之间的对应关系。
师：从三角函数的概念，我们可以感受到科学家执着的专研精神。我们要学习这种一丝不苟，孜孜以求的科学态度并应用于今后的学习生活中，就像毛主席所说的：世界上怕就怕认真二字。
（四）课堂小结，整理知识
师：三角函数是怎样定义的？
生众：建立直角坐标系，由角的終边与单位圆的交点即可给出定义。
师：如何记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？
生众：根据定义。
师：求任意角的三角函数，实质是求什么？
生众：求坐标。
师：有了三角函数的定义，按研究函数的一般思路，后续会学到三角函数哪些内容？ 生众：图象、性质、应用。
二、设计浅析
1.以问题链搭建脚手架
三角函数是继幂函数、指数函数、对数函数后的又一重要基本初等函数，是函数的一个下位概念，亦是本章其它内容的出发点，对本章整体学习至关重要，牢牢抓住三角函数的定义这一宝贵源泉，可以顺利导出：符号判断、同角基本关系、诱导公式、图象和性质，在教材中起着承上启下的作用。为了帮助学生抽象出三角函数的定义，廖老师首先让学生回忆：初中阶段是怎样定义锐角三角函数的？这个定义能求sin300o吗？这两个数学内部矛盾的问题一抛出，引起了学生认知上的冲突，激起了学生强烈的求知欲，使学生意识到学习任意角的三角函数的必要性，进而引出本节课的主题。接着，廖老师设问：用坐标怎样表示锐角三角函数？用单位圆上的点怎样表示锐角三角函数？能否用单位圆上的点表示任意角的三角函数？这三个层层递进的问题为三角函数定义的生成搭建起脚手架，使三角函数定义的生成自然合理。你能解析一下定义中的对应关系吗？这个问题引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么，深化对定义的理解，而上面这些问题串起来就是一条环环相扣、逐步深入，指向三角函数概念本质的问题链。
2.以问题链引领深度学习
在概念应用环节，廖老师为学生搭建了一个螺旋上升的思维活动平台，其中求sin300o與导入形成呼应，通过角度、弧度、轴线角、负角的设计，使得知角求值内涵丰富。知点求值涉及点P是否在单位圆上的判断，强化了学生运用定义解决问题的能力，也引出了三角函数的等价定义。用直线的形式给出角的终边求值，是知识的适当拓展，让学生自己在角的终边上任取一点，还原到三角函数的定义，体现了转化与化归、分类讨论的数学思想。比较两种定义，你认为哪种更简洁？引领学生从记忆、理解的低阶思维向分析、评价的高阶思维跨越。在总结环节，廖老师通过问题链引导学生从函数三要素视角更加全面深入地认识三角函数，将三角函数纳入函数体系，形成统一和谐的知识整体，直指深度学习。
概念教学是数学教学中最关键的一环，直接影响学生继续学习和思维能力的发展，课堂上师生互动的主要方式是提问。因此，教师要有针对性、有层次地设计问题，通过问题链驱动数学概念教学，帮助学生抽象概括出概念的本质属性，促进深度学习。
责任编辑 陈 洋
【关键词】三角函数的概念;问题链;概念教学
“工欲善其事，必先利其器。”要想发展学生的数学核心素养，必须上好数学概念课，那么，如何上好数学概念课？近期，资深教师廖坚在我校开设了一堂“三角函数的概念”优质观摩课，廖老师采用问题链教学方式，让学生经历概念生成过程，他的课堂设计得到了高度评价，听课教师都觉得受益匪浅，现实录整个课堂教学过程，与各位同行分享。
一﹑教学片段实录
（一）温故知新，揭示矛盾
师：初中阶段是怎样定义锐角α的三角函数？（如图1）
生1：.
师追问：非常棒！这个定义能求sin300o吗？
生1：不能，因为这个定义只能求出锐角的三角函数值。
师：对，今天我们就要研究任意角的三角函数。
（二）新知探究，形成概念
师：如果把锐角α放在直角坐标系下（如图2），锐角α的对边、邻边和斜边分别与点P（x， y）的坐标有什么关系？
生2：对边=y，邻边=x，斜边=.
师追问：你回答得很好！此时锐角三角函数可以表示成什么形式？
生2：其中.
师追问：非常好！改变点P在角α终边上的位置，这三个比值会改变吗？
生众：不会改变。
廖老师用几何画板演示随着点在角终边上的位置的改变的值始终保持不变。
师：怎样证明这三个比值不变？
生3：由相似三角形的性质可得比值不变。
师追问：既然比值不变，取多少时，比值的形式会更简单？
生3：r取1时。
师：非常了不起。此时锐角三角函数可以表示成什么形式？
生4：sinα=y，cosα=x，.
师追问：类比锐角三角函数，能否用单位圆上点P（x， y）的坐标来表示任意角α的三角函数？（如图3）
廖老师用几何画板演示任意角α的终边与单位圆相交。
师：你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？
生5：无论α的终边在哪里，α定→唯一的x，α定→唯一的y，除x=0时，没有意义，其它都有α定→唯一的.
