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对于成功和失败的态度，有人说：失败是成功之母。对于年复一年的高考来说，本人认为前一年考生的“失败”应该成为后一年考生的“成功之母”，也就是说要善于从每年的高考中吸取经验和教训，以调整和警示新一轮的高考考生的学习。下面本文以2007年福建省高考数学试卷中的考生的失误为例，谈谈考生存在的问题和对新一轮高考复习的启示。
一、两道题的典型错误解答及分析
例1（2007福建高考文科第17题）在△ABC中，tanA= ，tanB= 。
(Ⅰ)求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为 ，求最小边的边长。
这道题题干简单，出题意图明确，综合考查三角知识，属于一道容易得分的简单题。但是这道题全省文科平均分只有5.14分，满分数与零分数之比是1.8。
这道题本来合理合情的入手方法是由tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，由两角和正切公式求得，但是不少学生只顾着求出sinA,cosA,sinB,cosB。所以，一方面我们从错解中可以看到过度训练的影子；另一方面我们也从错解中看到学生三角部分的基础知识不扎实，表现在：①学生三角公式记错，如出现tan(π-A-B)=tan(A+B)，sin A=1+tan A等；②学生特殊角三角函数值记错，如tan(A+B)=1?圯A+B= ；③概念逻辑错误，如sinC= ?圯C= 。
例2（2007福建高考理科第20题）如图，已知点F（1,0），直线l：x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 · = · 。
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线于点M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。
这道题综合考查向量基本概念及其运算性质，以及简单的轨迹与方程的思想。这道题全省理科的平均分是5.16,而且满分数与零分数之比是1∶2，也就是说在众多的理科考生中产生一个满分的同时也产生了两个零分。
错解1：(Ⅰ)由 · = ·
得 =- ?圯| |=| |?圯动点P的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
?圯动点P的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其轨迹C的方程为：y =4x
从学生的错误中可以看出学生对于平面向量部分知识的基础欠扎实。从以上两个错误解法中看出：一方面学生对于两个向量的数量积与两个实数的乘积概念混淆严重；另一方面学生对于向量中的运算与实数中的运算性质混淆严重。
从以上错解可以看出：学生将实数中的除法、通分等运算性质应用于向量中，可见学生对向量的运算性质不理解、乱应用，同时也折射出了在教学中对有关概念的内涵剖析得还不够，学生对概念理解不透彻。
二、对新一轮高考复习的启示
1.夯实基础，强调对基础知识、基本技能的真正理解和适度训练。
数学是一门基础学科，它的基础知识、基本技能常常是学习其它学科的基础，所以高考一直非常强调考查学生对基础知识和基本技能的理解与掌握。然而，从今年我省考生的解答情况却可以看到有的考生犯了脱离课本，一味地进行形式化训练的结果。
文理科17题是考查学生对三角部分的基础知识和基本公式的运用的一道题，这道题本来入手容易、思路简单，但是这道题的平均得分并不理想，特别是文科生平均分只有5.24分。有的学生只顾着求sinA,sinB,sinC，走上繁琐的解题道路；有的学生公式记忆混乱，三角公式似乎记忆在心，但却不了解哪个公式对自己的解题有帮助；有的学生公式记错等。
理科第19题、文科第20题、理科22题都是考查导数的应用的题目，但从学生的解答可以看出学生对导函数的意义不明确，不少学生在求出导函数值为零的点后，马上得出该点为函数的极点的错误结论。
文科第21题考查了学生对数列概念的理解，虽然这种类型的题目在复习训练题中多如牛毛，但是该题在全省的平均得分只有2.91分。不少学生在解答中只考虑到由a =s -s ?圯 =3，但却没有考虑项数n的条件，结果得出数列是等比数列的错误结论。
理科第22题第1小题中有学生得出如(e )′=ex,e -e=e 等的错误结论。
2.注意解题的规范性。
古文中有曰：言之无文，行而不远。正如在高考改卷中常听到改卷教师发出“要给分数心不安，不给分数心不甘”诸如此类的感叹，这些感叹都起源于考生对解题规范性的漠视。
