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摘 要 为了提高数学教学的有效性，培养初中学生的抽象逻辑思维，教师可充分利用反例教学，引导学生从反例求解，帮助学生加深对數学知识的理解。
关键词 初中数学 反例 逻辑思维
数学问题中的反例，通常指一些虽然符合原命题条件，但不符合原命题结论的命题。反例与证明推动了数学学科的发展，反例具有的简洁直观、说服力强等特点，决定了其在数学教学中无法替代的作用。在数学课堂上，恰当运用反例，可引导学生从反面来思考问题，由此帮助学生提升逻辑思维能力与数学素养。
一、用反例深化知识理解
在初中数学课堂上，经常会产生一些较为抽象的理论知识，在讲解知识的过程中，假如只从正面来论述，初中生经常会觉得无法理解，或者出现模糊不清等现象，此时配合一些反例，就可达到良好的效果。在日常学习中，概念与公式属于理论知识的基础，学生很容易混淆。针对此种情况，教师就需要对一些容易混淆的概念，构建反例，从反面消除学生的模糊认识，由此帮助学生正确理解数学知识，培养学生的逻辑思维。但引入反例时，教师需要考虑到学生的年龄特点与学习基础，同时注意反例的合理性。
案例1 在引导学生学习“无理数与有理数”的概念时，教师在课堂上引导学生展开讨论：“两个无理数的和（差）必然是无理数么？”有些学生回答是，有些学生回答不是。此时教师可引导学生思考并举出反例来说明，最终总结出一个反例：互为相反数的两个无理数的和（差）为有理数。在这个问题的基础上，教师可继续提问：“两个有理数的和（差）是否一定是有理数？两个无理数的积是不是一定是无理数？”通过对这些问题进行深入探究，可以帮助学生正确理解无理数以及有理数的概念，同时还可帮助学生理清无理数与有理数间的关系。
案例2 在学习“三角形全等判定方法”时，有很多学生对条件中的夹角理解不透彻，如果将夹角改为一边的对角，两个三角形是不是全等？为了帮助学生深入思考，教师可构造如下反例：
在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AD=AC，在△ABD与△ABC中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，满足两个三角形的两边与一边的对角相等，但这两个三角形并不是全等。通过这一反例，学生就可深入体会夹角的必要性，避免产生惯性错误。
二、用反例培养逻辑思维
在初中数学课堂上，假如教师能够恰当运用反例，就能顺利突出教学重点，培养学生思维的缜密性。对于反例教学，关键要重视引入反例的合理性，初中生并未形成完整的知识结构，思维还有一定的局限性，因此，想要引入反例，就必须要考虑到反例的可行性。此外，在教学过程中，反例的构建也非常关键，这需要将整个思维过程展示出来。反例与推理过程的结合，能培养学生的发散思维与缜密思维。构建反例的方法非常多，比如想象、推理等。
案例3 在讲解判断题“对于自然数，n2-3n+7都是质数”时，教师在课堂上可引导学生举出反例，学生最容易联想到的就是代入特殊的数值来演算，如从0开始代入演算，当学生演算到6时，就会发现n2-3n+7不是质数。在此基础上，教师可再次提出命题：“对于自然数，n2-n+11都为质数。”引导学生构建反例，但一般还未验证到10，就会有学生认为结论正确，此时就会出现思维漏洞，不难发现，n=11时，这个命题不成立，n2-n+11不是质数。
在课堂上，引入反例，能够使学生发现自身的错误，及时改正，同时还可补充数学知识，让学生学会从不同的角度去思考问题。对于教师来说，则可通过反例总结教学经验，及时调整教学策略，由此提高教学效果。
三、构建反例，揭露错误
在数学教学中，构造反例在辨析错解方面具有直观、说服力强等特点，因此在列举反例、揭露错误时就能够使学生产生深刻的印象。
