论文部分内容阅读
摘要：运用动刚度有限元法，研究了含裂纹损伤杆系结构的动态特性。提出了一种含裂纹的杆单元，基于断裂力学的线弹簧模型，导出了相应的动刚度矩阵。
关键词：动刚度有限元；裂纹；损伤杆系结构
中图分类号：TG21+3文献标识码：A文章编号：
迄今为止，很多研究对含裂纹损伤杆系结构的动特性进行了分析[1]。从已有的研究可以看出，含裂纹损伤杆结构的动态特性分析主要是基于解析法和传统的位移有限元方法。解析法能够得到问题的精确解答，然而只适合简单的梁结构。而引入裂纹单元的传统位移有限元方法虽然可用于杆系结构，但也存在两方面的问题，一是模型本身存在近似，会给结构动特性分析带来一些不便和局限[2]；二是裂纹单元当裂纹长度趋近于零时会出现奇异。
动力刚度法是近年来逐步发展起来的一种精确单元方法，它结合了解析法和位移有限元方法两者的优点[2]。本文用这种方法分析含裂纹损伤的杆系结构。首先建立了含裂纹杆单元的动刚度矩阵，然后对含裂纹损伤杆系结构的动態特性进行了数值计算。结果表明，这种方法可方便用于含裂纹损伤杆系结构的动态特性分析，并具有很好的精度。
1．方法原理
1.1局部坐标系下含裂纹单元的动刚度矩阵
图1所示为含裂纹的杆单元。
图1 含裂纹杆单元
进一步，该单元可以分为三个子单元（图2）。
图2 子单元划分
子单元1和子单元3不含裂纹，求解梁的振动方程，可得杆端力与杆端位移有如下关系：
； (1)
其中：和分别为子单元1和3的杆端力列向量，和分别为子单元1和3的杆端位移列向量，和分别为子单元1和3的动刚度矩阵，其具体表达式见文献[3]。
对于子单元2，由于单元长度趋于零，根据断裂力学的线弹簧模型[4]，有如下关系：
1.2整体坐标系下含裂纹单元的动刚度矩阵及求解方法
整体坐标系下的动刚度矩阵可以表示为：
(5)
其中为转换矩阵。与静态问题的传统位移有限元方法一样[5]，经过刚度集成，并引入边界条件后得到有限元方程为：
(6)
对于结构自由振动，有
(7)
其中的每一个元素都是自振频率的函数。自振频率可通过或求得。具体求解方法见文献[2]。如只求对应的，也可以用试错法进行求解。
2．含裂纹悬臂梁的结构动特性
运用上述动刚度有限元法，我们对文献[2]中的含裂纹悬臂梁进行了分析。梁的尺寸如图3所示，，。单元划分如图4所示。对于含有一个裂纹的情况，只需要一个单元即可。但为了计算多个裂纹及裂纹位置变化时的动特性，我们划分了9个单元。
图3 含裂纹的悬臂梁 图4单元划分
对于含一个裂纹的情况，一阶频率的计算结果如图5所示。结果显示，本文方法给出的结果和实验值、文献[2]的解析解吻合很好。对于高阶频率，也能得到同样的结果。但由于篇幅所限，这里不再给出。含多个裂纹的计算结果如表1和图6所示。
从上述结果可以看出，频率随损伤程度的加大而减小，振型的变化也相应加大。
图5含一个裂纹悬臂梁的一阶频率
表1：多个裂纹损伤对频率的影响
图6 含多个裂纹悬臂梁的振型变化
3．结语
运用动刚度有限元法，研究了含裂纹损伤杆系结构的动态特性。文中首先基于断裂力学的线弹簧模型，提出了一种含裂纹的杆单元，导出了相应的动刚度矩阵。在此基础上，对含裂纹的悬臂梁进行了数值计算。结果表明，该单元能够方便地用于含裂纹损伤杆系结构的动特性分析，并具有很好的精度。
结果同时表明，损伤的存在会导致结构的动特性发生改变，各阶频率和振型随损伤程度的加大呈下降趋势。因此，实际工程分析中应考虑损伤的影响，而本文的方法则为含裂纹损伤杆系结构的分析提供了一种新途径。
参考文献：
[1]Dimarogonas A D, Vibration of cracked structures: a state of the art review [J]. Engineering Fracture Mechanics, 1996, 55: 831~857.
[2]袁驷,叶康生, Williams F W, Kennedy D. 杆系结构自由振动精确求解的理论和算法[J]. 工程力学, 2005, 22: 1~6.
[3]Clough R W, Penzien J著, 王光远等译. 结构动力学[M]. 北京：科学出版社, 1981.
[4]Rice J R, Lery N. The part-through surface crack in an elastic plate. J. Appl. Mech., 1972, 39: 185~194.