廖老师板书任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点（x，y），则：y叫做α的正弦，记作y=sinα，即sinα=y; x叫做α的余弦，记作x=cosα，即cosα=x;叫做α的正切，记作=tanα，即tanα=（x≠0）.
师：你能解释一下定义中的对应关系吗？
生6：以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值。
师：你回答得很好，你有做数学家的天赋。这个定义与初中的定义比较，有何不同？优在何处？
生6：在直角坐标系下研究三角函数，避免了直角三角形的局限性，化解了数学知识的内部矛盾。
（三）知识应用，巩固概念
师：你现在能求出sin300o，吗？
廖老师要求学生在草稿纸上进行演算，发现有些学生没有圆规，所以教学生利用两支笔做圆规，旋转作业本画圆，学生对廖老师的绝活佩服得五体投地。
生7：.
师追问：你能归纳一下解题步骤吗？
生7：画终边，找交点坐标，算比值（求正切值）。
师：若角α的终边过点P（），你会求sinα，cosα，tanα吗？
生8：r=，得，，.
师追问：如果点P（-3，4）为呢？
生8：由三角形相似可得答案不变。
师追问：很好！如果角α的终边落在直线y=2x上呢？这时角的终边上没有给点，怎么办？
生众：任取一个点。
师：怎么取点计算简单？哪位同学到黑板作答？
生9：设x=1，则y=2，，得.
师：有没有不同意见？
生10：角α的终边也可能在第三象限。
师：哦！你发现了一个秘密噢（此幽默引发学生笑），还有可能在第三象限，所以解题时要多点思考，你能把它补充完吗？
生10：设x=-1，则y=-2，r==
，得tanα=2。
师：上述表明，知道已知角终边上一点的坐标，不借助单位圆，也能求出对应的三角函数值。一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（x， y），它与原点的距离为r，则，，. 你能自己给出证明吗？
生众：由三角形相似可得结论成立。
师：对，同学们课后严格证明出来，这是三角函数的等价定义，至此，三角函数有两种定义，分别是“单位圆定义法”“终边定义法”，比较两种定义，你认为哪种更简洁？
生11：“单位圆定义法”。因为它能更直观地体现自变量与函数值之间的对应关系。
师：从三角函数的概念，我们可以感受到科学家执着的专研精神。我们要学习这种一丝不苟，孜孜以求的科学态度并应用于今后的学习生活中，就像毛主席所说的：世界上怕就怕认真二字。
（四）课堂小结，整理知识
师：三角函数是怎样定义的？
生众：建立直角坐标系，由角的終边与单位圆的交点即可给出定义。
师：如何记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？
生众：根据定义。
师：求任意角的三角函数，实质是求什么？
生众：求坐标。
师：有了三角函数的定义，按研究函数的一般思路，后续会学到三角函数哪些内容？ 生众：图象、性质、应用。
二、设计浅析
1.以问题链搭建脚手架
三角函数是继幂函数、指数函数、对数函数后的又一重要基本初等函数，是函数的一个下位概念，亦是本章其它内容的出发点，对本章整体学习至关重要，牢牢抓住三角函数的定义这一宝贵源泉，可以顺利导出：符号判断、同角基本关系、诱导公式、图象和性质，在教材中起着承上启下的作用。为了帮助学生抽象出三角函数的定义，廖老师首先让学生回忆：初中阶段是怎样定义锐角三角函数的？这个定义能求sin300o吗？这两个数学内部矛盾的问题一抛出，引起了学生认知上的冲突，激起了学生强烈的求知欲，使学生意识到学习任意角的三角函数的必要性，进而引出本节课的主题。接着，廖老师设问：用坐标怎样表示锐角三角函数？用单位圆上的点怎样表示锐角三角函数？能否用单位圆上的点表示任意角的三角函数？这三个层层递进的问题为三角函数定义的生成搭建起脚手架，使三角函数定义的生成自然合理。你能解析一下定义中的对应关系吗？这个问题引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么，深化对定义的理解，而上面这些问题串起来就是一条环环相扣、逐步深入，指向三角函数概念本质的问题链。
2.以问题链引领深度学习
在概念应用环节，廖老师为学生搭建了一个螺旋上升的思维活动平台，其中求sin300o與导入形成呼应，通过角度、弧度、轴线角、负角的设计，使得知角求值内涵丰富。知点求值涉及点P是否在单位圆上的判断，强化了学生运用定义解决问题的能力，也引出了三角函数的等价定义。用直线的形式给出角的终边求值，是知识的适当拓展，让学生自己在角的终边上任取一点，还原到三角函数的定义，体现了转化与化归、分类讨论的数学思想。比较两种定义，你认为哪种更简洁？引领学生从记忆、理解的低阶思维向分析、评价的高阶思维跨越。在总结环节，廖老师通过问题链引导学生从函数三要素视角更加全面深入地认识三角函数，将三角函数纳入函数体系，形成统一和谐的知识整体，直指深度学习。
概念教学是数学教学中最关键的一环，直接影响学生继续学习和思维能力的发展，课堂上师生互动的主要方式是提问。因此，教师要有针对性、有层次地设计问题，通过问题链驱动数学概念教学，帮助学生抽象概括出概念的本质属性，促进深度学习。
责任编辑 陈 洋