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摘 要：在分形理论的基础上，应用重标极差（R/S）分析法对我国2005-2013年肺结核发病率的统计数据进行分析处理，建立了肺结核发病率的预测的模型，并利用该模型验证了2014年肺结核的发病率的预测结果，预测值65.30与实际值65.81非常接近，可见该模型对肺结核发病率的预测有很好的借鉴价值，最后应用该模型对我国未来3年的肺结核发病率做出预测，为顺利开展肺结核的预防工作提供事前预测工具。
关键词：分形理论；R/S分析法；肺结核；发病率预测
基金项目：本文为2014年上海高校培养优秀青年教师科研专项基金项目“传染病数学模型基于分形几何的研究”的部分研究成果。
肺结核是顽固疾病，可导致患者丧失劳动能力甚至死亡，传染性强，近年来在全球和中国范围内，肺结核基本都是传染病中发病量和致死量的第一杀手。在我国结核病仍是危害人民健康和生命的主要传染病，疫情十分严重，2003年SARS流行，我国加强了公共卫生系统建设，并在2004年开始修订《中华人民共和国传染病防治法》，建立全球最大的基于互联网的疫情报告系統。并将肺结核列入乙类传染病报告与管理，并通过传染病网络直报系统进行疫情报告，保证了肺结核疫情报告的时效性和完整性[1]。
为了提高预测精确度，本研究收集了2005～2012年肺结核发病率的统计数据，进行分析处理，在此基础上，应用分形理论中的R/S分析法，通过计算肺结核发病率的分维数等分形特征，将发病率时间序列的二阶累计和用于构造分形模型，采用变维分形预测算法对肺结核发病率进行短期预测，以便及早采取预防控制措施。
一、分形基本理论
1、分形简介
1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德布罗特于1975年创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。曼德布罗特曾经为分形下过两个定义[2]：
（1）满足下式条件
（2）组成部分与整体以某种形式相似的集合，称为分形。
但是，经过后来理论和应用的检验，人们发现这两个定义都很难包括分形的全部属性。事实上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，一般来说，分形具有以下特质（简单的递归定义）：
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般来说，分形集的“分形维数”会大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
2、分维简介
用来定量刻画分形特征的参数是分维数，也是最重要的参数之一。 在欧氏空间中，人们习惯于把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维，也可以稍加推广认为单独的一个点是零维的，甚至还可以引入高维空间，但是通常人们所习惯的是整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
二、基于 分析原理的分形预测
在实际应用中，往往只给出一些数据点，而函数关系则是未知的，因此变换的具体形式也就无法求出。这种情况下，采用累计和的系列变换来对数据进行一系列变换，从中选择一种变换，使变换后的数据能与分形分布模型符合良好，使得变换后的数据能用分形分布来处理。其具体步骤如下[4-5]：
（3）将各阶累计和构成的数据点分别绘于双对数坐标上进行对比，选择效果最好的变换并确定其对应的分形参数。当确定效果最好的分形分布模型后，即可进行该累计和的预测，进而换算成值的预测结果。
三、肺结核发病率的预测
根据《中国统计年鉴》注1中2005-2013年我国肺结核的发病率作为数据源，首先运用上述分形模型对2014年肺结核的发病率进行预测，如表1所示。
由表2所知的最后两个数据仅相差0.00075，所以选择由第8个和第9个数据点组成的直线的分形参数作为有代表性的分形参数，则由（2）式得：
最后经过两次迭代可以得到2015年到2017年的肺结核发病率预测值为：
四、结论
本文从分形理论出发来考虑肺结核发病率的预测问题，所考虑的预测模型对短时间内发病率变化的预测具有一定的可行性和实际意义。本文中的分形预测模型为传染病的预测提供了一个新的考量角度，但是由于疾病的发生发展受多种因素影响，且建立模型所依赖的资料是来源于统计年鉴，未免有所遗漏，故该预测方法也很难得到预期的效果，有待于进一步地开发研究。
参考文献
[1] 张建勇，崔霞，戴冬梅，等.2003—2007年综合医院医院感染率调查分析[J].中华医院感染学杂志，2009，19（17）：2261—3.
[2] 仇晓芬.齐次分层垫片上的热点猜想[D].浙江大学硕士学位论文，2013.
[3] 朱子虎，吴华稳，翁振松，任 民.基于分形理论的铁路客货运量预测[J].铁道运输与经济，2011（7）.80-4.
[4] 孙洪泉.分形几何与分形插值[M].北京：科学出版社，2011.