今年文理科从第17题开始每题都有两个或两个以上的小题，有的考生解题不写序号造成失分。如在文理科第17题中，有的考生先求sinA,sinB,sinC似乎是在为了求第2小题做准备，然而由于在解题中没有规范，从而造成思维混乱，没有头绪，造成失分。
在文科第19题与理科第18题的立体几何题中，不少考生建立坐标系不规范，有的学生因为建立的坐标系是左手系而被扣分，还有的考生因为建立的坐标系根本没有互相垂直而导致整题零分。
在对文科第20题第2小题的解答中，有的考生在对不等式进行恒等变形的过程中没有对等价性进行说明，结果造成错误，如h(t)＜-2t+m对t∈(0,2)恒成立?圳h(t)+2t-m＜0；还有的考生虽然知道用导数求函数最值的方法，但是却因为没有使用规范性语言引起失分。
3.注意数学思维的培养，特别是对易于出现概念混淆或逻辑错误的地方应多加分析和进行类比思考。
随着学习的深入，知识积累的增多，各部分知识之间的联系日益密切，在知识的交汇处最能多方面、多层次地考查学生的知识与能力，所以在高三复习阶段应该特别重视知识之间的整合，数学思维的培养，如函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论与整体处理的思想,化归和转化的思想，归纳、猜想、论证的思想方法;有限与无限逼近的思想方法等。
从文科第18题考生的解答中可以看出有的考生对和事件与积事件这两类事件的基本概念理解不到位，产生概念之间的混淆：第1小题在求“甲第三次才成功”事件的概率时有学生得P（A）=P（ ）+P（ ）+P（A ）这样的错误结论。还有的考生对分类思想掌握不完全，如第2小题在求“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一个人成功”的概率时，出现如P（B）=P（ B +A）这样的错误。
从理科第21题中可以看到部分考生思维欠缺严谨，从q -pr= (p+r-2q)中构造矛盾产生错误，有的甚至无法构造矛盾。
4.注意考试心理调适，从容应考。
今年试卷的考试结果有不少学校的教师反映：男生较女生发挥得好些。也许有两个方面原因造成这样的结果：一是平时男生较女生更加注重数学思维方面的培养，数学能力方面较强，而这份试卷恰恰强调的是数学思维能力和应变能力；二是男生的考试心态较女生好，对于在解题中出现的问题能够较快地调整自己的解题策略，不在一种方法或者一道题上套死。所以在复习训练中应该注意培养学生健康的心理素质，树立自信心，调整好心态，以健康平常的心理去迎接高考的洗礼。此外，在教学中我们也应该特别注意：以升学为教学的最终目的本没有错，但是脱离基础的纯粹应试却会造成数学教育的严重流失。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、两道题的典型错误解答及分析
例1（2007福建高考文科第17题）在△ABC中，tanA= ，tanB= 。
(Ⅰ)求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为 ，求最小边的边长。
这道题题干简单，出题意图明确，综合考查三角知识，属于一道容易得分的简单题。但是这道题全省文科平均分只有5.14分，满分数与零分数之比是1.8。
这道题本来合理合情的入手方法是由tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，由两角和正切公式求得，但是不少学生只顾着求出sinA,cosA,sinB,cosB。所以，一方面我们从错解中可以看到过度训练的影子；另一方面我们也从错解中看到学生三角部分的基础知识不扎实，表现在：①学生三角公式记错，如出现tan(π-A-B)=tan(A+B)，sin A=1+tan A等；②学生特殊角三角函数值记错，如tan(A+B)=1?圯A+B= ；③概念逻辑错误，如sinC= ?圯C= 。
例2（2007福建高考理科第20题）如图，已知点F（1,0），直线l：x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 · = · 。
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线于点M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。
这道题综合考查向量基本概念及其运算性质，以及简单的轨迹与方程的思想。这道题全省理科的平均分是5.16,而且满分数与零分数之比是1∶2，也就是说在众多的理科考生中产生一个满分的同时也产生了两个零分。
错解1：(Ⅰ)由 · = ·
得 =- ?圯| |=| |?圯动点P的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
?圯动点P的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其轨迹C的方程为：y =4x
