造辅助函数即经过适当的数学变化和构造，使一个非函数问题转化为函数形式，然后通过类比、联想、转化,回归到函数问题，运用函数的图象和性质，使问题获得解决.本文对高中数学中涉及的六个问题通过构造辅助函数运用函数的思想方法加以解决.
　　一、构造辅助函数，解决极值问题
　　对原函数求导后，不能解决题目所涉及的问题，还需另外构造新的函数，对新的函数进行求导数(即二次求导)，将会使问题得以解决.
　　例1（2013年辽宁12）设函数f (x)满足x2f ′(x)+2xf (x)=exx,f (2)=e28,则x>0时，f (x)()
　　(A) 有极大值，无极小值
　　(B) 有极小值，无极大值
　　(C) 既有极大值又有极小值
　　(D) 既无极大值也无极小值
　　解：由已知得f ′(x)=ex-2x2f (x)x3.设函数g(x)=ex-2x2f (x)，则g′(x)=ex(1-2x).x∈(0,2)时，g′(x)<0,x∈(2,+∞)时，g′(x)>0,所以g(2)为g(x)的极小值.所以g(x)≥g(2)=0,所以f ′(x)≥0,所以f (x)无极值，故选(D).
　　点评：本题考查的是二次求导后确定函数的极值.
　　二、构造辅助函数，解决数列问题
　　数列是定义域为正整数集(或为正整数集的某一子集)的函数.
　　例2（2012年江西6）观察下列各式： a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=（）
　　(A) 28(B) 76(C) 123 (D) 199
　　解：设函数f (n)=an+bn,则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=7;f (5)=f (3)+f (4)=11;f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76; f (10)=
　　f (8)+f (9)=123.即a10+b10=123,故选(C).
　　点评：本题主要考查借助函数的思想方法及归纳推理的思想方法解决数列问题.对于求递推数列某一项、数列的最值等问题，要借助函数的有关知识解决.
　　三、构造辅助函数，解决与二次函数有关的问题
　　二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程的根是对应的；二次函数在给定区间上的值域、最值问题,以及二次函数的函数值在实数集上非负等问题，都用到二次函数的图象与性质.
　　例3（2011年重庆）设m,k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为()
　　(A) -8(B) 8(C) 12(D) 13
　　解：设函数f (x)=mx2-kx+2，则由于f (0)=2,所以若mx2-kx+2=0在（0,1）内有两不同的解，则其充要条件为0　　f (0)•f (1)>0,
　　Δ>0,即0　　m-k+2>0,
　　k2>8.由k2>8m,04.
　　当k=5时，0<5<2m,
　　m-3>0,
　　8m<25. 因为m∈N*.所以无解.
　　k=6时，0<6<2m,
　　m-4>0,
　　8m<36.因为m∈N*.所以无解.
　　k=7时，0<7<2m,
　　m-5>0,
　　8m<49.因为m∈N*,
　　则m=6.
　　所以m+k最小值为7+6=13.故选(D).
　　点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布要根据二次函数图象和性质来解决.
　　四、构造辅助函数，解决恒成立问题
　　高中数学恒成立问题一般是利用分离变量法求函数的最值问题，以及用基本不等式求最值.
　　例4 （2010年天津16）设函数f (x)=x-1x,对任意 ［1，+∞)，f (mx)+mf (x)<0恒成立，则实数m的取值范围是.
　　解： 因为f (x)=x-1x,x∈［1，+∞），f (mx)+mf (x)<0， 所以mx-1mx+m(x-1x)<0,即2mx21,所以m<-1.
　　②当m>0时,只要2mx2x2.设函数g(x)=x2,x∈［1,+∞).因为g(x)当x∈［1,+∞)时无最大值， 所以1+m22m2>x2不恒成立.
　　综上①、②得，m的取值范围是(-∞,-1).
　　点评：本题主要考查将分式不等式转化为整式不等式及恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想方法.
　　五、构造辅助函数，解决函数零点与方程根问题
　　函数的零点与方程的根的关系：函数y=f (x)的零点就是方程f (x)=0的实数根，也就是函数y=f (x)的图象与x轴交点的横坐标，即方程f (x)=0有实数根函数f (x)=0有零点函数y=f (x)的图象与轴有交点.
　　例5（2010年浙江9）设函数f (x)=4sin(2x+1)-x,则下列区间中函数f (x)不存在零点的是（）
　　(A) ［-4，-2］ (B) ［-2,0］
　　(C) ［0,2］ (D) ［2,4］
　　解：设函数y=4sin(2x+1)与y=x，在同一直角坐标系中画出两函数的图象，如图1,由数形结合的思想可知答案选(A).
　　点评：主要考查函数零点范围的确定，应用数形结合的思想方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题.
　　图1图2六、构造辅助函数、解决参数的范围
　　对于含代数式与超越式（指数式、对数式及三角式等）的不等式中求参数的取值范围，通过构造函数，进一步解决不等式中参数的范围.
　　例6不等式x2-logax<0,x∈(0,12)时恒成立，则a的取值范围是（ ）
　　(A) 0　　(C) a>1(D) 0　　解:设函数y=x2,与y=logax,x∈(0,12),在同一直角坐标系中画出它们的图象,如图2,由图知0　　loga12≥(12)2,解得：0　　点评：主要考查在同一平面直角坐标系中根据函数图象的高低关系，判断函数值的大小关系；简单的对数不等式的解法；数形结合的思想方法.