案例4 例如在讲解“求关于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根的平方和的最大值”时，假设原方程有两实根x1，x2，由韦达定理可得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2 -2（k2+3k+5）=-（k+5）2 +19，当k=-5时，两根平方和有最大值为19。乍一看，运算好像没有错误，而且韦达定律运用得很正确。但实际上，这并没有考虑到韦达定律运用的重要前提是方程有实数根。此时，教师就可引导学生构建反例：当k=-5时，△=-11<0，原方程无根。
通过反例，证明原解法是不正确的，造成失误的关键原因是忽略了两根必须是实根的条件。正确的解法是Δ=[-（k-2）]2 -4（k2+3k+5） =-（k+4）（3k+4）≥0 ，解得-4≤k≤-时，原方程存在实根。由x12+x22=-（k+5）2+19 ，可知当k≤-4时，两实根平方和有最大值18。通过这一反例，学生发现了解题错误之处，也加深了对韦达定理的认识。
四、用反例培养逆向思维
在学习数学知识的过程中，假如学生总是采用固定的思维模式来思考问题，就会限制学生的思维，影响解题效率。当学生遇到一些较为复杂的问题时，从正面角度思考问题，较难解决，但假如运用逆向思维的形式就能够迎刃而解，最便捷的方法就是构造反例。
案例5 在数学课堂中，命题判断证明是较为常见的一类题目，也是学生很容易出错的题目。有时候学生会按照常规的思维逻辑来推理，解题的过程会更加复杂，很容易影响学生的判断能力。例如“如果2x+y=0，则x=y=0”，从常规的思维逻辑入手，判断这一命题为假命题，过程如下：当x=-1，y=2，满足2x+y=2×（-1）+2=0，但x≠0，y≠0，因此这一命题是假命题。在教学中，教师可引导学生通过列举反例来推翻这一命题，此时仅需找到x≠0或y≠0的情况，且满足2x+y=0的条件，如此便可证明命题是假命题。这一题目假如按照常规的逻辑思维来判断，很难找到突破点，且证明的过程也非常复杂。但借助反例来判断，从逆向思维角度来分析，就能够轻松得出证明结果，如此便可提高解题效率。
综上所述，在数学课堂上引入反例，可加深学生对数学概念以及基础知识的理解，发现并纠正学习中出现的错误，培养学生思维的缜密性，引导学生从反面去思考问题，逐步完善知识结构，提高学习效果。
（作者为江苏省高邮市甘垛镇澄阳初级中学教师）
关键词 初中数学 反例 逻辑思维
数学问题中的反例，通常指一些虽然符合原命题条件，但不符合原命题结论的命题。反例与证明推动了数学学科的发展，反例具有的简洁直观、说服力强等特点，决定了其在数学教学中无法替代的作用。在数学课堂上，恰当运用反例，可引导学生从反面来思考问题，由此帮助学生提升逻辑思维能力与数学素养。
一、用反例深化知识理解
在初中数学课堂上，经常会产生一些较为抽象的理论知识，在讲解知识的过程中，假如只从正面来论述，初中生经常会觉得无法理解，或者出现模糊不清等现象，此时配合一些反例，就可达到良好的效果。在日常学习中，概念与公式属于理论知识的基础，学生很容易混淆。针对此种情况，教师就需要对一些容易混淆的概念，构建反例，从反面消除学生的模糊认识，由此帮助学生正确理解数学知识，培养学生的逻辑思维。但引入反例时，教师需要考虑到学生的年龄特点与学习基础，同时注意反例的合理性。
案例1 在引导学生学习“无理数与有理数”的概念时，教师在课堂上引导学生展开讨论：“两个无理数的和（差）必然是无理数么？”有些学生回答是，有些学生回答不是。此时教师可引导学生思考并举出反例来说明，最终总结出一个反例：互为相反数的两个无理数的和（差）为有理数。在这个问题的基础上，教师可继续提问：“两个有理数的和（差）是否一定是有理数？两个无理数的积是不是一定是无理数？”通过对这些问题进行深入探究，可以帮助学生正确理解无理数以及有理数的概念，同时还可帮助学生理清无理数与有理数间的关系。
案例2 在学习“三角形全等判定方法”时，有很多学生对条件中的夹角理解不透彻，如果将夹角改为一边的对角，两个三角形是不是全等？为了帮助学生深入思考，教师可构造如下反例：
