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中图分类号：G633.6
函数是中学数学的重要内容，函数的值域是函数概念的三要素之一。一般地，求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判别式0的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、画函数的图像等等，在数学思想方法上是融会贯通的。
一.反函数法
利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数，原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域，因此只要求出反函数的定义域，就求出了原函数的值域，这样求函数的值域的问题便得以解决。
例1.求y=函数的值域.
分析：函数y=的反函数为y=log，且其定义域为.
∴ 函数的值域为.
二.不等式法
根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点，先由函数的定义域，列出满足条件的不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，判断函数的值域，有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的值域。
例2求函数的值域.
解 ：∵
，
故值域为.
三.用求函数最值的方法求函数的值域
函数的最大值与最小值是中学数学的知识点，最值问题涉及中学数学的各个分支，融会了众多数学思想和解题方法，构成了中学数学中重要的横向知识体系，它对于求一部分函数的值域有很重要的作用。
例3.求函数y=
的值域.
解 y=，
∴当x=2时，=3；
当x=0时，=.
∴函数的值域为[].
四.单调性法
函数的单调性是函数的重要性质，利用函数在给定区间的单调性来求值域是常用的方法，只要知道函数在给定的区间的增减性，就可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值，然后确定函数的值域.
例4.求函数的值域，
解 设，
，
易知它是定义域内为增函数，从而，.
在上也为增函数，而且，故函数的值域为.
五.判别式法
把已知函数看做是以x为未知数，以y为参数的方程，进行恒等变形，得到关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程有实根的判别式，列出关于的不等式，解不等式求函数的值域.
例5.求函数的值域.
解：整理得
.
当时，，得 ；
当时，x=-.
又当y=1时，x=0；y=时，x=-1，0与-1在定义域内.
∴值域为.
六.换元求函数值域的方法
以新变量代换函数式中的某些量，使函数转为以新变量为自变量的形式。
在新变量代换某些量的过程中，必须由某些量在函数解析式中的意义，确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式，然后整理转化为原自变量为函数，新变量为自变量的函数表达式，再代入原函数解析式中，得到原函数与新自变量关系的函数解析式，这样函数将变为新自变量的二次函数，下面通过配方求出函数的最大值或最小值，进而求出值域。
例6.求函数的值域.
解：设，
则 .
于是
，
∴函数的值域为.
七.有界法.
把待求值域的函数式，通过恒等变形变为值域已知的函数式，再利用变形后的函数式的值域，求出原来函数的值域.
例7.求函数的值域.
解 ，
，又
∣∣，∣∣.
解得，，因此
函数值域为.
八.图像法
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，因而数形结合的思想是研究数学的基本思想之一。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。就是说，在解题时要经常思考，有些数量关系可以借助图形，使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，找到研究对象的"几何意义"来形象、直观地揭示数量关系，启示解题思路。
画出函数图像，增强直观形象性，从图像上直观的得出函数值域.
例8.求函数的值域.
解：
可以看做是单位圆外的一点到点与圆上的点的所连线段的斜率的2倍，由下图知，，
设过的直线方程为：
，即
，，
整理得，
，
解得，
值域为.
例9.已知函数， 求函数的值域.
解：分子分母同除以，得
令则
当时，.当时，. 所以，
其图像如下图所示：
，函数有最大值
.
，函数有最小值
，故函数值域为
九.导函数法
导函数法求函数的值域就是利用导数和函数的连续性求出各个极值点，再与连续函数端点值进行比较，从而求得最大值和最小值，故求出值域.其中过程中有重要的几点︰⑴求导，准确无误求得函数的导函数.⑵确定零点，求出导函数的零点.⑶确定函数的单调性，由导函数的符号确定函数在每个区间的单调性.⑷求最值，通过比较极值和端点值的大小，求得最大值和最小值，故求得值域.
例10.已知，且 函数
当时，求函数值域.
若曲线不经过第4象限，求实数的取值范围.
解 当时，
令，则.
由题意得，，
∴
∴当时，<，单调递减.
当时，，单调递增
∴，
无最大值
∴函数的值域为
根据题意可知，当
即
在时恒成立.
令，则
当，有，故在上单调递减.
故∴的值域为，因此满足
题意的的取值范围为.
综上所述，求函数值域问题的方法多种多样，而各有特殊性，具体问题要做具体分析，明确一般和特殊，个性和共性，灵活的应用各种方法求函数的值域.