[5]王勖成、邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法（第二版）[M]，北京：清华大学出版社，1996.
关键词：动刚度有限元；裂纹；损伤杆系结构
中图分类号：TG21+3文献标识码：A文章编号：
迄今为止，很多研究对含裂纹损伤杆系结构的动特性进行了分析[1]。从已有的研究可以看出，含裂纹损伤杆结构的动态特性分析主要是基于解析法和传统的位移有限元方法。解析法能够得到问题的精确解答，然而只适合简单的梁结构。而引入裂纹单元的传统位移有限元方法虽然可用于杆系结构，但也存在两方面的问题，一是模型本身存在近似，会给结构动特性分析带来一些不便和局限[2]；二是裂纹单元当裂纹长度趋近于零时会出现奇异。
动力刚度法是近年来逐步发展起来的一种精确单元方法，它结合了解析法和位移有限元方法两者的优点[2]。本文用这种方法分析含裂纹损伤的杆系结构。首先建立了含裂纹杆单元的动刚度矩阵，然后对含裂纹损伤杆系结构的动態特性进行了数值计算。结果表明，这种方法可方便用于含裂纹损伤杆系结构的动态特性分析，并具有很好的精度。
1．方法原理
1.1局部坐标系下含裂纹单元的动刚度矩阵
图1所示为含裂纹的杆单元。
图1 含裂纹杆单元
进一步，该单元可以分为三个子单元（图2）。
图2 子单元划分
子单元1和子单元3不含裂纹，求解梁的振动方程，可得杆端力与杆端位移有如下关系：
； (1)
其中：和分别为子单元1和3的杆端力列向量，和分别为子单元1和3的杆端位移列向量，和分别为子单元1和3的动刚度矩阵，其具体表达式见文献[3]。
对于子单元2，由于单元长度趋于零，根据断裂力学的线弹簧模型[4]，有如下关系：
1.2整体坐标系下含裂纹单元的动刚度矩阵及求解方法
整体坐标系下的动刚度矩阵可以表示为：
(5)
其中为转换矩阵。与静态问题的传统位移有限元方法一样[5]，经过刚度集成，并引入边界条件后得到有限元方程为：
(6)
对于结构自由振动，有
(7)
其中的每一个元素都是自振频率的函数。自振频率可通过或求得。具体求解方法见文献[2]。如只求对应的，也可以用试错法进行求解。
2．含裂纹悬臂梁的结构动特性
运用上述动刚度有限元法，我们对文献[2]中的含裂纹悬臂梁进行了分析。梁的尺寸如图3所示，，。单元划分如图4所示。对于含有一个裂纹的情况，只需要一个单元即可。但为了计算多个裂纹及裂纹位置变化时的动特性，我们划分了9个单元。
图3 含裂纹的悬臂梁 图4单元划分
对于含一个裂纹的情况，一阶频率的计算结果如图5所示。结果显示，本文方法给出的结果和实验值、文献[2]的解析解吻合很好。对于高阶频率，也能得到同样的结果。但由于篇幅所限，这里不再给出。含多个裂纹的计算结果如表1和图6所示。
从上述结果可以看出，频率随损伤程度的加大而减小，振型的变化也相应加大。
图5含一个裂纹悬臂梁的一阶频率
表1：多个裂纹损伤对频率的影响
图6 含多个裂纹悬臂梁的振型变化
3．结语
运用动刚度有限元法，研究了含裂纹损伤杆系结构的动态特性。文中首先基于断裂力学的线弹簧模型，提出了一种含裂纹的杆单元，导出了相应的动刚度矩阵。在此基础上，对含裂纹的悬臂梁进行了数值计算。结果表明，该单元能够方便地用于含裂纹损伤杆系结构的动特性分析，并具有很好的精度。
结果同时表明，损伤的存在会导致结构的动特性发生改变，各阶频率和振型随损伤程度的加大呈下降趋势。因此，实际工程分析中应考虑损伤的影响，而本文的方法则为含裂纹损伤杆系结构的分析提供了一种新途径。
参考文献：
[1]Dimarogonas A D, Vibration of cracked structures: a state of the art review [J]. Engineering Fracture Mechanics, 1996, 55: 831~857.
[2]袁驷,叶康生, Williams F W, Kennedy D. 杆系结构自由振动精确求解的理论和算法[J]. 工程力学, 2005, 22: 1~6.
[3]Clough R W, Penzien J著, 王光远等译. 结构动力学[M]. 北京：科学出版社, 1981.
[4]Rice J R, Lery N. The part-through surface crack in an elastic plate. J. Appl. Mech., 1972, 39: 185~194.
[5]王勖成、邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法（第二版）[M]，北京：清华大学出版社，1996.