在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AD=AC，在△ABD与△ABC中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，满足两个三角形的两边与一边的对角相等，但这两个三角形并不是全等。通过这一反例，学生就可深入体会夹角的必要性，避免产生惯性错误。
二、用反例培养逻辑思维
在初中数学课堂上，假如教师能够恰当运用反例，就能顺利突出教学重点，培养学生思维的缜密性。对于反例教学，关键要重视引入反例的合理性，初中生并未形成完整的知识结构，思维还有一定的局限性，因此，想要引入反例，就必须要考虑到反例的可行性。此外，在教学过程中，反例的构建也非常关键，这需要将整个思维过程展示出来。反例与推理过程的结合，能培养学生的发散思维与缜密思维。构建反例的方法非常多，比如想象、推理等。
案例3 在讲解判断题“对于自然数，n2-3n+7都是质数”时，教师在课堂上可引导学生举出反例，学生最容易联想到的就是代入特殊的数值来演算，如从0开始代入演算，当学生演算到6时，就会发现n2-3n+7不是质数。在此基础上，教师可再次提出命题：“对于自然数，n2-n+11都为质数。”引导学生构建反例，但一般还未验证到10，就会有学生认为结论正确，此时就会出现思维漏洞，不难发现，n=11时，这个命题不成立，n2-n+11不是质数。
在课堂上，引入反例，能够使学生发现自身的错误，及时改正，同时还可补充数学知识，让学生学会从不同的角度去思考问题。对于教师来说，则可通过反例总结教学经验，及时调整教学策略，由此提高教学效果。
三、构建反例，揭露错误
在数学教学中，构造反例在辨析错解方面具有直观、说服力强等特点，因此在列举反例、揭露错误时就能够使学生产生深刻的印象。
案例4 例如在讲解“求关于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根的平方和的最大值”时，假设原方程有两实根x1，x2，由韦达定理可得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2 -2（k2+3k+5）=-（k+5）2 +19，当k=-5时，两根平方和有最大值为19。乍一看，运算好像没有错误，而且韦达定律运用得很正确。但实际上，这并没有考虑到韦达定律运用的重要前提是方程有实数根。此时，教师就可引导学生构建反例：当k=-5时，△=-11<0，原方程无根。
通过反例，证明原解法是不正确的，造成失误的关键原因是忽略了两根必须是实根的条件。正确的解法是Δ=[-（k-2）]2 -4（k2+3k+5） =-（k+4）（3k+4）≥0 ，解得-4≤k≤-时，原方程存在实根。由x12+x22=-（k+5）2+19 ，可知当k≤-4时，两实根平方和有最大值18。通过这一反例，学生发现了解题错误之处，也加深了对韦达定理的认识。
四、用反例培养逆向思维
在学习数学知识的过程中，假如学生总是采用固定的思维模式来思考问题，就会限制学生的思维，影响解题效率。当学生遇到一些较为复杂的问题时，从正面角度思考问题，较难解决，但假如运用逆向思维的形式就能够迎刃而解，最便捷的方法就是构造反例。
案例5 在数学课堂中，命题判断证明是较为常见的一类题目，也是学生很容易出错的题目。有时候学生会按照常规的思维逻辑来推理，解题的过程会更加复杂，很容易影响学生的判断能力。例如“如果2x+y=0，则x=y=0”，从常规的思维逻辑入手，判断这一命题为假命题，过程如下：当x=-1，y=2，满足2x+y=2×（-1）+2=0，但x≠0，y≠0，因此这一命题是假命题。在教学中，教师可引导学生通过列举反例来推翻这一命题，此时仅需找到x≠0或y≠0的情况，且满足2x+y=0的条件，如此便可证明命题是假命题。这一题目假如按照常规的逻辑思维来判断，很难找到突破点，且证明的过程也非常复杂。但借助反例来判断，从逆向思维角度来分析，就能够轻松得出证明结果，如此便可提高解题效率。
综上所述，在数学课堂上引入反例，可加深学生对数学概念以及基础知识的理解，发现并纠正学习中出现的错误，培养学生思维的缜密性，引导学生从反面去思考问题，逐步完善知识结构，提高学习效果。
（作者为江苏省高邮市甘垛镇澄阳初级中学教师）