函数是中学数学的重要内容，函数的值域是函数概念的三要素之一。一般地，求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判别式0的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、画函数的图像等等，在数学思想方法上是融会贯通的。
一.反函数法
利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数，原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域，因此只要求出反函数的定义域，就求出了原函数的值域，这样求函数的值域的问题便得以解决。
例1.求y=函数的值域.
分析：函数y=的反函数为y=log，且其定义域为.
∴ 函数的值域为.
二.不等式法
根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点，先由函数的定义域，列出满足条件的不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，判断函数的值域，有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的值域。
例2求函数的值域.
解 ：∵
，
故值域为.
三.用求函数最值的方法求函数的值域
函数的最大值与最小值是中学数学的知识点，最值问题涉及中学数学的各个分支，融会了众多数学思想和解题方法，构成了中学数学中重要的横向知识体系，它对于求一部分函数的值域有很重要的作用。
例3.求函数y=
的值域.
解 y=，
∴当x=2时，=3；
当x=0时，=.
∴函数的值域为[].
四.单调性法
函数的单调性是函数的重要性质，利用函数在给定区间的单调性来求值域是常用的方法，只要知道函数在给定的区间的增减性，就可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值，然后确定函数的值域.
例4.求函数的值域，
解 设，
，
易知它是定义域内为增函数，从而，.
在上也为增函数，而且，故函数的值域为.
五.判别式法
把已知函数看做是以x为未知数，以y为参数的方程，进行恒等变形，得到关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程有实根的判别式，列出关于的不等式，解不等式求函数的值域.
例5.求函数的值域.
解：整理得
.
当时，，得 ；
当时，x=-.
又当y=1时，x=0；y=时，x=-1，0与-1在定义域内.
∴值域为.
六.换元求函数值域的方法
以新变量代换函数式中的某些量，使函数转为以新变量为自变量的形式。
在新变量代换某些量的过程中，必须由某些量在函数解析式中的意义，确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式，然后整理转化为原自变量为函数，新变量为自变量的函数表达式，再代入原函数解析式中，得到原函数与新自变量关系的函数解析式，这样函数将变为新自变量的二次函数，下面通过配方求出函数的最大值或最小值，进而求出值域。
例6.求函数的值域.
解：设，
则 .
于是
，
∴函数的值域为.
七.有界法.
把待求值域的函数式，通过恒等变形变为值域已知的函数式，再利用变形后的函数式的值域，求出原来函数的值域.
例7.求函数的值域.
解 ，
，又
∣∣，∣∣.
解得，，因此
函数值域为.
八.图像法
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，因而数形结合的思想是研究数学的基本思想之一。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。就是说，在解题时要经常思考，有些数量关系可以借助图形，使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，找到研究对象的"几何意义"来形象、直观地揭示数量关系，启示解题思路。
画出函数图像，增强直观形象性，从图像上直观的得出函数值域.
例8.求函数的值域.
解：
可以看做是单位圆外的一点到点与圆上的点的所连线段的斜率的2倍，由下图知，，
设过的直线方程为：
，即
，，
整理得，
，
解得，
值域为.
例9.已知函数， 求函数的值域.
解：分子分母同除以，得
令则
当时，.当时，. 所以，
其图像如下图所示：
，函数有最大值
.
，函数有最小值
，故函数值域为
九.导函数法
导函数法求函数的值域就是利用导数和函数的连续性求出各个极值点，再与连续函数端点值进行比较，从而求得最大值和最小值，故求出值域.其中过程中有重要的几点︰⑴求导，准确无误求得函数的导函数.⑵确定零点，求出导函数的零点.⑶确定函数的单调性，由导函数的符号确定函数在每个区间的单调性.⑷求最值，通过比较极值和端点值的大小，求得最大值和最小值，故求得值域.
例10.已知，且 函数
当时，求函数值域.
若曲线不经过第4象限，求实数的取值范围.
解 当时，
令，则.
由题意得，，
∴
∴当时，<，单调递减.
当时，，单调递增
∴，
无最大值
∴函数的值域为
根据题意可知，当
即
在时恒成立.
令，则
当，有，故在上单调递减.
故∴的值域为，因此满足
题意的的取值范围为.
综上所述，求函数值域问题的方法多种多样，而各有特殊性，具体问题要做具体分析，明确一般和特殊，个性和共性，灵活的应用各种方法求函数的值域.