[5] 韩冬炎，陈蕊，崔立瑶.对石油价格走势预测的数理研究[J].价格理论与实践，2004（5）.51-2.
作者简介：仇晓芬（1987—），女，山东人，上海工商外国语职业学院，助教，理学硕士，研究方向：应用数学。
关键词：分形理论；R/S分析法；肺结核；发病率预测
基金项目：本文为2014年上海高校培养优秀青年教师科研专项基金项目“传染病数学模型基于分形几何的研究”的部分研究成果。
肺结核是顽固疾病，可导致患者丧失劳动能力甚至死亡，传染性强，近年来在全球和中国范围内，肺结核基本都是传染病中发病量和致死量的第一杀手。在我国结核病仍是危害人民健康和生命的主要传染病，疫情十分严重，2003年SARS流行，我国加强了公共卫生系统建设，并在2004年开始修订《中华人民共和国传染病防治法》，建立全球最大的基于互联网的疫情报告系統。并将肺结核列入乙类传染病报告与管理，并通过传染病网络直报系统进行疫情报告，保证了肺结核疫情报告的时效性和完整性[1]。
为了提高预测精确度，本研究收集了2005～2012年肺结核发病率的统计数据，进行分析处理，在此基础上，应用分形理论中的R/S分析法，通过计算肺结核发病率的分维数等分形特征，将发病率时间序列的二阶累计和用于构造分形模型，采用变维分形预测算法对肺结核发病率进行短期预测，以便及早采取预防控制措施。
一、分形基本理论
1、分形简介
1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德布罗特于1975年创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。曼德布罗特曾经为分形下过两个定义[2]：
（1）满足下式条件
（2）组成部分与整体以某种形式相似的集合，称为分形。
但是，经过后来理论和应用的检验，人们发现这两个定义都很难包括分形的全部属性。事实上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，一般来说，分形具有以下特质（简单的递归定义）：
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般来说，分形集的“分形维数”会大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
2、分维简介
用来定量刻画分形特征的参数是分维数，也是最重要的参数之一。 在欧氏空间中，人们习惯于把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维，也可以稍加推广认为单独的一个点是零维的，甚至还可以引入高维空间，但是通常人们所习惯的是整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
二、基于 分析原理的分形预测
在实际应用中，往往只给出一些数据点，而函数关系则是未知的，因此变换的具体形式也就无法求出。这种情况下，采用累计和的系列变换来对数据进行一系列变换，从中选择一种变换，使变换后的数据能与分形分布模型符合良好，使得变换后的数据能用分形分布来处理。其具体步骤如下[4-5]：
（3）将各阶累计和构成的数据点分别绘于双对数坐标上进行对比，选择效果最好的变换并确定其对应的分形参数。当确定效果最好的分形分布模型后，即可进行该累计和的预测，进而换算成值的预测结果。
三、肺结核发病率的预测
根据《中国统计年鉴》注1中2005-2013年我国肺结核的发病率作为数据源，首先运用上述分形模型对2014年肺结核的发病率进行预测，如表1所示。
由表2所知的最后两个数据仅相差0.00075，所以选择由第8个和第9个数据点组成的直线的分形参数作为有代表性的分形参数，则由（2）式得：
最后经过两次迭代可以得到2015年到2017年的肺结核发病率预测值为：
四、结论
本文从分形理论出发来考虑肺结核发病率的预测问题，所考虑的预测模型对短时间内发病率变化的预测具有一定的可行性和实际意义。本文中的分形预测模型为传染病的预测提供了一个新的考量角度，但是由于疾病的发生发展受多种因素影响，且建立模型所依赖的资料是来源于统计年鉴，未免有所遗漏，故该预测方法也很难得到预期的效果，有待于进一步地开发研究。
参考文献
[1] 张建勇，崔霞，戴冬梅，等.2003—2007年综合医院医院感染率调查分析[J].中华医院感染学杂志，2009，19（17）：2261—3.
[2] 仇晓芬.齐次分层垫片上的热点猜想[D].浙江大学硕士学位论文，2013.
[3] 朱子虎，吴华稳，翁振松，任 民.基于分形理论的铁路客货运量预测[J].铁道运输与经济，2011（7）.80-4.
[4] 孙洪泉.分形几何与分形插值[M].北京：科学出版社，2011.
[5] 韩冬炎，陈蕊，崔立瑶.对石油价格走势预测的数理研究[J].价格理论与实践，2004（5）.51-2.
作者简介：仇晓芬（1987—），女，山东人，上海工商外国语职业学院，助教，理学硕士，研究方向：应用数学。