从学生的错误中可以看出学生对于平面向量部分知识的基础欠扎实。从以上两个错误解法中看出：一方面学生对于两个向量的数量积与两个实数的乘积概念混淆严重；另一方面学生对于向量中的运算与实数中的运算性质混淆严重。
从以上错解可以看出：学生将实数中的除法、通分等运算性质应用于向量中，可见学生对向量的运算性质不理解、乱应用，同时也折射出了在教学中对有关概念的内涵剖析得还不够，学生对概念理解不透彻。
二、对新一轮高考复习的启示
1.夯实基础，强调对基础知识、基本技能的真正理解和适度训练。
数学是一门基础学科，它的基础知识、基本技能常常是学习其它学科的基础，所以高考一直非常强调考查学生对基础知识和基本技能的理解与掌握。然而，从今年我省考生的解答情况却可以看到有的考生犯了脱离课本，一味地进行形式化训练的结果。
文理科17题是考查学生对三角部分的基础知识和基本公式的运用的一道题，这道题本来入手容易、思路简单，但是这道题的平均得分并不理想，特别是文科生平均分只有5.24分。有的学生只顾着求sinA,sinB,sinC，走上繁琐的解题道路；有的学生公式记忆混乱，三角公式似乎记忆在心，但却不了解哪个公式对自己的解题有帮助；有的学生公式记错等。
理科第19题、文科第20题、理科22题都是考查导数的应用的题目，但从学生的解答可以看出学生对导函数的意义不明确，不少学生在求出导函数值为零的点后，马上得出该点为函数的极点的错误结论。
文科第21题考查了学生对数列概念的理解，虽然这种类型的题目在复习训练题中多如牛毛，但是该题在全省的平均得分只有2.91分。不少学生在解答中只考虑到由a =s -s ?圯 =3，但却没有考虑项数n的条件，结果得出数列是等比数列的错误结论。
理科第22题第1小题中有学生得出如(e )′=ex,e -e=e 等的错误结论。
2.注意解题的规范性。
古文中有曰：言之无文，行而不远。正如在高考改卷中常听到改卷教师发出“要给分数心不安，不给分数心不甘”诸如此类的感叹，这些感叹都起源于考生对解题规范性的漠视。
今年文理科从第17题开始每题都有两个或两个以上的小题，有的考生解题不写序号造成失分。如在文理科第17题中，有的考生先求sinA,sinB,sinC似乎是在为了求第2小题做准备，然而由于在解题中没有规范，从而造成思维混乱，没有头绪，造成失分。
在文科第19题与理科第18题的立体几何题中，不少考生建立坐标系不规范，有的学生因为建立的坐标系是左手系而被扣分，还有的考生因为建立的坐标系根本没有互相垂直而导致整题零分。
在对文科第20题第2小题的解答中，有的考生在对不等式进行恒等变形的过程中没有对等价性进行说明，结果造成错误，如h(t)＜-2t+m对t∈(0,2)恒成立?圳h(t)+2t-m＜0；还有的考生虽然知道用导数求函数最值的方法，但是却因为没有使用规范性语言引起失分。
3.注意数学思维的培养，特别是对易于出现概念混淆或逻辑错误的地方应多加分析和进行类比思考。
随着学习的深入，知识积累的增多，各部分知识之间的联系日益密切，在知识的交汇处最能多方面、多层次地考查学生的知识与能力，所以在高三复习阶段应该特别重视知识之间的整合，数学思维的培养，如函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论与整体处理的思想,化归和转化的思想，归纳、猜想、论证的思想方法;有限与无限逼近的思想方法等。
从文科第18题考生的解答中可以看出有的考生对和事件与积事件这两类事件的基本概念理解不到位，产生概念之间的混淆：第1小题在求“甲第三次才成功”事件的概率时有学生得P（A）=P（ ）+P（ ）+P（A ）这样的错误结论。还有的考生对分类思想掌握不完全，如第2小题在求“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一个人成功”的概率时，出现如P（B）=P（ B +A）这样的错误。
从理科第21题中可以看到部分考生思维欠缺严谨，从q -pr= (p+r-2q)中构造矛盾产生错误，有的甚至无法构造矛盾。
4.注意考试心理调适，从容应考。
今年试卷的考试结果有不少学校的教师反映：男生较女生发挥得好些。也许有两个方面原因造成这样的结果：一是平时男生较女生更加注重数学思维方面的培养，数学能力方面较强，而这份试卷恰恰强调的是数学思维能力和应变能力；二是男生的考试心态较女生好，对于在解题中出现的问题能够较快地调整自己的解题策略，不在一种方法或者一道题上套死。所以在复习训练中应该注意培养学生健康的心理素质，树立自信心，调整好心态，以健康平常的心理去迎接高考的洗礼。此外，在教学中我们也应该特别注意：以升学为教学的最终目的本没有错，但是脱离基础的纯粹应试却会造成数学教育的严重流失。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”